2.3 等腰三角形的性质定理（2）浙教版八年级数学上册课件

浙教版八年级上等腰三角形的性质定理——第二课时学习目标1.掌握等腰三角形三线合一的性质2.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图2.等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等.可以说成“在同一个三角形中,等边对等角”几何语言：ACB∵AB=AC，∴∠B=∠C1.等腰三角形的轴对称性：你已经知道等腰三角形的哪些性质？等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线.在图中找出所有相等的线段和相等的角.由此你发现了等腰三角形还有哪些性质？相等的线段:AB=AC,BD=CD相等的角:∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一等腰三角形性质定理2：（1）∵AB=AC，∠1=∠2，∴AD⊥BC，BD=CD.（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD；（3）∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD,AD⊥CD；ADCBADCB几何语言表述：ADCB12已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．证明：∵AB=AC，

AD=AD，

BD=CD，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．

∴∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠ADB=90°，即有AD⊥BC．证明：等腰三角形中，底边上的高线、中线、顶角的平分线重合．讲授新知证明：如图，延长AD，交BC于点E.∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）而AD=AD（公共边）∠ADB=∠ADC（已知）∴△ABD≌△ACD（ASA）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）例3

已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC求证：AD⊥BCABCDE∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）∵AE是等腰三角形ABC顶角的平分线∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）即AD⊥BC将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？

因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的.否则梁就不是水平.

讲授新知例4已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC=a，底边BC上的高线长为h.作法如图：ha1.作线段BC=a；2.作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；3.在直线MN上截取DA=h，连结AB、AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.m如图，已知∠α和线段a,用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的中线等于a.am1.

以线段a为半径,A为顶点画弧交AM,AM于BC

2.用任意半径,分别以BC点为半径画弧相交,连接交点与A点,此线为角A的角平分线.它与上一个圆弧相交于D点.

3.通过D点做一条直线使其垂直于直线AD1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（）

A．平行B．AO垂直且平分BCC．斜交D．AO垂直但不平分BCB讲授新知【解析】连接AO并延长，如图：

在△ABO和△ACO中，AB=ACBO=COAO=AO

∴△ABO≌△ACO（SSS），

∴∠BAO=∠CAO，

∴AO垂直且平分BC（等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合）．m2.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．3.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.ABDC解：在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）

=40°(三角形内角和定理)又∵AD⊥BC（已知）∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）∴∠BAD=∠CAD=50°m4.如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD；②CF=DF．证明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，

∴△ABC≌△AED（SAS）∴AC=AD；

②∵AF⊥CD，AC=AD，

∴CF=FD（三线合一性质）．5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为______．【解析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，

∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，

∵MN∥BC，

∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，

∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，

∴BM=ME，EN=CN，

∴MN=ME+EN，

即MN=BM+CN．

∵BM+CN=9

∴MN=9.9如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的高，且BD、CE相交于O．

（1）请你写出三类不同的正确的结论；

（2）设∠CBD=α，∠A=β，试找出α与β之间的一种关系等式，并给予适当的说明（友情提示：∠ABC=∠ACB）．解：（1）三类不同的正确结论是：

①△CEB≌△BDC；②∠ABD=∠ACE；③AE=AD；

（2）α与β之间的一种关系式是β=2α．

其理由是：

∵BD⊥AC，

∴∠CBD+∠ACB=90°，

即α+∠ACB=90°．

∵AB=