2024年甘肃省兰州市安宁区东方学校中考数学模拟试卷（一）

第1页（共1页）2024年甘肃省兰州市安宁区东方学校中考数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）计算（a2b）3•的结果是（）A．a5b5 B．a4b5 C．ab5 D．a5b63．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（）A． B． C． D．4．（3分）因式分解4b2﹣4ab+a2正确的是（）A．4b（b﹣a）+a2 B．（2b﹣a）2 C．（2b﹣a）（2b﹣a） D．（2b+a）25．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°（）A．130° B．140° C．150° D．160°6．（3分）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，则点P表示的实数为（）A． B． C． D．7．（3分）若一次函数y＝（k﹣1）x﹣2的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（）A．1 B．2 C．1.5 D．08．（3分）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛（）A． B． C． D．9．（3分）已知二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4且k≠3 C．k＞4 D．k≤410．（3分）五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），下列结论错误的是（）A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．扇形统计图中的m为10% C．扇形统计图中“自驾”所对应的扇形的圆心角是120° D．样本中选择公共交通出行的有2500人11．（3分）如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线AC上，则的长为（）A． B． C． D．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AD的中点，F为BE的中点，DF⊥BE，则DF的长为（）A．1 B． C．2 D．2.5二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是．14．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）．15．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，则△DEF的周长是．16．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，若G为AB的中点，连接DG交正方形的对角线AC于点E，FB⊥BE，则AF的长是．三、解答题：本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（4分）计算：．18．（4分）解方程：﹣1＝．19．（4分）先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝320．（5分）请阅读下列材料，完成相应的任务：有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R1和R2，问并联后的电阻值R是多少？我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，BD＝R2，且点C，D位于直线l的同侧，连接AD、BC，过点E作EF⊥直线1，则线段EF的长度就是并联后的电阻值R．证明：∵EF⊥l，CA⊥l，∴∠EFB＝∠CAB＝90°，又∵∠EBF＝∠CBA，∴△EBF∽△CBA（依据1），∴（依据2）．同理可得：，∴，∴，∴，即：．任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：；（2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1＝3千欧，R2＝6千欧，总阻值R＝千欧；（3）请仿照①的作图过程在图③中（1个单位长度代表1千欧，例：AB＝CD＝9千欧）画出（2）中表示该电路图中总阻值R的线段长（保留作图痕迹，不写作法）21．（5分）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm），分别计算长宽比，整理数据如下：12345678910芒果树叶的长宽比3.83.73.53.43.84.03.64.03.64.0荔枝树叶的长宽比2.02.02.02.41.81.91.82.01.31.9【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差芒果树叶的长宽比3.74m4.00.0424荔枝树叶的长宽比1.912.0n0.0669【问题解决】（1）上述表格中：m＝，n＝；（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是（填序号）；（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．22．（7分）在平面直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数与函数y2＝k2（x﹣2）+3的图象交于点A，B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣1．（1）求k1，k2的值．（2）连接OA并延长至点P，使得OA＝AP，过点P作x轴的垂线，交y1的图象于点D，连接OD．设△OPD的面积为S1，△OCD的面积为S2，求的值．23．（6分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，BE＝AB（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，求线段DN的长度．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）24．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与BC交于点E，点F在边AC的延长线上，且．（1）试说明FB是⊙O的切线；（2）过点C作CG⊥AF，垂足为C．若CF＝4，BG＝325．（7分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，交BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A26．（6分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据表1直发式x（dm）02468101620…y（dm）3.843.9643.96m3.642.561.44…表2间发式x（dm）024681012141618…y（dm）3.36n1.680.8401.402.4033.203…根据以上信息，回答问题：（1）表格中m＝，n＝；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．27．（8分）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝2，PC＝1，求∠BPC的度数，连结AP′、PP′，则△BPC≌△BP′A，就可以解决这道问题．下面是小明的部分解答过程：解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，连结AP′、PP′，∵BP＝BP′，∠P′BP＝60°，∴△PBP′是等边三角形，∴∠BP′P＝60°，PP′＝PB＝．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BC＝BA，∴∠ABC﹣∠ABP＝∠P′BP﹣∠ABP，即∠PBC＝∠P′BA．（1）请你补全余下的解答过程．【类比迁移】（2）如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PC＝1，求∠BPC的度数．【拓展延伸】（3）如图③，在②的条件下，若正方形ABCD的边长为2.28．（9分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段PQ（P′，Q′分别为P，Q的对应点），则称线段PQ是⊙O关于直线l的“对称弦”．（1）如图，点A1，A2，A3，B1，B2，B3的横、纵坐标都是整数．线段A1B1，A2B2，A3B3中，是⊙O关于直线y＝x+1的“对称弦”的是；（2）CD是⊙O关于直线y＝kx（k≠0）的“对称弦”，若点C的坐标为（﹣1，0），求点D的坐标；（3）已知直线y＝﹣x+b和点M（3，2），若线段MN是⊙O关于直线y＝﹣，且MN＝1，直接写出b的值．

2024年甘肃省兰州市安宁区东方学校中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：B．2．（3分）计算（a2b）3•的结果是（）A．a5b5 B．a4b5 C．ab5 D．a5b6【解答】解：原式＝a6b3•＝a5b5，故选：A．3．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（）A． B． C． D．【解答】解：解不等式得：1≤x＜3，即表示4与3之间的数且包含3故选：B．4．（3分）因式分解4b2﹣4ab+a2正确的是（）A．4b（b﹣a）+a2 B．（2b﹣a）2 C．（2b﹣a）（2b﹣a） D．（2b+a）2【解答】解：4b2﹣2ab+a2＝（2b﹣a）7．故选：B．5．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°（）A．130° B．140° C．150° D．160°【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，∴∠1＝∠8＝30°、∠5+∠3＝180°，∵∠3+∠5＝∠2＝50°，∴∠2＝50°﹣∠4＝20°，∴∠3＝180°﹣∠4＝160°，故选：D．6．（3分）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，则点P表示的实数为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．7．（3分）若一次函数y＝（k﹣1）x﹣2的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（）A．1 B．2 C．1.5 D．0【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x﹣2的函数值y随着x的增大而减小，∴k﹣6＜0，解得k＜1，所以k的值可以是4．故选：D．8．（3分）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛（）A． B． C． D．【解答】解：由题意得：，故选：B．9．（3分）已知二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4且k≠3 C．k＞4 D．k≤4【解答】依题意得：k﹣3≠0，解得k≠8，Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×（k﹣4）×1≥0，解得k≤4，故选：B．10．（3分）五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），下列结论错误的是（）A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．扇形统计图中的m为10% C．扇形统计图中“自驾”所对应的扇形的圆心角是120° D．样本中选择公共交通出行的有2500人【解答】解：A．本次抽样调查的样本容量是2000÷40%＝5000，不符合题意；B．扇形统计图中的m为1﹣（50%+40%）＝10%，不符合题意；C．扇形统计图中自家对应的圆心角为：360°×40%＝144°，故不符合题意；D．样本中选择公共交通出行的约有5000×50%＝2500（人），不符合题意；故选：C．11．（3分）如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线AC上，则的长为（）A． B． C． D．【解答】解：∵正方形AEFG，∴AE＝FE，∠E＝90°，∴∠FAE＝45°，∵AD＝1，正方形AEFG是由正方形ABCD绕着点A逆时针旋转所得，∴AE＝FE＝1，∴，∴的长＝，故选：B．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AD的中点，F为BE的中点，DF⊥BE，则DF的长为（）A．1 B． C．2 D．2.5【解答】解：连接CE，∵AD是BC边上的中线，F点为BE的中点，∴DF为△BCE的中位线，∴CE＝2DF，DF∥CE，∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC，∵DF⊥BE，∴∠DFE＝∠DFB＝90°，在△DEF和△DBF中，，∴△DEF≌△DBF（SAS），∴∠EDF＝∠BDF，∴∠DEC＝∠DCE，∴CD＝ED，∵E为AD的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝ED＝CD＝AD，∴AD＝4DF，∵AC＝，∴AD2﹣（AD）2＝AC2＝48，解得AD＝3，∴DF＝2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是x≥1．【解答】解：依题意，得x﹣1≥0，解得x≥4．14．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）．【解答】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种、CA，∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是＝，故答案为：．15．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，则△DEF的周长是12．【解答】解：∵OC：CF＝1：2，∴OC：OF＝2：3，∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△BOC∽△EOF，∴＝＝，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长为：4×3＝12，故答案为：12．16．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，若G为AB的中点，连接DG交正方形的对角线AC于点E，FB⊥BE，则AF的长是．【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE．∠ABE＝∠ADE，又∵∠ABE+∠EBC＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EBC＝∠EDC．又∵∠ABE+∠FBG＝90°，∴∠FBG＝∠EBC．∵AB∥CD，∴∠FGB＝∠EDC．∴∠FBG＝∠FGB．∴BF＝FG，∵FH⊥AB，∴GH＝BH，∵AB＝4，G是AB的中点，∴AG＝GB＝2，∴GH＝BH＝5，∴AH＝3，∵∠FHG＝∠DAG＝90°，∠FGH＝∠DGA，∴△FHG∽△DAG∴，即，∴FH＝2．∴AF＝＝＝，故答案为：．三、解答题：本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（4分）计算：．【解答】解：＝＝＝．18．（4分）解方程：﹣1＝．【解答】解：方程去分母得：3y﹣3（y﹣5）＝2y，解得：y＝，检验：当y＝时，8y﹣3≠0，故原方程的解为y＝．19．（4分）先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝3【解答】解：解法一：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，＝（x﹣y）[（x﹣y）+（x+y）]÷2x，＝（2x2﹣5xy）÷2x，＝x﹣y，当x＝3，y＝﹣6.5时；解法二：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷6x，＝[（x2﹣2xy+y4）+（x2﹣y2）]÷7x，＝（2x2﹣4xy）÷2x，＝x﹣y，当x＝3，y＝﹣5.5时．20．（5分）请阅读下列材料，完成相应的任务：有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R1和R2，问并联后的电阻值R是多少？我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，BD＝R2，且点C，D位于直线l的同侧，连接AD、BC，过点E作EF⊥直线1，则线段EF的长度就是并联后的电阻值R．证明：∵EF⊥l，CA⊥l，∴∠EFB＝∠CAB＝90°，又∵∠EBF＝∠CBA，∴△EBF∽△CBA（依据1），∴（依据2）．同理可得：，∴，∴，∴，即：．任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：两组角对应相等的两个三角形相似；依据2：相似三角形的对应边成比例；（2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1＝3千欧，R2＝6千欧，总阻值R＝2千欧；（3）请仿照①的作图过程在图③中（1个单位长度代表1千欧，例：AB＝CD＝9千欧）画出（2）中表示该电路图中总阻值R的线段长（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：（1）证明：∵EF⊥l，CA⊥l，∴∠EFB＝∠CAB＝90°，又∵∠EBF＝∠CBA，∴△EBF∽△CBA（两组角对应相等的两个三角形相似），∴（相似三角形的对应边成比例）．故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例；（2）∵＝+，R5＝3千欧，R2＝3千欧，∴R＝2（千欧），故答案为：2；（3）如图，线段EF表示R的长．在AB上取点M，使BM＝4，连接CM，过点E作EF⊥BC于点F，则线段EF为所求线段．21．（5分）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm），分别计算长宽比，整理数据如下：12345678910芒果树叶的长宽比3.83.73.53.43.84.03.64.03.64.0荔枝树叶的长宽比2.02.02.02.41.81.91.82.01.31.9【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差芒果树叶的长宽比3.74m4.00.0424荔枝树叶的长宽比1.912.0n0.0669【问题解决】（1）上述表格中：m＝3.75，n＝2.0；（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是②（填序号）；（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．【解答】解：（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7，故m＝；10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.7，故n＝2.0；故答案为：2.75；2.0；（2）∵2.0424＜0.0669，∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是4.95，∴B同学说法合理．故答案为：②；（3）∵11÷5.6≈3.96，∴这片树叶更可能是荔枝树叶．22．（7分）在平面直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数与函数y2＝k2（x﹣2）+3的图象交于点A，B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣1．（1）求k1，k2的值．（2）连接OA并延长至点P，使得OA＝AP，过点P作x轴的垂线，交y1的图象于点D，连接OD．设△OPD的面积为S1，△OCD的面积为S2，求的值．【解答】解：（1）∵点A的横坐标是2，∴将x＝2代入y8＝k2（x﹣2）+4＝3，∴A（2，2），∴将A（2，3）代入1＝2，∴y1＝，∵点B的纵坐标是﹣2，∴将y＝﹣1代入得，x＝﹣6，∴B（﹣8，﹣1）．∴将B（﹣6，﹣2）代入y2＝k2（x﹣7）+3得：﹣1＝k7（﹣6﹣2）+3，解得：k2＝．（2）作AE⊥x轴于E，则S△AOE＝k8，∵过点P作x轴的垂线，交x轴于点C1的图象于点D，∴S2＝，AE∥PC，∴△OAE∽△OPC，∴＝（）7＝4，∴S△OPC＝4S△OAE＝6k1，∴S1＝S△OPC﹣S8＝2k1﹣＝k1，∴＝＝3．23．（6分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，BE＝AB（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，求线段DN的长度．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【解答】解：（1）过点E作EG⊥AC于点G，∵AB＝30cm，BE＝，∴BE＝10cm，AE＝20cm，∵∠AEG＝α＝10°，∴GE＝AE•cosα＝20×cos10°≈19.5（cm），∴CD＝GE＝19.6cm，答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm；（2）过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，则BP＝BE•cosα＝10×cos10°≈4.8（cm），EP＝BE•sinα＝10×sin10°≈1.2（cm），∵DE＝21.7cm，∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣5.7＝20（cm），∴BH＝20cm，∵MN＝8cm，∴QH＝8cm，∴BQ＝BH﹣QH＝20﹣8＝12（cm），∵∠ABM＝145°，∴∠QBM＝∠ABM﹣α﹣90°＝145°﹣10﹣90°＝45°，∴QM＝BQ＝12cm，∴DN＝DH+HN＝BP+QM＝9.4+12＝21.8（cm），答：线段DN的长度为21.8cm．24．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与BC交于点E，点F在边AC的延长线上，且．（1）试说明FB是⊙O的切线；（2）过点C作CG⊥AF，垂足为C．若CF＝4，BG＝3【解答】解：（1）连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，，∴＝∠BAE，∴∠ABF＝∠CBF+∠ABE＝∠BAE+∠ABE＝90°，∴FB是⊙O的切线；（2）连接BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CG⊥AF，∴∠GCB＝90°﹣∠ACB＝90°﹣∠ABC＝∠GBC，∴GC＝GB＝3，∵CF＝3，∴FG＝5，∴FB＝5+4＝8，∵tanF＝，∴AB＝6，∴⊙O的半径＝4．25．（7分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，交BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CD，AB∥CD．∵BE＝AB，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，在△BEF与△CDF中，，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）解：四边形BECD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AB＝BE，∴CD＝EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF＝CF，EF＝DF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC，∴四边形BECD是矩形．26．（6分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据表1直发式x（dm）02468101620…y（dm）3.843.9643.96m3.642.561.44…表2间发式x（dm）024681012141618…y（dm）3.36n1.680.8401.402.4033.203…根据以上信息，回答问题：（1）表格中m＝3.84，n＝2.52；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1＝d2（填“＞”“＝”或“＜”）．【解答】解：（1）由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：m＝3.84；在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设这条直线的解析式为y＝kx+b（k≠4），把（0、（8，得，解得：，∴这条直线的解析式为y＝﹣0.42x+5.36，当x＝2时，y＝﹣0.42×8+3.36＝2.52，表格3中，n＝2.52；故答案为：3.84，6.52；（2）由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：“直发式“模式下，抛物线的顶点为（4，∴设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4（a＜3），把（0，3.84）代入2+4，解得：α＝﹣0.01，∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y＝﹣8.01（x﹣4）2+5；（3）当y＝0时，0＝﹣2.01（x﹣4）2+4，解得：x1＝﹣16（舍去），x2＝24，∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d6＝24；“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为（16，∴设这条抛物线的解析式为y＝m（x﹣16）2+2.2（m＜0），把（8，0）代入2+7.2，解得：m＝﹣0.05，∴这条抛物线的解析式为y＝﹣2.05（x﹣16）2+3.8，当y＝0时，0＝﹣2.05（x﹣16）2+3.7，解得：x1＝8，x6＝24，∴d2＝24dm，∴d1＝d3，故答案为：＝．27．（8分）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝2，PC＝1，求∠BPC的度数，连结AP′、PP′，则△BPC≌△BP′A，就可以解决这道问题．下面是小明的部分解答过程：解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，连结AP′、PP′，∵BP＝BP′，∠P′BP＝60°，∴△PBP′是等边三角形，∴∠BP′P＝60°，PP′＝PB＝．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BC＝BA，∴∠ABC﹣∠ABP＝∠P′BP﹣∠ABP，即∠PBC＝∠P′BA．（1）请你补全余下的解答过程．【类比迁移】（2）如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PC＝1，求∠BPC的度数．【拓展延伸】（3）如图③，在②的条件下，若正方形ABCD的边长为2.【解答】解：（1）∴△ABP′≌△C