勾股定理的逆定理步课件

第3章·勾股定理3.2勾股定理的逆定理学习目标1.探究并证明勾股定理逆定理，体会“数”与“形”的内在联系；2.会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形；3.知道“勾股数”的意义.问题情境上节课我们学习了：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.反过来，

如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？活动一

画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.操作与思考(2)a=5，b=12，c=13；(3)a=8，b=15，c=17.(1)a=3，b=4，c=5；B34CA5B512CA13B815CA17判断一下上述你所画的三角形的形状．你有什么发现？都是直角三角形思考1这三组数在数量关系上有什么相同点？操作与思考(2)a=5，b=12，c=13；(3)a=8，b=15，c=17.(1)a=3，b=4，c=5；82+152=17232+42=5252+122=132a2+b2=c2思考2根据上述结论你有什么猜想呢？操作与思考猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.你能证明这个猜想吗？AbaCBc已知：在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,且a2+b2=c2.求证：△ABC是直角三角形.操作与思考AbaCBcA′baC′B′∟证明：画一个△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，

A′C′=b（如图）.由勾股定理，可得

A′B′2=a2+b2.因为

AB2=a2+b2，根据“SSS”，可证△ABC

≌△A′B′C′.于是，∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形.新知归纳勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.AbaCBc符号语言：在△ABC中，∵a²+b²=c²，∴△ABC为直角三角形.作用：判定一个三角形是否是直角三角形.这个结论与勾股定理有什么关系呢？哪个角是直角最长边所对应的角为直角，∠C=90°.新知归纳勾股定理与其逆定理对比：勾股定理勾股定理的逆定理图形条件结论区别联系AbaCB∟在Rt△ABC中，∠C=90°a2+b2=c2“直角三角形”为条件，数量关系a2+b2=c2为结论.是直角三角形的性质.AbaCBc都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2+b2=c2有关在△ABC中，a2+b2=c2∠C=90°数量关系a2+b2=c2为条件，“直角三角形”为结论.是直角三角形的判定.形数新知应用(1)a=8，b=15，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角.解：(1)

∵82＋152＝64＋225＝289，172＝289，∴82＋152＝172.∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.(2)

∵132＋142＝365，152＝225，∴132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.新知巩固(1)a=7，b=25，c=24；判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.(2)

a:b:c=3:4:5.解：(1)

∵72＋242＝49＋576＝625，252＝625，∴72＋242＝252.∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠B是直角.(2)设a=3k、b=4k、c=5k，∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.新知归纳运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：1.找：确定三角形的最长边;

2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和;

3.比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等;

4.判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不

是直角三角形.例题讲解例1

像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a2＋b2＝c2的三个正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．a36912…3nb481216…4nc5101520…5na357911…2n+1b4122440

60…2n(n＋1)c51325

4161…2n(n＋1)＋1①从上面2个表中你能发现什么规律？②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看．解：①规律：一组勾股数，都扩大相同倍数n(n为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.勾股数的性质例题讲解②答案不唯一，如：15，20，25；13，84，85等．利用勾股数可以构造直角三角形.知识窗

美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿322”(plimpton322)的古巴比伦泥板.

泥板上的一些神秘符号揭示了什么奥秘呢？翻译图经过专家的潜心研究，发现其中两列数字竟然是直角三角形的勾和弦的长，只要再添加一列数(如图左边的一列)，那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长．这些数组都是勾股数组.人们经过研究发现：勾股数有无数多组.新知巩固例2

如图是由边长为1的小正方形组成的网格.(1)你能判断AD与CD的位置关系吗？说出你的理由.

(2)求四边形ABCD的面积.

ABCD解：(1)∵AD2=1+4=5，CD2=4+16=20，AC=5

连接AC.

∴AD2+CD2＝25，AC2＝25

∴AD2+CD2＝AC2

∴由勾股定理的逆定理得：∠CAD＝90°.

∴AD⊥CD(2)S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC

1.下列是直角三角形的有（

）个①△ABC中a²=c²-b²；②△ABC的三内角之比为3：4：7；③△ABC的三边平方之比为1：2：3；④三角形三边之比为3：4：5

A．１

B．2

C．3

D．4D新知巩固归纳总结用角判断：

1.两个锐角互余的三角形是直角三角形；2.有一个角是90°的三角形是直角三角形；用边判断：如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理(a²+b²=c²)进行判断.判断三角形是直角三角形的方法：新知巩固

D判断三个数是不是勾股数的“三步法”:(1)判断三个数是否都为正整数;(2)确定最大数;(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方.3.△ABC的三边长分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．问：△ABC是直角三角形吗？证明你的结论.解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²，∴由勾股定理的逆定理得△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.新知巩固4.如图，AD⊥BC，垂足为D.

如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由.CABD∟新知巩固解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°.∴在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5.

在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=22+42=20.∵AC2+AB2=20+5=25，BC2=52=25.∴AC2+AB2=BC2.∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°.124课堂小结勾股定理的逆定理内容应用勾股数a2+b2=c2直角三角形且∠C=90°判定一个三角形为直角三角形满足a2+b2=c2的三个正整数注意：最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.当堂检测1.下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（

）

A．3，4，5

B．10，6，8

C．4，5，6

D．12，13，5

C2.下列各组数是勾股数的是（

）

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A当堂检测

C当堂检测4.如图所示正方形网格中的△ABC，若小方的格边长为1，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对AACB当堂检测5.△ABC的三边分别是a、b、c且满足|a-8|+(b-6)2=0，则当c2=_______时，△ABC是直角三角形.100或284．若一个三角形的三边长满足a2－b2＝c2，则这个三角形一定是

________三角形．直角当堂检测解：∴根据勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形.172＝289，∵152+82＝289，

6．若一个三角形的三边长分别为8cm，15cm，17cm，求该三角形的面积及最长边上的高．

7.在△ABC中，D为BC边上的点.已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长.ABCD解：∵AB=13，AD=12，BD=5，∴AB2=AD2+BD2.∴由勾股定理的逆定理得：△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2.∵AD=12，AC=15,∴DC2=AC2-AD2=152-122=92.