2024年中考数学复习：一元二次方程及其应用(原卷版)

专题08一元二次方程及其应用【九大题型】

►题型梳理

【题型1一元二次方程的解法】..................................................................2

【题型2根据一元二次方程判断根的情况】.......................................................2

【题型3根据根的情况判断字母的取值或范围】..................................................3

【题型4一元二次方程的应用之平均增长(下降)率问题】........................................4

【题型5一元二次方程的应用之几何图形的面积问题】............................................4

【题型6一元二次方程的应用之与涨价、降价有关的商品利润问题】...............................5

【题型7中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元二次方程】...............................6

【题型8中考最热考法之以开放性试题的形式考查一元二次方程根的判别式】.......................7

【题型9中考最热考法之以真实问题情境考查一元二次方程的实际应用】...........................7

，举一反三

【知识点一元二次方程】

1.定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是ax2+6x+c=0(a#))。其中0x2是二次项，。是二次项系数；区是一次项，b

是一次项系数；。是常数项.

2.一元二次方程的解法

⑴直接开方法。适用形式：X2寸.(x+")2=p或(〃11+")2=°。

(2)配方法。套用公式O2+2a6+b2=(a+6)2；a2Sb+b2=(ab)2,配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①化简一把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1:②移项——把常数项移项到等号的右边；③

配方一两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成了+26X+62的形式，并写成完全平方的形式；

④开方，即降次；⑤解一次方程.

一b±J62—4ac

(3)公式法。当历数K)时，方程QX2+6X+C=0的实数根可写为：x=------"------的形式，这个式子叫

做一元二次方程办2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

①枕而＞0时，方程有两个不相等的实数根。

—b+J62—44c-b—J62-4-

x-JC—

12Q'22a

②b2如=0时，方程有两个相等的实数根。

b

X=X=-____

122a

③62AvO时，方程无实数根。

定义b2a叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母/表示，即/=小业。

（4）因式分解法。主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法。

3.一元二次方程与实际问题

解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：

第1步：审题.认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：列方程.根据题中各个量的关系列出方程。

第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。

第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。

第6步：答。

【题型1一元二次方程的解法】

【例1】（2023•黑龙江・统考中考真题）解方程：（20+3）2=（3口+2”

【变式1］（2023•青海・统考中考真题）解方程二嘲不乱骂二笳.）

【变式1I（2023•吉林•中考真题）解方程：口22

【变式1J（2023•山东•中考真题）根据要求，解答下列问题.

（1）根据要求，解答下列问题.

①方程x2-2x+1=0的解为；

②方程费_3x+2=0的解为；

③方程x2_4x+3=0的解为；

（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程X2_9x+8=0的解为；

②关于x的方程_________________________的解为巧=1,x2=n.

（3）请用配方法解方程/-%+8=0,以验证猜想结论的正确性.

【题型2根据一元二次方程判断根的情况】

【规律方法】判断一般形式为一元二次方程根的情况时,使用根的判别式‘筱4a噢J断,若方程形式为（mx+n）

2=p，则可利用以下方法判断：

当P>0,方程有两个不相等的实数根;

当p=o,方程有两个相等的实数根；

当p<0,方程没有实数根.

【例2】（2023•河南•统考中考真题）关于X的一元二次方程2+-8=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D,没有实数根、

-（2-1）-3

【变式21（2023•四川南充•统考中考真题）已知关于x的一元二次方程22+=0

（1）求证：无论加为何值，方程总有实数根；

⑵若1，2是方程的两个实数根，且一+一=一|,求相的值.

1—,例如3®2=2—

【变式21（2023・四川内江・统考中考真题）对于实数a,6定义运算“8”为®=22

3x2=—2,则关于x的方程（-3）®=-1的根的情况，下列说法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D,无法确定

【变式2>（2023•四川广安•统考中考真题）已知a,dc为常数，点（，）在第四象限，则关于x的一

元二次方程2++=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C,没有实数根D,无法判定

【题型3根据根的情况判断字母的取值或范围】0,an后加人7

—2+4+—6=0有两个不

【例3】（2023•湖北荆州•统考中考真题）已知关于的一元二次方程2（）

相等的实数根.

（1）求的取值范围；

（2）当=1时,用期方港解方程.

【变式3】（2023•上海・统考中考真题）已知关于x的一元二次方程2+6+1=0没有实数根，那么a

的取值范围是

【变式2工检）23•身平气州•统考中考真题）关于x的一元二次方程2++=。有两个相等的实数根,

则2（）

A.-2B.2C.-4D.4

-2+3=0有两个实数根，则

【变式31（2023•辽宁锦州•统考中考真题）若关于x的一元二次方程2

左的取值范围是（）

A.<JB.<2C.<［且#0D.W1且#0

3333

【题型4一元二次方程的应用之平均增长（下降）率问题】

【例4】（2023•湖南郴州•统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为

L6万人，4月份游客人数为2.5万人.

（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；

（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1

日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？

【变式4】（2023•湖北武汉•校考模拟预测）某种产品预计两年内成本将下降36%,则年平均下降率为一.

【变式4J（2023•辽宁大连•统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于

购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求

2020-2022年买书资金的平均增长率.

【变式41（2023•辽宁沈阳•中考真题）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成

本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本.

【题型5一元二次方程的应用之几何图形的面积问题】

【例5】（2023•黑龙江・统考中考真题）如图，在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的

小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2,则小路的宽是（）

A.5mB.70mC.5m或70mD.10m

【变式5J（2023•江苏•统考中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如

图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成.生态园的面积能否为40m2?如果能,

请求出AB的长；如果不能，请说明理由.

墙

AB

生态园

D'---------------lc

【变式5J(2023・江苏•统考中考真题)如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边

距(纸张的边线到打印区域的距离)，上、下，左、右页边距分别为cm、cm、cm、cm.若纸张大

小为16cmx10cm,考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%,则需如

何设置页边距？

【变式5J(2023•浙江金华•统考中考真题)如图是一块矩形菜地ABCDAB=(m),AD=(m),面积

为(m2).现将边增加1m.

(1)如图1,若=5,边AD减少1m,得到的矩形面积不变，贝U的值是.

⑵如图2,若边A。增加2m,有且只有一个的信使得到的矩形面积为2(m2),则的值是.

【题型6一元二次方程的应用之与涨价、降价有关的商品利润问题】

【例6】(2023•山东东营•统考中考真题)为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发

出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单

价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个电子产品的

固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？

【变式6J(2023•福建泉州•校联考模拟预测)石狮一水果店销售的芦柑，每箱进价40元.市场调查发现,

每箱销售价格：售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量

将减少3箱.

（1）若每箱售价55元，则平均每天该芦柑的销售量为箱；

（2）已知当地工商部门规定：芦柑的售价每箱不得高于60元.设该店提价x（元），平均每天的销售利润为

w（元）.

①当天盈利w为1152元时，求x的值；

②当x为何值时，w取得最大？最大值是多少.

【变式6I（2023•山西•中考真题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售,

平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，

若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【变式61（2023•四川遂宁•统考中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批7恤，如果以每件40元

出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设

T恤的销售单价提高元.

（1）服装店希望一个月内销售该种7恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提

高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？

【题型7中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元二次方程】

【规律方法】以开放性性的形式考查直接解一元二次方程，解题时可以根据题目选择不同的方法解决问题，

有利于培优策略性思维。

［例7］（2023•新疆•二模）上询从工殁拓二日如目4壬朝?期这两个方程.

①2+2—1=0；②222

【变式7］（2023•浙江・中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配

方法加知式给期献二豆亍次方程中任迺之龄你纷道笠的方法解这个方程.

①22=3；③22

【变式7I（2023•北京・北京市第五中学分校校考模拟预测）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三

种解法，它们分别是配方法、超霓口因裔分艇豫，犁下号丁三胃室有程中任选两个，并解这两个方程.

①2+2—1=0;②222

【变式7/（2号:叫雪朝,］华菁吧j一所次攵喈呜与个,（零嚅瓢料网藉］［方程，

(1)3222

我选择第小题.

【题型8中考最热考法之以开放性试题的形式考查一元二次方程根婚哪引=。有实数根，则的值可以

【例8】（2023•山东济南•统考中考真题）关于的一元二次方程2

是（写出一个即可）.

【变式8】（2023・北京•统考中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+l=0.

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的6的值，并求此时方程的根.

【变式8I（2023•甘肃武威・统考中考真题）关于的一元二次方程2+2+4=0有两个不相等的实数

根，则=（写出一个满足条件的值）.

【变式8J褫3蜜娜雌醐糕聃敝痂次辐群方程+=0.在下面的四组条件中选择

其中7组

①=2,=1；②=3,=1；③-3,=一1；④=2,=2.

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.

【题型9中考最热考法之以真实问题情境考查一元二次方程的实际应用】

【例9】（2023•湖北恩施・统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”书中记

载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”

译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；

斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长

分别是尺.

D,________C

✓/

✓

✓

✓

意犯njr，

✓

/

/

/

A-TB

【变式9】（2023・青海・统考中考真题）如图是某月日历表的一部分,在此日历表上可以用一个矩形圈出3x3

个位置相邻的数（如12,13,14,19,20,21,26,27,28）,若圈出的9个数中，最大数与最小数的

积为161,则这9个数中最小数为（）

3456789

十六十七十八十九小暑廿一廿二

10111213141516

廿三廿四廿五廿六廿七廿八廿九

171819