河北省唐山重点学校2024年中考一模数学试题含解析

河北省唐山重点学校2024年中考一模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH_LAB于H,则DH=()

D.24

A.16B.32C.16VmD.32Vm

3.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.线段B.等边三角形C.正方形D.平行四边形

4.如图，△ABC为直角三角形，ZC=90°,BC=2cm,NA=30。，四边形DEFG为矩形，DE=2，§"cm,EF=6cm,

且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合.RtAABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移,

当点C与点F重合时停止.设RtAABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为yen?,运动时间xs.能反映yen?与xs

5.在数轴上表示不等式2（1-x）<4的解集，正确的是（）

A.

-10B-

6.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

8.如图，小明从A处出发沿北偏西30。方向行走至B处，又沿南偏西50。方向行走至C处，此时再沿与出发时一致的

方向行走至D处，则/BCD的度数为（）

9.某公园有A、B、C、D四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口

进入公园的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D・一

2468

10.COS30。的相反数是（）

A.一立B.--C.一立D.—受

3222

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.两个完全相同的正五边形都有一边在直线1上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示，则NAOB等于

度.

12.已知点（―3,yJ、（―15以）都在反比例函数y=K（kwO）的图象上，若力〉丫2,则k的值可以取（写出

X.

一个符合条件的k值即可）.

13.等腰AABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当

点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒.

14.分解因式：4ax2-ay2=.

15.分解因式：3m2-6m+3=.

16.如图，某海监船以20hn//z的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至4处时，测得岛屿尸恰好在

其正北方向，继续向东航行1小时到达5处，测得岛屿尸在其北偏西30。方向，保持航向不变又航行2小时到达C处,

此时海监船与岛屿尸之间的距离（即PC的长）为km.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）（1）（问题发现）小明遇到这样一个问题：

如图1,△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足NADE=60。，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线

于点E,试探究AD与DE的数量关系.

（1）小明发现，过点D作DF//AC,交AC于点F,通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请

直接写出AD与DE的数量关系：；

（2）（类比探究）如图2,当点D是线段BC上（除B,C外）任意一点时（其它条件

不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论.

（3）（拓展应用）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，

18-代分）先化简〔六一然后从-24。＜2中选出一个合适的整数作为0的值代入求值•

19.（8分）济南国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：小）与

滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示.

滑行时间x/s0123・・・

滑行距离y/机041224・・・

（1）根据表中数据求出二次函数的表达式.现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840加，他需要多少时间才能

到达终点？将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后的函数表达式.

20.（8分）某通讯公司推出了A,B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）

收要方式月使用药元包月上网时间力超时费（元min）

A30250.05

B50500.05

设月上网时间为xh（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题

（1）设方案A的收费金额为yi元，方案B的收费金额为y2元，分别写出yi,y2关于x的函数关系式；

（2）当35Vx<50时，选取哪种方式能节省上网费，请说明理由

21.（8分）如图1,在四边形ABCD中，AB=AD.ZB+ZADC=180°,点E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD

上，ZEAF=-ZBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系.

2

（1）思路梳理

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合.由NB+NADC=180。，得NFDG=180。，即点F,D,G三

点共线.易证AAFGM,故EF,BE,DF之间的数量关系为.

（2）类比引申

如图2,在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC的延长线上，NEAF=』NBAD,

2

连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系，并给出证明.

（3）联想拓展

如图3,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上，且NDAE=45。.若BD=LEC=2,则DE的长

为.

22.(10分)如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32。的方向上，向东走过

780米后到达B处，测得海岛在南偏西37。的方向，求小岛到海岸线的距离.(参考数据：tan37o=cot53%0.755,

实数x,a(-x+5)z+b(-x+5)-a(x-3)2+b(x-3)都成立.

(1)求二次函数产“好+白龙的解析式；

(2)若当-2q*(#0)时，恰有蛇长1.5r成立，求f和r的值.

-3(x+l)-(x-3)<8

24.解不等式组：2x+l1-x并求它的整数解的和.

--------------------<1

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

解：如图，设对角线相交于点O,

1111

VAC=8,DB=6,AO=—AC=—x8=4,BO=—BD=—x6=3,

2222

由勾股定理的，AB=,402+B02="2+32=5,

VDH±AB,ASABCD=AB«DH=-AC«BD,

2

【点睛】

本题考查菱形的性质.

2、B

【解析】

根据菱形的四边相等，可得周长

【详解】

菱形的四边相等

菱形的周长=4x8=32

故选B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，并灵活掌握及运用菱形的性质

3、B

【解析】

根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】

解：A、线段，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、等边三角形，是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、正方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

4、A

【解析】

VZC=90°,BC=2cm,ZA=30°,

由勾股定理得：AC=26,

:四边形。E尸G为矩形，ZC=90,

:.DE=GF=2y]3，ZC=NOE尸=90°,

：.AC//DE,

此题有三种情况：

(1)当0VxV2时，A5交OE于H,如图

"."DE//AC,

EHBE

•••一_,

ACBC

EHx

即亚=于

解得：EH=y[3x,

所以尸;♦石工3且总

22

J之间是二次函数，

所以所选答案C错误，答案D错误,

•:a=B>0,开口向上；

2

(2)当2SrW6时，如图，

ECRF

此时y-~x2x2^/3=2^/3,

(3)当6〈在8时，如图，设△ABC的面积是si,△WV5的面积是S2,

BF=x-6,与(1)类同，同法可求歹心疗丫-6君,

••y=si-si,

=—x2x25y3--x(x-6)x(yj2X-6y/3),

=-与x?+6也x-16网,

；一旦<0,

2

二开口向下，

所以答案A正确，答案B错误，

故选A.

点睛：本题考查函数的图象.在运动的过程中正确区分函数图象是解题的关键.

5、A

【解析】

根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数

轴上表示不等式的解集.2(l-x)<4

去括号得：2-2x<4

移项得：2x>-2,

系数化为1得：x>-l,

故选A.

“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边

都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

6、D

【解析】

试题分析：A.如图所示：-3<aV-2,故此选项错误；

B.如图所示：-3VaV-2,故此选项错误；

C.如图所示：l<b<2,贝!|-2<-bV-1,X-3<a<-2,故a<-b,故此选项错误；

D.由选项C可得，此选项正确.

故选D.

考点：实数与数轴

7,B

【解析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】

解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

8、B

【解析】

解：如图所示：由题意可得：Zl=30°,Z3=50°,则N2=30。，故由则/4=30。+50。=80。.故选B.

点睛：此题主要考查了方向角的定义，正确把握定义得出N3的度数是解题关键.

9、B

【解析】

画树状图列出所有等可能结果，从中确定出甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果数，再利用概率公式计

算可得.

【详解】

画树状图如下：

ABCDABCDABCDABCD

由树状图知共有16种等可能结果，其中甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果有4种，

41

所以甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率为一=一，

164

故选B.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

10、C

【解析】

先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数.

【详解】

*.*cos30°=-，

2

.•・cos30。的相反数是-苴，

2

故选C.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11,108°

【解析】

如图，易得AOCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出NOCD,然后求出顶角NCOD,再用360。减去NAOC、

NBOD、NCOD即可

【详解】

•.•五边形是正五边形，

.•.每一个内角都是108°,

ZOCD=ZODC=180°-108°=72°,

；.NCOD=36°,

.,.ZAOB=360°-108o-108o-36o=108°.

故答案为108°

【点睛】

本题考查正多边形的内角计算，分析出AOCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.

12、-1

【解析】

利用反比例函数的性质，即可得到反比例函数图象在第一、三象限，进而得出k<0,据此可得k的取值.

【详解】

解：点(-3,%)、(-15%)都在反比例函数y=K(k#0)的图象上,%〉丫2，

X

二在每个象限内，y随着x的增大而增大，

,反比例函数图象在第一、三象限，

k<0>

.•.k的值可以取-1等，(答案不唯一)

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.

13、7秒或25秒.

【解析】

考点：勾股定理；等腰三角形的性质.

专题：动点型；分类讨论.

分析：根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长,由勾股定理可求得AD的长，再分两种情况进行分析:

®PA±AC®PA±AB,从而可得到运动的时间.

解：如图，作ADLBC,交BC于点D,

BPDCBDE»C

VBC=8cm,

.*.BD=CD=^BC=4cm,

，AD=二_-__-=3,

分两种情况：当点P运动t秒后有PALAC时，

VAP2=PD2+AD2=PC2-AC2,...PD2+AD2=PC2-AC2,

/.PD2+32=(PD+4)2-52/.PD=2.25,

.,.BP=4-2.25=1.75=0.25t,

，t=7秒，

当点P运动t秒后有PALAB时，同理可证得PD=2.25,

:.BP=4+2.25=6.25=0.25t,

t=25秒，

点P运动的时间为7秒或25秒.

点评：本题利用了等腰三角形的性质和勾股定理求解.

14、a(2x+y)(2x-y)

【解析】

首先提取公因式a,再利用平方差进行分解即可.

【详解】

原式=a(4x2-y2)

=a(2x+y)(2x-y),

故答案为a(2x+y)(2x-y).

【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式

分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

15、3(m-1)2

【解析】

试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可，即3而Z6机+3=3(m2-2m+l)=3

(m-1),

故答案为：3(m-1)2

点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提(公因式)、二套(平方差公

式/一加=(a+b)(a—与，完全平方公式片土2加+〃=g±32)、三检查(彻底分解).

16、40>/3

【解析】

首先证明尸3=3C,推出NC=30。，可得PC=2B1,求出BL即可解决问题.

【详解】

解：在RtARiB中，VZAPS=30°,

1.PB=2AB,

由题意BC=2AB,

:.PB=BC,

：.ZC=ZCPB,

■:NABP=ZC+ZCPB^60°,

.\ZC=30°,

：.PC^2PA,

"：PA=AB*tan600,

/.PC=2x20x73=4073(km),

故答案为40^/3.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是证明尸3=5C,推出NC=30。.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)AD=DE；(2)AD=DE,证明见解析；(3)

3

【解析】

试题分析：本题难度中等.主要考查学生对探究例子中的信息进行归纳总结.并能够结合三角形的性质是解题关键.

试题解析：(10分)

(1)AD=DE.

(2)AD=DE.

证明：如图2,过点D作DF〃AC,交AC于点F,

VAABC是等边三角形，

/.AB=BC,ZB=ZACB=ZABC=60°.

又；DF//AC,

ZBDF=ZBFD=60°

.♦.△BDF是等边三角形，BF=BD,NBFD=60。，

.\AF=CD,ZAFD=120°.

VEC是外角的平分线，

ZDCE=120°=ZAFD.

VZADC是^ABD的外角，

，ZADC=ZB+ZFAD=60°+ZFAD.

VZADC=ZADE+ZEDC=60°+ZEDC,

.\ZFAD=ZEDC.

.,.△AFD^ADCE(ASA),

.\AD=DE；

(3)—.

3

A

BDC

考点：L等边三角形探究题；2.全等三角形的判定与性质；3.等边三角形的判定与性质.

18、-1

【解析】

先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a的取值范围.

【详解】

解,"11)：?

\a-lJa-a

Q-(a-1)a(a—1)

-a-l*2

ci—Q+1—1)

a-l2

_a

一5，

当a=—2时，原式=—=-1.

2

【点睛】

本题考查的是代数式的求值,熟练掌握代数式的化简是解题的关键.

5丫11

19、(1)20s；(2)y=2^x--.......

1)2

【解析】

(1)利用待定系数法求出函数解析式，再求出y=840时x的值即可得;

(2)根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】

解：(1)..•该抛物线过点(0,0),

二设抛物线解析式为y^a^+bx,

将(1,4)、(2,12)代入，得:

a+b=4-

4a+2b=12'

a=2

解得：

b=2'

所以抛物线的解析式为>=2好+2%,

当y=840时，2，+2尤=840,

解得：x=20(负值舍去)，

即他需要20s才能到达终点；

(2)'：y=2x2+2x^22-

二向左平移2个单位，再向下平移5个单位后函数解析式为y=2(x+2+1)2-1-5=2(x+|)2-y.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及函数图象平移的规律.

30,0>25[50,0^!k50

20、(1)%=“；(2)当35VxVl时，选择B方式能节省上网费,

3%—45,x>25'3%-100,x>50

见解析.

【解析】

(1)根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解;

(2)当35VxVl时，计算出yi-y2的值，即可得出答案.

【详解】

30,原Ik25

解：(1)由题意得：%=<；

'30+0.05x60x(x-25),x>25

"30,礴25

3%-45,x>25

50,怎此50

2150+0.05x60x(%-50),x>50

[50,0^!k50

即%=；

~[3%-100,尤>50

(2)选择B方式能节省上网费

当35Vx<l时，有yi=3x—45,y2=l.

：yi-y2=3x-45-l=3x—2.记丫=3x-2

因为3>4,有y随x的增大而增大

当x=35时，y=3.

所以当35VxVl时，有y>3,即y>4.

所以当35VxVl时，选择B方式能节省上网费

【点睛】

此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，正确理解收费标准求出函数解析式是解

题的关键.

21、(1)AAFE.EF=BE+DF.(2)BF=DF-BE,理由见解析；(3)逐

【解析】

试题分析：(1)先根据旋转得：NADG=NA=90,计算/£DG=180。，即点RD、G共线，再根据SAS证明

△AFE^AAFG,得EJF=PG,可得结论EF=O尸+OG=OF+4E；

(2)如图2,同理作辅助线：把△A8E绕点A逆时针旋转90至△AOG,证明△EA歹丝△GAF,得E/HFG,所以

EF=DF-DG^DF-BE;

(3)如图3,同理作辅助线：把AABO绕点A逆时针旋转90至AACG,证明AAEZ>丝△AEG,得DE=EG,先由

勾股定理求EG的长，从而得结论.

试题解析：(1)思路梳理：

如图1,把小ABE绕点A逆时针旋转90至△ADG,可使AB与AD重合，即AB^AD,

由旋转得：ZADG=ZA=90,BE=DG,ZDAG=ZBAE,AE=AG,

：.ZFDG^ZADF+ZADG=90+90=180，

即点EZ>.G共线，

•••四边形ABC。为矩形，

：.ZBAD=90,

VZEAF=45，

ZBAE+ZFAD=90-45=45,

，ZFAD+NDAG=NFAG=45,

ZEAF=ZFAG=45,

在AAFE和△A尸G中，

AE=AG

•:\ZEAF=ZFAG

AF=AF,

：.AAFE^AAFG(SAS),

：.EF=FG,

：.EF=DF+DG=DF+AE；

故答案为：△AFE,EF=DF+AE,

⑵类比引申：

把△ARE绕点A逆时针旋转90至AAOG,可使A5与AO重合，则G在Z>C上,

由旋转得：BE=DG,ZDAG=ZBAE,AE=AG,

'：ZBAD=90，

：.ZBAE+ZBAG=90,

VZEAF=45，

：.ZFAG=90-45=45，

：.ZEAF=ZFAG=45，

在尸和△GA厂中，

AE=AG

VJZEAF=/GAF

AF=AF,

：.AEAF^AGAF(SAS),

:.EF=FG9

:.EF=DF-DG=DF-BE;

(3)联想拓展：

如图3,把AAbO绕点A逆时针旋转90至AACG,可使AS与AC重合，连接EG,

B

由旋转得：AD=AG9ZBAD=ZCAG9BD=CG9

VZBAC=90,AB=ACf

；・NB=NACB=45,

AZACG=ZB=45,

AZBCG=ZACB+ZACG=45+45=90,

VEC=2,CG=BD=19

由勾股定理得：EG7f**=非,

VZBAD=ZCAG,ZBAC=90,

AZDAG=9