人教版九年级数学上册《圆的有关性质（第2课时）》示范教学设计

圆的有关性质（第2课时）学目标1．探索并理解圆的对称性，体会圆的对称美．2．掌握垂径定理及其推论，并能灵活运用它们解决有关的证明与计算问题．3．能利用垂径定理及其推论解决相关的实际问题，体会数学与生活实际的密切联系．教学重点探索圆的对称性；垂径定理及其推论的应用．教学难点垂径定理的探索与证明．教学准备准备直尺、圆规和剪刀．教学过程知识回顾连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．如图，AB，CD，AC是弦，AB是直径．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．如图，是优弧，是劣弧，是半圆．【设计意图】带领学生复习与圆有关的一些概念，巩固基础，为本节课研究圆的性质做准备．新知探究一、探究学习【问题】剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？【师生活动】学生先自己动手操作，教师进行演示，然后小组讨论，得出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．教师提示：要想证明这个结论，只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上即可．学生根据提示，独立完成证明．【答案】证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上除点C，D以外的任意一点．过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′．在△OAA′中，∵OA＝OA′，∴△OAA′是等腰三角形．又AA′⊥CD，∴AM＝MA′．即CD是AA′的垂直平分线．这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称．【新知】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．【设计意图】让学生在动手操作中发现圆的对称性，知道圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，掌握证明一个图形是轴对称图形的常用方法，体会圆的对称美．【问题】如果我们在圆形纸片上任意画一条弦AB，如图，观察这个图形，它还是轴对称图形吗？若是，请找出它的对称轴．【师生活动】学生先独立操作，然后小组讨论得出答案．【答案】如图，作出垂直于弦AB的直径CD，沿着这条直径所在的直线对折，图形在这条直径两侧的部分能完全重合，即图形关于这条直径所在直线对称．【思考】设直径CD与弦AB垂直于点E（如图），在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中有哪些相等的线段和相等的弧？【师生活动】学生独立操作、思考，得出答案：AE＝BE，＝，＝．【思考】结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？【师生活动】学生小组讨论，教师进行总结．【新知】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．符号语言：∵CD是直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E．∴AE＝BE，＝，＝．这个定理也可以理解为一条直线若满足：①过圆心，②垂直于弦，则可以推出③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．在这个定理中，①过圆心，②垂直于弦，这两个条件缺一不可，同时满足这两个条件时才能推出结论③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．【设计意图】借助动图和动画，形象地展示圆的对称性，让学生在动手操作的过程中探索出垂径定理．加深学生对定理的理解，为学习垂径定理的推论做准备．【问题】反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？请在纸上画一个以点O为圆心的圆，在⊙O上任意画出一条弦CD（不是直径）．找到弦CD的中点E，过点E作⊙O的直径MN，MN与CD有什么位置关系？如果弦CD是直径呢？【师生活动】学生先自己画图、测量，然后小组讨论交流，得出答案．【答案】MN⊥CD．如果弦CD是直径，两条直径任何时候都是互相平分的，但是不一定相互垂直．猜想：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧．【追问】你能对你的猜想进行证明吗？【师生活动】学生独立思考，得出答案，教师进行总结．【答案】已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点P，AP＝BP．求证：CD⊥AB，＝，＝．证明：连接OA，OB，则AO＝BO．∴△AOB是等腰三角形．∵AP＝BP，∴CD⊥AB．∴＝，＝．（垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧）【新知】垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．符号语言：∵在⊙O中，CD是直径，弦AB不是直径，且AE＝BE，∴CD⊥AB，＝，＝．这个推论也可以理解为一条直线若满足：①过圆心，③平分弦，则可以推出②垂直于弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．在这个推论中，“③平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立．【设计意图】让学生在动手操作的过程中观察、思考，得出垂径定理的推论，引导学生区分垂径定理及其推论的题设和结论．二、典例精讲【例1】如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．【师生活动】学生先独立思考，然后小组讨论，尝试进行解答，教师给予帮助．【答案】解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA．∵OE⊥AB，AB＝8cm，∴AE＝AB＝4cm．在Rt△OEA中，由勾股定理，得OA2＝42＋32，∴OA＝5，即⊙O的半径为5cm．【设计意图】巩固学生对垂径定理的掌握．【例2】如图，M是⊙O中的弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝6cm，EM＝9cm，求⊙O的半径．【师生活动】学生独立完成，教师出示答案．【答案】解：如图，连接OC．设OC＝rcm，则OM＝(9－r)cm．∵EM经过圆心O，M是CD的中点，CD＝6cm，∴EM⊥CD，CM＝CD＝3cm．在Rt△OCM中，由勾股定理，得r2＝(9－r)2＋32，解得r＝5，即⊙O的半径为5cm．【归纳】垂径定理基本图形的四变量、两关系．1．四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离（弓形高）h，已知这四个变量中的任意两个可求其他两个．2．两关系：（1）＋＝；（2）h＋d＝r．【设计意图】巩固学生对垂径定理的推论的掌握．【例3】赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．【分析】解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．【师生活动】学生根据提示进行小组讨论并完成作答，教师出示答案，并总结．【答案】解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设可知AB＝37，CD＝7.23，∴AD＝AB＝×37＝18.5，OD＝OC－CD＝R－7.23．在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.52＋(R－7.23)2．解得R≈27.3．因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m．【归纳】垂径定理及其推论解决相关的实际问题：【设计意图】巩固学生对垂径定理及其推论的应用．三、拓展提升【思考】观察垂径定理及其推论的题设与结论，你能发现什么？【师生活动】教师出示垂径定理及其推论，学生小组讨论，师生一起总结．【归纳】对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．