2023年高考数学模拟试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023年高考数学模拟试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若集合A={l,2,3,4,5}，B={x|x<3}，则A∩(∁RB)=A.{4,5} B.{3,4,5} C.{1,2,3} D.{1,2}2.设复数z满足(1+2i)z=5i，则|z|=(

)A.12 B.52 C.3.双曲线x2−yA.π6 B.5π6 C.2π34.(x+2xA.4 B.6 C.8 D.105.在平面直角坐标系xOy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点P(2,−1)，则sin(π−2α)的值为(

)A.−45 B.−35 C.6.已知函数f(x)=log2x−(x−1)2A.(−∞,1)∪(2,+∞) B.(0,1)∪(2,+∞)

C.(1,2) D.(1,+∞)7.宽与长的比为5−12≈0.618的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中，BC=5−1A.5−1 B.5+1 C.8.设{an}为等比数列，若m，n，p，q∈N∗，则m+n=p+qA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知圆C：(x−2)2+y2=1与直线1：y=3x，P为直线1A.23 B.4 C.2 10.《九章算术⋅商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.意思是：如图，沿正方体对角面A1B1CD截正方体可得两个堑堵，再沿平面B1C1D截堑堵可得一个阳马(四棱锥D−A1B1C1D1)，一个鳖臑(三棱锥D−B1C1C)，若P为线段CD上一动点，平面α过点P，CD⊥平面αA. B.

C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.f(x)=x+1,x≤0x12.正方形ABCD中，AB=2，P为BC中点，Q为DC中点，则PQ⋅PC=______；若M为CD上的动点，则PQ13.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(其中φ为实数)，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，则满足条件的φ值为______(写出满足条件的一个14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦为F(2,0)，则抛物线C的方程是

；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|=

．15.小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系的散点图.有以下叙述：

①与函数y=t2+1相比，函数y=2t作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好；

②按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；

③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；

④按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的4m2蔓延到16m2至少需要经过3三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题13.0分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1CE=2，M为棱A1B1的中点．

(Ⅰ)求证：DE⊥BC17.(本小题13.0分)

在△ABC中，a=3，b=26，_____.求c的值.从①∠B=2∠A，②sinB=sin2A，③S△ABC18.(本小题14.0分)

某学校为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]35定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数[0,30)[30,50)[50,60]满意度指数012(1)在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；

(2)以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；

(3)如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．19.(本小题15.0分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(6,1)，且离心率为22．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，N20.(本小题15.0分)

已知函数f(x)=(x−2)ex−12ax2+ax(a∈R)．

(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)若a>0，讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅲ21.(本小题15.0分)

设数列A：a1，a2，…，an(n≥3)的各项均为正整数，且a1≤a2≤…≤an.若对任意k∈{3,4,…,n}，存在正整数i，j(1≤i≤j<k)使得ak=ai+aj，则称数列A具有性质T．

(Ⅰ)判断数列A1：1，2，4，7与数列A2：1，2，3，6是否具有性质T；(只需写出结论)

(Ⅱ)若数列A具有性质T，且a1=1，a2=2，an=200，求n的最小值；答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因为B={x|x<3}，所以∁RB=x|x≥3}，

又因为A={l,2,3,4,5}，

所以A∩(∁RB)=3,4,5}，

故选：2.【答案】C

【解析】解：∵复数z满足(1+2i)z=5i，

∴z=5i1+2i，

∴|z|=|5i||1+2i|=55=3.【答案】D

【解析】解：因为双曲线的方程为：x2−y23=1，

所以它的渐近线方程为y=±3x，即渐近线的斜率分别±3，

即渐近线的倾斜角为60°和120°，

所以一条渐近线与y轴的夹角为30°，

故两条渐近线所成的锐角为4.【答案】B

【解析】解：(x+2x)n的展开式的二项式系数之和为8，

则2n=8，解得n=3，

故展开式的通项为C3r(x)3−r(2x)5.【答案】A

【解析】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(2,−1)，

∴x=2，y=−1，r=|OP|=5，

∴sinα=yr=−15，cosα=xr=25，

则sin2α=2sinαcosα=2⋅25⋅6.【答案】B

【解析】解：令f(x)=log2x−(x−1)2=0，得log2x=(x−1)2，得x=1或x=2；

在同一坐标系内画出y=log2x与y=(x−1)2的图象，如图所示，

则不等式f(x)<0的解集为(0,1)∪(2,+∞)．

7.【答案】C

【解析】【分析】本题考查黄金矩形的定义，以及向量数量积的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．

由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．【解答】解：由黄金矩形的定义，可得AB=2，BC=5−1，

在矩形ABCD中，cos∠CAB=ABAC=2

8.【答案】A

【解析】解：设等比数列的公比为r，

则am⋅an=a12rm+n−2，ap⋅aq=a12rp+q−2，

若m+n=p+q，则am⋅an9.【答案】C

【解析】解：圆C：(x−2)2+y2=1的圆心坐标为C(2,0)，半径为1，

圆心到直线l的距离d=|23−0|2=3>1，可知直线与圆相离，

由正弦定理可得三角形PAC的外接圆的直径2R=|AC|sinπ6=2，

P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时|PC|为外接圆的直径，取得最大值为10.【答案】B

【解析】解：如图，

设α∩DC1=N，α∩DB1=M，

∵CD⊥α，∴CD⊥PN，则△DPN为等腰直角三角形，则PN=x，

DC1=2，

∵B1C1⊥平面DCC1，∴B1C1⊥DC1，

∵DC⊥平面PMN，DC⊥平面B1C1C，∴平面PMN//平面CB1C1，

而平面DC1B1∩平面PMN=MN，平面DC1B1∩平面CB111.【答案】−1，2

【解析】解：当x≤0时，x+1=0，解得x=−1；

x>0时，x2−4=0，解得x=2，

函数的零点为：−1，2．

故答案为：−1，2．

利用方程的根求解函数的零点即可．

12.【答案】1

3

【解析】解：以点D为原点，以直线DC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AB=2，P为BC中点，Q为DC中点，则：

P(2,1)，Q(1,0)，C(2,0)，

∴PQ=(−1,−1)，PC=(0,−1)，

∴PQ⋅PC=1；

设M(x,0)，(0≤x≤2)，则PM=(x−2,−1)，

∴PQ⋅PM=2−x+1=3−x，

∴x=0时，PQ⋅PM取最大值3．

故答案为：1，3．

可以点D为原点，以直线DC为x轴，建立平面直角坐标系，然后即可得出P(2,1)，Q(1,0)，C(2,0)，从而可得出PQ,13.【答案】π6【解析】解：由题意，f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，可得x=π6时，f(x)取得最大值或最小值．

若x=π6时，f(x)取得最大值，可得φ=π6+2kπ，k∈Z

若x=π6时，f(x)取得最小值，可得φ=−5π6+2kπ，14.【答案】y6

【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．

利用抛物线的焦点坐标，求解p，然后求解抛物线方程，进而结合抛物线的有关性质即可得解．【解答】解：抛物线C：y2=2px(p>0)的焦为F(2,0)，

可得p=4，则抛物线C的方程是y2=8x；

M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则M(1,±22)，

则

15.【答案】①②③

【解析】解：对于①，当浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y=t2+1时，当t=1，t=2，t=3，t=4时，

对应的y分别为y=2，y=5，y=10，y=17，

当浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y=2t时，当t=1，t=2，t=3，t=4时，

对应的y分别为y=2，y=4，y=8，y=16，

通过比较已知散点图可知，与函数y=t2+1相比，函数y=2t作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好，故①正确，

对于②，当x=5时，y=25=32>30，故第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2，故②正确，

对于③，由y=2x可知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍，故③正确，

对于④，由16.【答案】(Ⅰ)证明：因为CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC，

因为AC⊥BC，所以BC⊥平面ACC1A1，

因为

DE⊂平面ACC1A1，所以BC⊥DE，

即DE⊥BC．

(Ⅱ)证明：设A1D的中点为N，连接MN，则MN//B1D，

连接C1N，因为C1E//ND且C1E=ND，

所以C1NDE是平行四边形，

所以

C1N//DE，

所以平面C1MN//平面B1ED，

所以C1M//平面DB1E.

(Ⅲ)解：以C为原点，分别以CA、CB、CC1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，

可得C(0,0,0)、B(0,2,0)、B1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)．

依题意，【解析】(Ⅰ)证明CC1⊥BC，结合AC⊥BC，推出BC⊥平面ACC1A1，然后证明DE⊥BC．

(Ⅱ)设A1D的中点为N，连接MN，则MN//B1D，连接C1N，证明C1N//DE，推出平面C1MN//平面B1ED，即可证明C1M//平面DB1E.

(17.【答案】解：选择①：由正弦定理知，asinA=bsinB，

因为a=3，b=26，∠B=2∠A，

所以3sinA=26sin2A=262sinAcosA，

因为sinA≠0，所以cosA=63，

由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccosA，

所以9=24+c2−2⋅26c⋅63，解得c=3或5，

当c=3时，a=c，所以A=C，

又B=2A，A+B+C=π，所以A=C=π4，B=π2，

所以b=2a=32≠26，不符合题意，

故c=5．

选择②：因为sinB=sin2A=2sinAcosA，

由正弦定理得，b=2acosA，

又a=3，【解析】选择①：结合正弦定理与二倍角公式，可得cosA=63，再由余弦定理求出c=3或5，检验知，当c=3时，b=32≠26，进而得解；

选择②：结合二倍角公式与正弦定理，可得cosA=63，再由余弦定理，得解；18.【答案】(本小题满分13分)

解：(1)由对A餐厅评分的频率分布直方图，得

对A餐厅“满意度指数”为0的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2，[(2分)]

所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20.[(3分)]

(2)设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．

记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．

所以P(A1)=(0.02+0.02)×10=0.4，P(A2)=0.4，[(5分)]

由用频率估计概率得：P(B0)=2+3+5100=0.1，P(B1)=15+40100=0.55.[(7分)]

因为事件Ai与Bj相互独立，其中i=1，2，j=0，1．

所以P(C)=P(A1X012P0.20.40.4B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：Y012P0.10.550.35因为EX=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；

EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，

所以EX<EY，会选择B餐厅用餐．[(13分)]

注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．

【解析】(1)由对A餐厅评分的频率分布直方图，求解对A餐厅“满意度指数”为0的频率．然后求解对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数．

(2)设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C.记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1.求出概率，利用独立重复概率乘法公式求解即可．

(3)从学生对A，19.【答案】解：(1)由已知可得6a2+1b2=1ca=22a2=b2+c2，解得a2=8，b2=4，

所以椭圆E的方程为x28+y24=1，

(2)证明：由题意可知点P所在直线必然垂直于x轴，设为x=t，

设直线MN的方程为：x=my+2，M(x1,y1【解析】(1)由已知建立方程组，联立即可求解；(2)设点P所在的直线为x=t，再设出直线MN的方程以及点M，N，的坐标，并与椭圆方程联立，再写出直线DN的方程，求出点P的横坐标，利用韦达定理化简即可求解．

本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的分析问题的能力以及运算推理能力，属于中档题．

20.【答案】解：(Ⅰ)当a=0时，f(x)=(x−2)ex，f′(x)=(x−1)ex，

f(0)=(0−2)e0=−2，

f′(0)=(0−1)e0=−1，

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为：y+2=−(x−0)，

即：y=−x−2．

(Ⅱ)由f(x)=(x−2)ex−12ax2+ax，可得f′(x)=(x−1)ex−ax+a=(x−1)(ex−a)，

由于a>0，f′(x)=0的解为x1=lna，x2=1，

(1)当lna=1，即a=e时，f′(x)≥0，则f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，

(2)当lna<1，即0<a<e时，

在区间(−∞,lna)，(1,+∞)上，f′(x)>0；在区间(lna,1)上，f′(x)<0，

所以f(x)在(−∞,lna)，(1,+∞)上单调递增；在(lna,1)上单调递减．

(3)当lna>1，即a>e时，

在区间(−∞,1)，(lna,+∞)上，f′(x)>0；在区间(1,lna)上，f′(x)<0，

则f(x)在(−∞,1)，(lna,+∞)上单调递增，在(1,lna)上单调递减．

(Ⅲ)f′(x)=(x−1)(ex−a)

(1)当a≤0时，因为x≥2，所以x−1>0，ex−a>0，所以f′(x)>0，

则f(x)在[2,+∞)上单调递增，f(x)≥f(2)=0成立，

(2)当0<a≤e2时，f′(x)≥0，

所以f(x)在[2,+∞)【解析】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，函数单调性，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．

(Ⅰ)当a=0时，根据题意可得f(x)=(x−2)ex，计算f(0)，对f(x)求导得f′(x)，再由导数的几何意义可得k切=f′(0)，进而写出切线方程．

(Ⅱ)求导得f′(x)=(x−1)ex−ax+a=(x−1)(ex−a)，令f′(x)=0的解为x1=lna，x2=1，分三种情况：当lna=1，当lna<1，当lna>1，讨论f′(x)正负，进而可得f(x)的单调区间．

(Ⅲ)对f(x)21.【答案】解：(Ⅰ)∵7≠2+4，∴1，2，4，7不具有性质P；

∵2=1+1，3=1+2，6=3+3，∴1，2，3，6具有性质P，

即数列A1不具有性质T，数列A2具有性质T．

(Ⅱ)由题意可知，a2=2，a3⩽2a2=4，a4⩽2a3⩽8，…，a8⩽2a7⩽128，∴n⩾9．

若n=9，∵a9=200且a9⩽2a8，∴128⩾a8⩾100，

同理，64⩾a7⩾50，32⩾a6⩾25，16⩾a5⩾12.5，8⩾a4⩾6.25，4⩾a3⩾3.125，

∵数列各项均为正整数，∴a3=4，∴数列前三项为1，2，4．

∵数列A具有性质T，a4只可能为4，5，6，8之一，而又∵8⩾a4⩾6.25，∴a4=8，

同理，有a5=16，a6=32，a7=64，a8=128，

此时数列