2024中考数学复习：选择压轴重点题（解析版）

专题05选择压轴重点题

一、单选题

1.（2022•广东深圳•统考中考真题）如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，ZABE=9Q°,BC为。切

线，C为切点，DE为。直径，C4=C2则一ABC和一CDE面积之比为（）

A.1:3B.1:2C.72:2D.（后—1）:1

【答案】B

【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算

即可.

【详解】解：如图取。石中点O,连接OC.

JZDCE=ZDCA=90°.

3c与圆O相切.

・•・ZBCO=90°.

丁ZDCA=ZBCO=90°.

：.ZACB=ZDCO.

•・・NABD+NACO=180°.

AZA+ZBDC=180°.

又ZBDC+ACDO=180°.

ZA=NCDO.

VZACB=ZDCO,AC=DC,ZA=ZCDO.

：.AABC=△OOC(ASA).

,•*^AABC=S&DOC•

:点。是DE的中点.

,,SADOC=0-5SACDE-

,•SAABC=0.5SACD£.

♦•,^AABC：S^CDE=1：2

故答案是：1：2.

故选：B.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周

角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提.

2.（2021.广东深圳•统考中考真题）在正方形ABCD中，钻=2,点E是BC边的中点，连接DE,延长EC

至点F,使得EF=DE,过点尸作bG,DE,分别交C。、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN,下

列正确的是：®tanZGFB=|；@MN=NC；③噂=；；④Sm="（）

Z乜UZ2

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】解：①中由/GLDE即可得到NGEB=N£DC,再由正切等于对边比邻边即可求解；

②中先证明ADEC”乙尸EM得到EM=EC,DM=FC,再证明4DMN94FCN即可求解；

③中先证明GE//CM,得到空=空=喜二=上叵即可求解；

EGEF755

④中由tanNR=tanNEDC=g=1得到G8=工BP=色工，再由端边形GBEM=2s根-£即可求解.

BF222

【详解】解：①•；FGLDE,

：.ZDMF=90°=ZNCF,且对顶角/MND=NCNF,

ZGFB=ZEDC,

•.•ABCO为正方形，E是8C的中点，

：.BC=CD,

FC1

tanZGFB=tanZEDC=—=-,①正确;

CD2

②由①知ZMDN=NCFN,

又NECD=NEMF=9Q,已知EF=ED,

：.ADEC学AFEM(SAS),

/.EM=EC,

DM=FC,

VZMDN=ZCFN,AMND=ZCNF,DM=FC,

：.ADACV^AFCN(AAS),

:.MN=NC,故②正确；

@VBE=EC,ME=EC,

：.BE=ME,

且/8=/GME=90°,GE为Rt_GBE和Rt.GME的公共边,

RtAGBE冬RfAGME(HL),

ZBEG=ZMEG,

,:ME=EC,

：.ZEMC=ZECM,

由三角形外角定理可知：ZEMC+ZECM=ABED=ZBEG+ZMEG,

NGEB=NMCE,

：.MCIIGE,

.CMCF

"EG~EF

EF=DE=y/EC2+CD2=45'CF=EF-EC=布-1,

.CMCFA/5-15-A/5

故③错误;

"~EG~~EF~y/5~5

④由上述可知：BE=EC=1,CF=y/5-1,

BF=45+1,

「R1

tanZF=tan/EDC==—,

BF2

・CD1DZ7小+1

22

S四边形GBEM=2Sm=2gBE•BG=浮,故④正确・

故选B.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

3.（2023•广东深圳•校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的边BC与无轴平行，A,8两

k

点纵坐标分别为4,2,反比例函数y=—经过A,B两点，若菱形ABCD面积为8,则左值为（）

A.-8A/3B.-2A/3C.-8D.-6石

【答案】A

【分析】过点A作W8C,设4匕，“，2）根据菱形的面积得到的长度，在中应用

勾股定理即可求解.

【详解】解：过点A作AEL8C,

k

「A,8两点纵坐标分别为4,2,反比例函数y=—经过A,8两点,

；・设哈4］，哈，21

kkk

：.AE=2,BE=--+-=--,

244

•••菱形ABC。面积为8,

BCAE=8,解得BC=4,

AB=BC=4,

在RtAABE中，AB2=AE2+BE2，

BP42=22+BE2>解得M=2若,

•'k=-8-\/3）

故选：A.

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关

键.

4.（2023・广东深圳・统考二模）如图，矩形ABC。中，/3AC=60。，点E在A3上，且BE：AB=1：3,点、F

CF

在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF,连接CG,当CG最小时，—的

AD

值为（）

A.也B.-C.1D.W

9323

【答案】A

【分析】如图1,取EF的中点。，连接。8,OG,作射线BG,证明8,E,G,尸在以。为圆心的圆上，

得点G在/ABC的平分线上，当CGL2G时，CG最小，此时，画出图2,根据△BCG是以为斜边的

等腰直角三角形，证明△EGB之可得BE=C尸,设42=加，根据3E：AB=1：3,可得

根据含30度角的直角三角形可得AD,进而可得结论.

【详解】解：如图1,取EF的中点O,连接。2,OG,作射线2G,

•・,四边形ABC。是矩形，

JZABC=90°

TO是所的中点，

・•・OB=OE=OF

•・・NEG尸=90。，O是斯的中点，

OG=OE=OF

：.OB=OG=OE=OF

・・・8,E,G,在以O为圆心的圆上,

・•・/EBG=/EFG,

VZEGF=90°,EG=FG,

：.ZGEF=ZGFE=45°

：./EBG=45。

・・・8G平分NA8C,

・•・点G在NABC的平分线上，

当CGL5G时，CG最小，

此时，如图2,

图2

•:8G平分NABC,

・・・ZABG=ZGBC=^450=45。，

VCGLBG

「•△BCG是以3C为斜边的等腰直角三角形，ZBGC=90°

：.BG=CG

•・•ZEGF=ZBGC=90°

：.ZEGF-ZBGF=ZBGC-ZBGFf

：.ZEGB=ZFGC,

在AEGB和△bGC中，

BG=CG

<ZEGB=ZFGC

EG=FG

：.AEGBm4FGC(SAS),

：.BE=CF

•・•四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC

设AB=m

〈BE:AB=l：3

CF=BE=—m,

3

在MZkABC中，ZBAC=60°9

：.ZACB=30°

：.AC=2AB=2m

,,BC=y/AC2~AB2-^3/27，

:・AD=6m,

1

:.CF一飞111_旧

AD岛9

故选：A.

【点睛】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判

定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的

关键是准确作辅助线综合运用以上知识.

5.（2023・广东深圳•深圳市高级中学校联考模拟预测）如图，正方形ABCD中，E是中点，连接AC,CE,

PH

作交AB于尸，交CE于尸，交AC于H,延长少尸交CB延长线于G,则二二的值为（）

GH

【答案】C

【分析】根据正方形的性质可证得，ADFMOCE，推出赫=OE,证明ADF=BFG,得出8G=仞，证

明CGH,DEPGCP,得出也=四=工,里=匹=！，^DG=a,贝|

GHCG2GPCG4

1122

DP=-a,DH=-a,GH=-a,求出产”=百小进而可得答案.

【详解】解：・・•四边形ABCD是正方形，

AD=DC,ZDAB=ZADC=90°,

•.*DF±CEf

・•・ZADF=ZDCE=90°-ZCDP,

JADF=DCE,

：•AF=DE,

•・•£是A。中点，

JAF=DE=-AD=-AB=BF

22f

/DAF=ZABG=90°,ZAFD=/BFG,

ADF二一BGF,

：.BG=AD,

•:AD〃CG,

：.ADHCGH-DEPGCP,

.PHAD_1DP_DE_1

，9~GH~~CG~2^^P~~CG~4f

设DG=a,

112

则DP=—a,DH=—a,GH=­a,

533

PH=DH-DP=-a--a=—a,

3515

2

.PH_工。_1

"GH25；

一Cl

故选：c.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌

握相关图形的判定和性质是解题的关键.

6.（2023•广东深圳•校考模拟预测）在矩形ABC。中，连接AC,过点B作即/LAC于点X交于点/,

AE平分NBAC分别交3"、8c于点P、E,8尸平分NBC分别交AC、0c于点G、F.已知AB=4,tanZBAE=

在下列说法中，①AABP咨AAGP；②四边形8PGE的面积是二③sin/HPG=±；®FC=2FD.⑤连

接尸”，则正确的是（）

A.①③④⑤B.①②④⑤C.①②③④D.①②③④⑤

【答案】C

【分析】①根据己知可得N8AC=N/ffiC,然后利用角平分线的性质可得/以C=/H8G,从而得

ZBQP=ZAHP=9Q°,从而可证明△ABQg/kAG。，得到A8=AG,最后再证明△A8P妾Z\AGP；

②由①可得A0是8G的垂直平分线，然后证明四边形3PGE是菱形，求出两条对角线的长即可解答；

③过点P作垂足为利用菱形的面积求出然后在Rd中求出siw/PBC的值即可解

答；

Ap4r

④先利用勾股定理求出AE的长，然后求出：”的值，从而求出1黑的值，最后证明△ABGs/kbG,即可

PEGC

解答；

ATJm

⑤通过计算求出空的值，然后与勺的值进行比较即可判断.

【详解】解：设AE与3厂交于点Q,如图:

•・,四边形ABC。是矩形，

ZABC=ZBAD=90°AB=CD=4,AD//BC,AB//CD,

：./ABH+/HBC=9。。

•：BH上AC,

：.ZAHB=90°,

：./HAB+/ABH=9。。,

：.NBAC=/HBC,

TAE平分N3AC,BF平分//BC,

AZBAE=ZEAC=^ABAC,ZHBG=ZGBC=^ZHBC9

：.ZEAC=ZHBG,

*：ZAPH=ZBPQ,

：.ZBQP=ZAHP=90°,

：.ZAQP=ZAQG=90°f

・・・AQ=A。，

AAABQ^AAGQ(ASA),

：.AB=AG,BQ=QG9

*:AP=AP9

：.AABP^AAGP(SAS),

故①正确；

VAQ±BG,BQ=QG,

・・・AQ是BG的垂直平分线，

:,BP=PG,BE=EG,

•：BQ=BQ,ZBQE=ZBQP=90°fZHBG=ZGBC,

•••△尸8。/△班。(ASA),

；・BP=BE,

：.BP=BE=PG=GE9

・•・四边形BPGE是菱形,

：.PE=2QE,

在RtbABE中,AB=4,tanXBAE=-^,

JBE=ABtanZBAE=4x1=2,

•・•NGBE=NBAE,

；.tan/GBE=g,

4,QE1

在RtABQE中，tanAQBE=­~=~,

BQ2

设QE=afBQ=2af

•；BQ2+QE2=BE2,

(2〃)2+〃2=4,

a=^y/5或a=-|A/5(舍去)，

/.BG=2BQ=4a=~,PE=2QE=2a=^,

二四边形8PGE的面积=1BG.PE=Lx述x逋=3，

22555

故②正确；

•..四边形8PGE是菱形，

J.PG//BC,

：.ZHPG=ZHBC,

K

MEC

过点P作尸MLBE,垂足为M,

•.•菱形BPGE的面积是当，

；・BE・PM=M，

8

：.PM=-f

8

在R公BPM中,sac=—

BP25

4

.\sinAHPG=—,

故③正确；

VZABC=90°,ABM,BE=2,

•'­AE7AB2+BE2="2+22=26，

AP=AE—PE=2^—^^=^~,

55

.AP_3

••=,

PE2

■:PG//BC,

.AG_3

**PE-GC-2'

9：AB//CD,

：.ZBAC=ZACDfZABG=ZBFCf

：.AABGs^CFG,

.ABAG3

**CF-CG-2?

・CF2

••=一，

CD3

・•・CF=2DF,

故④正确；

\9AD//BC,

：.ZDAE=ZAEBfZAIB=ZIBEf

：.AAPISAEPB,

.APAI

••一,

EPBE

-2_A/

••一，

22

：.AI=3,

••BI=AB2+AI2=J42+32=5,

VZAIB=ZIBE,ZIBC=ZBAC,

：.ZBAC=ZAIBf

•・•ZABC=ZBAL

：.AABC^AMB,

.ACAB

••=,

IBAI

・AC_4

••二一，

53

.AH9

**AC-25?

..CF_1

*CD~39

.DF,AH

CDAC

；.尸五与A£）不平行，

；.FH与BC不平行，

故⑤错误；

正确的有①②③④.

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角

形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，是解题的关键.

7.（2023・广东深圳・深圳市高级中学校联考二模）如图是物体A3在焦距为acm（即OE=OF=acm）的凸

透镜下成倒立放大实像的光路示意图.从点A发出的平行于3D的光束折射后经过右焦点尸，而经过光心。

点的光束不改变方向，最后A点发出的光汇聚于点C,8点发出的光汇聚于点。，从而得到最清晰的实像.若

物距Q5=&cm,则像距为（）cm.

BE

ab

A.金D.

b-ab-ab-a

【答案】D

【分析】由题意可得AB〃OG〃CZ）,AB=OG,易推出一ABOS.CDO,GR?SCDO,根据相似三角形

4ROGOBOF

的性质及AB=OG得'■==■="工,设。b=矍01,贝ijOD=（x+a）cm,列出关于无的分式方程,

CDCDODDF

解方程即可.

【详解】解：由题意得：AB//OG//CD,AB=OG,

ZABO=ZGOF=ZCDO,ZAOB=/COD,/GFO=/CDF,

:.ABO^CDO,GFOsCDO,

,ABOBOGOF

,・而一历’而一于,

AB=OG,

.ABOGOBOF

,CD~CD~OD~DF'

设DF-尤cm,则OD=(x+a)cm,

b_a

x+ax

2

解得：x=，-,

b-a

2

经检验X=为原分式方程的解,

b-a

+Clb—Q2ab

OD=x+a=------------Fa=-------------

b-ab-ab-a

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，分式方程，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键.

8.（2023・广东深圳•二模）如图，43与＜。相切于点尸，AC与。交于C、。两点，ZBAC=45°,BELCD

于点E,且BE经过圆心，连接0。，若OD=5,CD=8,则BE的长为（）

A.5A/2+3B.5A/2C.2MD.4A/5

【答案】A

【分析】连接OF，根据切线的性质得到OPLAB，推出ME是等腰直角三角形，得至4/8=/A=45°,

推出08尸是等腰直角三角形，得到W=Ob=8=5,根据勾股定理求得0E,即可得到结论.

【详解】解：如下图，连接OP，

；A3与。相切于点F,

OFLAB,

VABAC=45°,BEVCD,

••〜ME是等腰直角三角形，

ZB=ZA=45°,

.o跳'是等腰直角三角形，

BF=OF=OD=5,

•*-OB=42OF=5y[2，

OELCD,

：.DE=-CD=A,

2

OE=ylOD2~DE2=3-

•*-BE=OB+OE=5y/2+3,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练

掌握切线的性质是解题的关键.

9.（2023•广东深圳•统考模拟预测）如图是抛物线〃="2+区+。（存0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A

（1,3）,与x轴的一个交点2（4,0）,直线y2=mx+a（〃用0）与抛物线交于A,2两点，下列结论：①2a+b

=0；②abc>0；③方程办2+云+°=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-1,0）；⑤

当1<%<4时，有>2<”.其中正确结论的个数是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系逐一判断即可

-h

【详解】解：①由抛物线对称轴为直线尤=W=1,从而6=-2。，则2a+b=0,故①正确；

2a

②抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，则a<0,cX）,而b=-2a>0,因而必c<0,故②错误；

③方程4+fex+c=3的解，即是>+bx+c与直线y=3的交点的横坐标，

从图象可得，抛物线顶点为（1，3）,则抛物线与直线有且只有一个交点，

故方程ox?+6无+c=3有两个相等的实数根，故③正确；

④由抛物线对称性，与x轴的一个交点8（4,0）,根据对称轴为x=l,可知另一个交点坐标为（-2,0）,故

④错误；

⑤由图象可知，当l<x<4时，yi>y2,故⑤正确；

故正确的有①③⑤，共计3个

故选C

【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数

形结合.

10.（2023•广东深圳•统考模拟预测）如图，已知正方形ABC。的边长为4,E是边延长线上一点，BE=

2,尸是A8边上一点，将4CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H,

则FH的长是（）

ABE

A.-B.—C.1D.6

333

【答案】B

【分析】由翻折得CG=CE,GF=EF,C尸垂直平分EG,可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明

Rt^CDG•qRtgCBE,得DG=BE=2,贝l|AG=2,则川=AB+BE=6,即可根据勾股定理求出EG=2&U,

再由AG2+AP2=FG2,且m=6-解得2z+(6-项丫=必2,则所=?,由

-X2屈FH=-X—X2=SdEFG,求得加=巫，即可得出答案.

2233

【详解】解：：四边形ABCD是边长为4的正方形，

:.AB=AD=CD=CB=4,/D=NA=NABC,

2D=ZCBE=90°，

由翻折得CG=CE,GF=EF,CF垂直平分EG,

在曲COG和M.C3E中，

\CG=CE

[CD=CB，

Rt*CDG9Rt_CBE〈HD,

：.DG=BE=2,

：.AG=AD-DG=4-2=2,

'：AE=AB+BE=4+2=6,

EG=yjACP+AE2=A/22+62=2屈，

AG2+AF2=FG2,S.AF=6-£F,

：.22+(6-EFY=EF2,

解得E/

•：：EG.FH=；EF-AG=S的，

/.-x2KFH=1x—x2,

223

解得用=巫，

3

故选：B.

【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据面积等式求

线段的长度等知识和方法，正确求出EG和斯的长度是解题的关键.

11.（2023•广东深圳•校联考模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC、8D的长度分

别是一元二次方程f一%^一%+2根=0的两实数根，是AB边上的高，则。〃值为（）

【答案】A

【分析】先根据菱形的性质得到AB=4,AC1BD,AC=2AO,BD=2BO,利用勾股定理得到

AO2+BO2=AB2=16,利用根与系数的关系求出AO,302=AB?=42=16,再根据完全平方公式的变形

求出m=9,得到AC•班>=18,再根据菱形面积公式求出的长即可.

【详解】解：四边形ABCD是菱形，

:,AB=4,AC.LBD,AC=2AO,BD=2BO,

.--ZAOB=90°,

AO2+BO2=AB2=42=16,

对角线AC,3D的长度分别是一元二次方程/_(加+1卜+2m=0的两实数根，

:.2AO-\-2BO=m+\,2AO-2BO=2m,

AO+BO=-^(m+l),AOBO=^m,

222

/.AO+BO=(AO+BO)-2AO义BO=16,

1

—(m+1)9—m=16,

4

解得：叫=9,m2=-7,

二.当m=-7时，AOBO=-3.5<0,不符合题意，舍去，

m=9,

：.AOBO=4.5,

・•・ACBD=2AO2BO=4AOBO=18,

DH是AB边上的高,

S菱形ABCD=AB-DH=-AC-BD,

4DH=-xl8,

2

9

:.DH=-.

4

故选：A.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，一元二次方根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题

的关键.

12.（2023・广东深圳•统考二模）如图，A,B,C,。是边长为1的小正方形组成的6x5网格中的格点，连接

BD交AC于点、E,连接ER给出4个结论：①BF=EF；®ZABE=ZCEF；③tan/AED=2；④

CACE=W.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】连接8,利用全等三角形的判定与性质得到NOCB=90。，则△CDB为等腰直角三角形；利用角

平分线的性质定理和平行线分线段成比例定理得到R等F=受RF=2,则所CD,利用平行线的性质得到

NFEB=NCDB=45。,则AFEB为等腰直角三角形，则得①的结论正确；利用三角形的内角和定理得到

ZABE=/DCE,利用两直线平行，内错角相等得到/C跖=/OCE,则②的结论正确；利用三角形的外交

的性质得到NA£D=NCa4,在RtACHB中，利用直角三角形的边角关系定理得到tanNCBA=瞿=3,则

得③的结论不正确；利用相似三角形的判定与性质，列出比例式计算，则得④的结论正确.

【详解】解：连接CD,G,H为格点，如图,

由题意得：AD=2,AB=4,CD=CB=J10,ZDAC=ABAC=45°.

在△DCG和“CB”中,

DG=CH=3

<NDGC=NCHB=9Q°,

CG=BH=1

(SAS),

:.ZDCG=ZCBH,

/CBH+NBCH=9伊,

/DCG+/BCH=94。,

:.ZDCB=90°,

ADCB为等腰直角三角形，

:.ZCDB=ZCBD=45°.

ZDAC=ZBAC=45°,

・丝=这二=2

DEAD2'

FG//BH,

BFHG、

••------------=2,

CFCG

.BEBF

'^DE~~CF9

EFCD,

:.ZFEB=ZCDB=45°f

ZFEB=ZCBD=45°,

:.BF=EF.

・•.①的结论正确；

ZCAB=ZCDB=45°fZAEB=NDEC,

:.ZABE=ZDCE,

QEFPCD,

:.ZCEF=ZDCE,

:.ZABE=ZCEF.

.•.②的结论正确；

.ZAED=ZEAB-^-ZABE=45°-^-ZABE,NCBA=NCBD+ZABE=45。+ZABE,

:.ZAED=ZCBA,

在Rtzxa汨中，

tanZCBA=—=3,

BH

/.tanZAED=tanZCBA=3,

③的结论不正确；

NC3D=NC4B=45°,NECB=NBCA,

BCES,ACB,

CECB

CB~CA'

CACE=CB2=(ViO)2=10,

••.④的结论正确.

综上，正确的结论有：①②④.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质平行线

的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，本题是网格题，熟练掌握网格

的特性是解题的关键.

13.（2023•广东深圳•深圳中学校联考二模）如图，在位于＞轴右侧且半径为6的P,从A的位置沿直线

x=6向上平移，交直线y=x于8、C点，且尸是P与y轴的一个公共点，若8c=2衣，则四边形

的面积是（）

A.42B.64C.68D.48

【答案】D

【分析】作CQLx轴交x轴于Q,作尸交8C于BC与A相交于点R,连接PC,根据题意可

得四边形。“步为矩形，AOCQ为等腰直角三角形，从而得到/MO=NPAM=NAOC=45。，进而得到

PM=RM,再由垂径定理结合勾股定理即可得到PR=2,设点尸的坐标为（6,。，则依=1-6,列出方程

r-6=2,求出r的值，即可求出面积.

【详解】解：如图所示，作CQLx轴交x轴于。，作尸河工3。交3c于对，BC与A相交于点R,连接PC,

根据题意可得：轴，尸产_Ly轴，

二四边形。4P尸为矩形，

',点c在直线y=x上，

，设点C的坐标为（帆ni）,即CQ=OQ=77Z,

；OCQ为等腰直角三角形，

ZCOQ=45°,

ZARO=ZPRM=ZAOC=45°,

:.PM=RM，

PM±BC,

:.CM=BM=-BC=-x2y/34=y/34,

22

RM=PM=^PC2-CM2=^62-（A/34）2=血,

:.PR=\IPM2+RM2=4何+（可=2,

设点尸的坐标为（6,。，

由图象可知/>6,

贝UPR=7—6,

=

t—62J

，=8,

点尸坐标为（6,8）,

...四边形。4/乎'的面积为6x8=48,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练

掌握矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理等知识点，添加恰当的辅助线是解题的

关键.

14.（2023・广东深圳•校联考二模）如图，CD为。直径，弦且过半径。。的中点出过点A的切

线交CO的延长线于G,且G"=6,点E为C。上一动点，CFLAE于点孔当点E从点8出发逆时针运

动到点C时，点/经过的路径长是（）

D.2后

【答案】B

【分析】连接AC,AO,由MLCD,利用垂径定理得到H为A3的中点，证明AOG^HOA,可求圆的

半径，在直角三角形AOH中，由40与的长，利用勾股定理求出AH的长，进而确定出AB的长，由

CO+HO求出CB的长，在直角三角形AHC中，利用勾股定理求出AC的长，由CP垂直于AE,得到三角

形ACF始终为直角三角形，点厂的运动轨迹为以AC为直径的圆上，当E位于点B时，CHLAE,此时F

与H重合；当E位于点C时，此时P与C重合，可得出当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点产所

经过的路径长CH的长，在直角三角形AC"中，利用锐角三角函数定义求出NC4H的度数，进而确定出C8

所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出CH的长，即可求出点厂所经过的路径

长.

【详解】解：连接AC,AO,

・・・H为AB的中点，即=

TAG是。的切线，

ZOAG=90°=ZAHO,

又ZGOA=AAOH,

：.AOG^HOA,

.AOOG

即=OHOG,

OA2=1oA-^6+|c>A^,

Q4=4或。4=0（不符合题意，舍去）

：.OH=2,AH=y/AO2-OH2=2y/3=BH,

AC=sjAH2+CH-=473,

CF±AE,

△ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的圆上，

当E位于点8时，CH1AE,此时尸与H重合；当E位于点C时，此时尸与C重合,

当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长CH的长，

在RtAC"中，tanZACH=—=^,

CH3

ZACH=30°,

：.ZCAH=60°,

/•所对圆心角的度数为120。，

直径AC=4-\/3，

120.244&

CH的长=

1803

则当点£从点B出发逆时针运动到点C时，点尸所经过的路径长”的长为殍.

故选：B.

【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长

公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到当点E从点8出发逆时针运动到点C时，点尸所经过的路径长

为CH的长是解本题的关键.

15.（2023・广东深圳•统考三模）如图，四边形ABC。中，AB=AD=CD,以A3为直径的，O经过点C,

连接AC、交于点E.连接5D交，。于点尸，连接E尸，若BC=1,AC=2,则以下结论：①OD〃BC；

②为C。的切线；③NDEF=45。；④防=孝；则正确的结论个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①连接OC,证一。4。丝△08得44£>0=/80,又=知AE=CE；

②BC=1、贝I]AC=2、AD=AB=^jAC2+BC2=75）证OE为中位线知=g、AE=CE=^AC=,进

一步求得DE=《AD-AE。=2,再在AOD中利用勾股定理逆定理证/。4。=90。即可得出结论;

③连接,，证明四点共圆，进而根据通弧所对的圆周角相等，即可得证；

④先证BAD得DF.BD=AI）2，再证sAEZa,QW得OD.DE=AD?,联立得DFBD=ODDE,

即黑=黑，结合NEDF=/BDO知-EDFS,BDO,据此可得《=黑，结合（2）可得相关线段的长，代

ODBDOBBD

入计算可得.

【详解】解：①连接OC,

在AQ4D和AOCD中,

OA=OC

<AD=CD,

OD=OD

AOAD^AOCD(SSS),

ZADO=ZCDO

AE=CE

②由①得ZADO=ZCDO,

AD=CD,

DEIAC,

AB为。的直径，

ZACB=90°,

..ZACB=90°,即3C_LAC,

OD//BC,

BC=1,AC=2,

AD=AB=yjAC2+BC-=75,

OE//BC,且40=30,

OE=-BC=~,AE=CE=-AC=l,

222

在AAED中，DE=y]AD2-AE2=2>

在AAOD中，AO2+AD2=^!^+(后咛

OD2=(OE+£>E)2=Q+2^|=y,

AO-+AD~=OD2,

NOW=90°,

则DA与C。相切;

③连接",

AB^AD,A£＞是圆的切线,

AB。为等腰直角三角形，

AB为直径，

:.ZAFB=90°,ZDAF=Z45°,

ZAED=ZAFD^90°,

•••A,E,F,。四点共圆，

.\ZDAF=ZDEF=45°,故③正确

④1A3是；。的直径，

ZAFD=ZBAD=90°,

ZADF=ZBDA,

・二AFD^BAD，

DFAD2/1、

茄=茄，^DF.BD=AD^，

又ZAED=ZOAD=90°,ZADE=ZODA,

AED^OAD,

ADDE/、

而F即0»OEW(2)，

由⑴（2）可得£＞产gD=OD/）E,即需=器

又NEDF=NBDO,

AEDF^ABDO，

AB=yjAC2+BC2=y/5^

AD^y/5,OD=-,ED=2,BD=M,0B=—f

22

EF2

黑嚼,即;rm，

2

解得：EF力,故④正确；

2

故选：D.

【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、

相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点.

16.（2023・广东深圳•深圳市南山外国语学校校联考二模）如图，在正方形ABCD中，AD=4,E为CO中点，

月为上的一点，且ZE4F=45。，ZABG=ZDAE,连接跖，延长交AE于点交AD于点N,则

Q1A

以下结论；①DE+BF=EF②BN1AE③BF.④S^BGF=不；中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】延长。至8，使。"=证明ABF^ADH,推出=ZBAF=ZDAH,ZAFB=ZH,

利用SAS证明EAF^EAH,可判断①；利用三角形外角的性质求出NAGM=45。，然后利用三角形内角和

求出NAMG=90。，可判断②；在Rt^CEF中，由勾股定理计算可判断③；证明，利用相似三

角形的性质可判断④.

【详解】解:延长CD至H,使DH=BF,

•••四边形ABCD是正方形,

AB=BC=CD=DA=4,ZABF=Z.C=ZADC=ZADH=90°,

A^ABF^.ADH,

AAF=AH,ZBAF=ZDAH,ZAFB=ZH,

Z£4F=45°,

/.ZBAF+ZZME=ZZMH+ZZME=45°,BPZE4F=ZE4H=45°,

又

・・・AE4万名△E4H（SAS）,

AEF=EH=ED+DH=ED+BF,①正确；

VZ£4F=45°,ZBAD=90°f

：.ZBAG^ZDAE=45°,

丁ZABG=ZDAE,

：.ZBAG+ZABG=45°,

：.ZAGM=ZBAG+ZABG=45°,

^AAMG=180°-XEAF-XAGM=90°,

:.BN1AE,②正确；

设BF=DH=x,

•/E为8中点，

・•.CE=DE=-CD=2

2f

:・EF=EH=2+x,CF=4—x,

在RtZkCE尸中，由勾股定理得（4—X）2+22=（2+X）2,

44

解得％=;，即3/二；,③不正确；

33

VZABG=ZDAE,ZBAF+ZDAE=45°f

：.ZBGF=ZBAF+ZABG=NBAF+NDAE=45。=NEAH,

又ZAFB=ZH,

:.ABGFS/\EAH,

410

・「EH=ED+DH=ED+BF=2+-=—,

33

k3J

S^BGF=^'><'^~=7|，④正确；

综上，正确的有①②④，

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解

题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

17.（2023•广东深圳・深圳市高级中学校联考二模）如图，已知AABC内接于O,AB=AC=8,将弧43沿

弦A3翻折后恰好经过弦AC的中点O,则。的半径为（）

A.717B.巴上C.5D.2季

7

【答案】B

【分析】连接80,作3ELAC于E,连接AO并延长交BC于尸，连接OC,可由=山推出

BD=BC,进而求得DE,BE,BD,BC,AF,再在RtCO尸中列方程求得.

【详解】解：如图，

连接30,作3ELAC于E,连接49并延长交8c于尸，连接。C,

NDAB=NCAB,

BD=BC，

BC-BD,

:.DE=CE=gCD=-AC=2,

24

在Rt_ABE中，AB=8,AE^AD+DE=6,

SE=V82-62=2A/7>

在RtBDE中,DE=2,BE=2币,

BC=BD=J（2>/7）2+2?=472,

根据对称性可得，AF1BC,CF=BF=gBC=2及,

在Rt_ACF中，CF=2及,AC=8,

AF=2y/]A>iSOA=OC=R,

在RtCOb中，由勾股定理得，

浦_（2m=（2&『

7

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，

得出BC=3D

18.（2023广东深圳•深圳大学附属中学校考一模）已知抛物线y=^+6x+c（a,b,c是常数）开口向下，过

A（-l,0）,网机0）两点，且1<m<2.下列四个结论：

①若c=l,则0<6<1；

3

②若机=5时，则3fl+2c<0；

③若点M（Xi，%）,N8,%），在抛物线上，玉〈尤2，且为+马>1，则必>必；

④当aW-1时，关于x的一元二次方程a^+bx+c=\必有两个不相等的实数根.

⑤如