2024年中考数学复习锐角三角函数的核心知识点精讲（讲义）（原卷版）

专题20锐角三角函数的核心知识点精讲

复习目标

1.通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练应用sinA,cosA,tanA表示直角三角形

中两边的比，熟记特殊角30°,45°,60°的三角函数值；

2.理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，锐角三角函数的有关知识来解某些简

单的实际问题，从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识；

3.会用锐角三角函数的有关知识来解决某些简单的实际问题。

考点1：锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,乙A所对的边BC记为a,叫做乙A的对边，也叫做乙B的

邻边，ZB所对的边AC记为b,叫做乙B的对边，也是乙A的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.

【乐•八an-，乙4的对边a

锐角A的对边与斜边的比叫做4A的正弦,记作sinA,即sinA-人」=

斜边。

b

、口比Aan/NN的邻边

锐角A的邻边与斜边的比叫做4A的余弦,记作cosA,即cosA=——------二—

斜边c

［代An.“乙4的对边a

锐角A的对边与邻边的比叫做乙A的正切,记作tanA,即BtanZ=..,

NN的邻边b

闩加._的对边bN8的邻边二afang=48的对边=b

斜边c'N8的邻边a

考点2：特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下:

锐角asinacosatana

2s昱

30°

223

近

45°巫1

~2~2

60°在币

22

考点3：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt^ABC中，ZC=90°,2A、ZB.4C所对的边分别为a、b、c,则有:

①三边之间的关系：a2+b2=c?（勾股定理）.

②锐角之间的关系：ZA+ZB=90°.

③边角之间的关系：

aba

sin^4=—COSJ4=—tan—

c,c,b,

._b_ai

$in5=-cosj?=—tan5=—

C,c,a.

注意:

⑴直角三角形中有一个元素为定值（直角为90°）,是已知值.

⑵这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系（如不等关系）.

⑶对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.

考点4：解直角三角形的应用「

（1）坡度坡角'

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

⑴坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母&表示.上

h

—=tana

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离?的比叫做坡度，用字母J表示，贝『；，如图，坡度

通常写成7=方：/的形式.

（2）仰角俯角问题

仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如

（3）方位角问题

方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,PB,

PC的方位角分别为是40°,135°,245

CD

⑵方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向

线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60。.特别如：

东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45。,西北方向指的是

北偏西45.

〈曲例即领

【题型1：锐角三角函数的概念】

【典例1】（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点力,3分别在x轴负半轴和/轴正半轴上，点。在

03±,OC-.BC=1：2,连接/C,过点。作。尸〃43交ZC的延长线于P.若尸（1,1）,则tan乙。/

P的值是（）

【变式1」】（2021•云南）在△48。中，AABC=90°.若NC=100,sig=2,则的长是（）

5

A.50°B,5°3c.60D.80

35

【变式1-2］（2023•陕西）如图，在6x7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点N,B,。都在格点

上，贝Usin/?的值为（）

2^B§行C

13-131。・华

【变式1-3】（2022•宜宾）如图，在矩形纸片48co中，AB=5,BC=3,将△BCD沿折叠到■。位

置，DE交4B于点F,则cos44DF的值为（）

D«---------------1c

AFB

E

A.-i-B.J—C.15D,且

17151715

*工曲例引领

【题型2：特殊角的三角函数】

【典例2】（2022•天津）tan45°的值等于（)

A.2B.1C.加D.近

23

%加时怆SI

[变式2-1](2022•广东)sin30°=____.

【变式2-2](2022•荆门)计算：,,A+COS60°-(-2022)°=

[变式2-3](2022•达州)计算：(-1)2022+|-2|-(-1)0-2tan45°.

2

f曲例丽

【题型3：解直角三角形】

【典例3】（2023•常州）如图，在RtzXNBC中，44=90。，点。在边上，连接CD若BD=CD,也

BD

=A,贝tanS=

3

.6D时龄9M

【变式3-1］（2023•牡丹江）如图，将45°的乙/OB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点。与尺下沿

的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2c%若按相同的方式将22.5°

的AAOC放置在该刻度尺上，则。。与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm.

【变式3-2】（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点

4、B、C三点都在格点上，贝I]sin4ABC=.

【变式3-3】（2022•乐山）如图，在Rt^ABC中，2c=90。，5C=遥，点。是/C上一点，连结若

tanAA=A,tanAABD=―,则CZ>的长为（）

23

”・典例即领

【题型4：解直角三角形的应用】

【典例4】（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它

包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），

当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度

最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表NC垂直圭3C,已知

该市冬至正午太阳高度角（即4/3C）为37°,夏至正午太阳高度角（即4/OC）为84。，圭面上冬至

线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米.

图2

（1）求的度数.

（2）求表/C的长（最后结果精确到0.1米）.

（参考数据：sin37°=3,cos37°tan37°~A,tan84°〜史）

5542

即时桧91

【变式4-1］（2023•盐城）如图I,位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2,

线段ZB表示“铁军”雕塑的高，点3,C,。在同一条直线上，且乙/。2=60。，乙103=30°,CD=

17.5m,则线段的长约为一加（计算结果保留整数，参考数据：遥〜1.7）

［变式4-2］（2023•贵州）贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修

建观光索道.设计示意图如图②所示，以山脚/为起点，沿途修建/仄CD两段长度相等的观光索道,

最终到达山顶。处，中途设计了一段与/尸平行的观光平台3C为50九索道与/尸的夹角为15。，

CD与水平线夹角为45°,4、5两处的水平距离4B为576加，DF1AF,垂足为点?（图中所有点都在

同一平面内，点N、E、尸在同一水平线上）

（1）求索道48的长（结果精确到\m）；

（2）求水平距离AF的长（结果精确到11n）.

（参考数据：sinl50-0.25,cosl5°=0.96,tanl5°=0.26,y/2^1.41）

【变式4-3］（2023•成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外

安装遮阳篷，便于社区居民休憩.

如图，在侧面示意图中，遮阳篷N3长为5米，与水平面的夹角为16°,且靠墙端离地高为4米,

当太阳光线与地面CE的夹角为45。时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据：sinl60

好题冲关

■础讨关

一.选择题（共10小题）

1.在△N8C中，4c=90。，AB=5,BC=4,那么乙/的正弦值是（)

A.3B.AC.3D._4

435~5

2.2sin45°的值为()

C.近D.

A.我B.1近

22

3.如图，以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线04交于点2,再以2为圆心，3。长为半径画弧，两

弧交于点C,画射线OC,则sinAAOC的值为（）

D空

4.为测楼房8c的高，在距楼房30米的/处，测得楼顶8的仰角为a,则楼房8C的高为（）

B

-----lc

A.30tana米B.——_米lC.30sina米D.——

tanClsinCl

5.如图，ND是△/BC的高，若BD=2CD=6,sin/DAC=1,则边/台的长为（）

A

:

BDC

A.2^2B,472C.3^5D.672

6.如图，已知AB是。。的直径,CD是G）O的弦，ABLCD,垂足为E.若48=10,CD=8,贝l］乙。CE

的余弦值为（）

A

B

A.3B.Ac.3D.A

5543

7.如图，在△48。中，Z.C=90°,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,连接CD,若tan/CDE用，

4

3C=8,则△48C的面积为（）

BD）A

A.5B.8C.10*D.16

8.某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形.若44C5=130。,AC=BC=L2m,CQ与地面垂直且CD=

3m,则灯顶4到地面的高度为（）

A

A1.3+1.2cos25°B.3+1.2sin250

^+cos250D.^+sin250

9.某地区准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角AACB的余弦值为国,

5

则坡面/C的长度为（）

A

A.8B.9C.10D.12

10.如图，某建筑物的顶部有一块标识牌C£>,小明在斜坡上8处测得标识牌顶部。的仰角为45°,沿斜

坡走下来在地面/处测得标识牌底部。的仰角为60°,已知斜坡的坡角为30°,AB=AE=10米则

标识牌CD的高度是（）米.

A.15-573B.20-10^/3C.10-573D.5愿-5

二.填空题（共5小题）

11.cos30°=.

12.如图，△力5。中，AC=90°,BC=12,45=13,贝!JsiM=

A

C

13.在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1,△NBC的三个顶点均在格点上.贝Ijtan/_N的值为

1

14.图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂NC,支架2C

与立柱分别交于8两点，灯臂/C与支架3c交于点C,已知乙M4c=60。，AACB=15°,A

C=40cm,则支架8C的长为cm.（结果精确到lc〃z,参考数据：&-1.414,«=1.732,遍-2.

449）

15.某仓储中心有一斜坡N8,其坡比i=l：2,顶部/处的高/C为4米，B、。在同一水平面上.则斜坡

三.解答题（共5小题）

16.计算：3tan300+tan45°-2sin60°.

17.为保证车辆行驶安全，现在公路旁设立一检测点/观测行驶的汽车是否超速.如图，检测点/到公路

的距离是24米，在公路上取两点2、C,使得乙4c3=30。，AABC=120°.

（1）求3c的长（结果保留根号）;

（2）已知该路段限速为45千米/小时，若测得某汽车从2至IC用时2秒,这辆汽车是否超速？说明理由.（参

考数据：返21.7,&=1.4）

18.小琪要测量某建筑物的高度.如图，小琪在点/处测得该建筑物的最高点C的仰角为31。，再往该建

筑物方向前进30m至点B处测得最高点C的仰角为45°.根据测得的数据,计算该建筑物的高度CD（结

果取整数）.

参考数据：sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.60.

19.如图，一气球到达离地面高度为12米的N处时，仪器显示正前方一高楼顶部8的仰角是37°,底部C

的俯角是60°.气球要竖直上升到与楼顶同一水平高度，应至少再上升多少米？（结果精确到01米）

（参考数据:sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°=0.75,Vs^l.73）

C

20.贵州省遵义市凤凰楼，位于凤凰山主峰，该楼为一幢七层六角型仿古景观建筑，游客登上楼顶后，可

以将遵义城区风景一览无余，是当地识别性很高的地标建筑.在一次综合实践活动中，某小组对凤凰楼

的楼高进行了如下测量.如图，将测角仪放在楼前平坝C处测得该楼顶端3的仰角为60。，沿平坝向后

退50m（CD=50m）到D处有一棵树，将测角仪放在距地面2m（DE=2m）的树枝上的E处，测得B的

仰角为30°.请你帮助该小组计算凤凰楼的高度/A（结果精确到1加，参考数据：73^1,73）

fE升

选择题（共10小题）

1.如图，一把梯子48斜靠在墙上，端点/离地面的高度/C长为1小时，乙48c=45°.当梯子底端点8

水平向左移动到点9，端点/沿墙竖直向上移动到点设乙4®C=a,则44,的长可以表示为（）

m.

cB

A.V2sinClB.&sina-1C.&cosa-lD.&tanCl-1

2.如图，Rt2\48C中，Z.C=90°,BC=9,AC=12,经过点8且半径为5的。。与交于。，与C8的

延长线交于E,则线段DE的长为（）

A.6.4B.7C.7.2D.8

3.如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为

140根的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）

4.在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度.如图，测量仪在/处测得树顶。的仰角为45。，

在C处测得树顶。的仰角为37°（点/、2、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度/E=CF=L

65米，/C=28米，则树AD的高度是（）【参考数据：sin37。«0.60,cos37°=0.80,tan37°«0.

75】

A.12米B.12.65米C.13米D.13.65米

5.如图，在边长为1的小正方形网格中，点/、B、C、。都在这些小正方形的顶点上，AB.CA相交于点

O,贝!Jcos乙（）

2ZLB,2ZLc,2ZLD,

2235

6.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面

积=工（弦、矢+矢2）,弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长N瓦

2

“矢”等于半径长与圆心。到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8,“矢”为3,贝Ijcosz。

A.3B.处C.AD.以

525525

7.如图，已知△48C中，2c=90°,tanA=-1,。是/C上一点，ACBD=AA,贝ljsin乙CD3的值为(

3

8.小明喜欢构建几何图形，利用数形结合的思想解决代数问题.在计算tan22.5。时，如图，在Rt^/C3

中，4c=90°,AABC=45°,延长使连接/D,得乙。=22.5。,所以，

匚。_AC_1=&-1_____rr

nn1类比小明的方法，计算tanl5。的值为（）

-CD-V2+1(V2+1)(V2-1)

-A——

A.V3-V2B.VeW2c.2-^3D.V6-V3

9.如图，大坝的横截面是梯形坝顶宽ND=4加，坝高/£=6根，斜坡N3的坡度i=l：V3,

斜坡DC的坡角4c=45°,那么坝底8c的长度是(）m.

AD

BEC

A.673B.(6煦+4)C.10D.（673+10）

10.如图，△N8C中，CD1.AB,BEYAC,垂足分别为。、E,连接DE,若迈=2,则siM的值为（）

BC5

c

AD

c等

二.填空题（共5小题）

11.如图，矩形48co是供一辆机动车停放的车位示意图，已知2C=2〃?，CD=5Am,乙DCF=30：则

车位所占的宽度跖为米.（愿—1.73,结果精确到0.1）

12.如图是一个水坝的横截面示意图（AD，BC）,迎水坡48的坡比i=l：3,坡面长48=30米，背水坡C

。的坡角乙BCD=45°,则背水坡坡面C£＞长是一米.（注：坡比是斜坡的铅直高度与水平宽度的比）

13.如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C,仰角为45°,走到点尸处仰望

楼顶C,仰角为60°,眼睛。、2离同一水平地面EG的高度为1.6米，FG=20米，则楼顶C离地面的

高度CE约是_米（正取1.732,加取1.414,按四舍五入法将结果精确到0.1）.

14.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，4a、40如图所示，则sin（a+|3）=

15.如图，在中，AACB=90°,AA=60°,/C=2,点。、点£、点尸分另I」是NC,AB,BC边

的中点，连接EF,得到它的面积记作S;点。1、点©、点F1分别是斯，EB,F5边的

中点，连接。闵、EiFi,得到它的面积记作Si,照此规律作下去，则S2023=

三.解答题（共3小题）

16.如图，在坡顶/处的同一水平面上有一座网络信号塔3C,数学兴趣小组的同学在斜坡底尸处测得该塔

的塔顶8的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡N尸攀行了26米到达坡顶，在坡顶/处又

测得该塔的塔顶B的仰角为76°.

求：（1）坡顶/到地面P0的距离；

（2）网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）.

（参考数据：sin76°-0.97,cos76°=0.24,tan76°=4.01）

17.一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点尸处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端/的

俯角为24°.无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点0处，此时测得该建筑物底端3的俯角

为66。.已知建筑物N2的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度.

（参考数据：sin24°,cos24°tan24°sin660cos660g2,tan66°）

510201054

飞行方向

〕A

、B地面

18.如图，在一笔直的海岸线/上有/,2两个观测站，/在8的正东方向.有一艘渔船在点P处，从/处

测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得8,尸两点之间的距离为20海里.

（1）求观测站4B之间的距离（结果保留根号）；

（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏

西15°的方向.在渔船到达。处的同时，一艘补给船从点3出发，以每小时20海里的速度前往。处，

请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：我