2024山西天一大联考高三阶段性测试数学试题及答案

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天一大联考

2023—2024学年高三年级阶段性测试(定位)

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

I.设全集。={—2,—1,0,1,2},集合/={—1,0},5={0,1,2),贝|](虫/)口8=

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2}

/2A8

2.x—-r的展开式中常数项为

Ix)

A.112B.56C.28D.16

3.已知函数/(x)=("3卜3+("2)，+(a—l)x+a若对任意/e&,,曲线y=/(x)在点

(x0,/(x0))和/J(-%))处的切线互相平行或重合，则实数a=

A.0B.1C.2D.3

4.干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干蚂甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、

壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法是按顺序以一个

天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年

为，，甲子，，，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即

“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推.已知2024年是甲辰年，则

2124年为

A.丁辰年B.癸未年C.甲午年D.甲申年

5.将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为4兀，外弧长为8兀，外弧半径与内弧半径之差为小，若

该圆台的体积为生Y包，则加=

3

A.4B.3C.2D.1

uuuumu2

6.设非零复数Zi和z,在复平面内对应的向量分别为OP和O。，其中。为原点，若w=，为纯虚数，则

Z2

ULUIUIXIILUUIiLLUI

A.OP//OQB.\OP\=\OQ\

,LUULUJ、,LLIULLU、>LUULLU।.LUUULU।

C.回+00,(0?-00D.0尸+00=0尸一00

7.己知a,p,y均是锐角，设sinacos/?+sincosy+sin/cosa的最大值为tan0,则sin/sin0+cos8)

C

8.已知实数a,6,c满足lna=yb=31og72,6=7,贝!J

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知抛物线C：『=4x的焦点为R点M（Xo/o）在C上，若NMOF=45°（。为坐标原点），则

3

A.Xg—4B.%=4C.|W|=5D.cosNOFM=一

5

10.函数/（x）=/sin（ox+9）（/>0,0>0,-万<0<0）的部分图象如图所示，则

A.A=2

B.。+夕=0

C./（X）的图象关于点（23,0）对称

（513、

D.不等式〃4x）>1的解集为2k+—^2k+—（左cZ）

11.在四棱锥尸一/3CO中，已知AD=PD=2AB=2BC=2CD=2,AP=272,且

ZBAD=ZADC,则

A.四棱锥尸—48C£＞的体积的取值范围是［0,亍］

B.92的取值范围是(7—26,7+26)

C.四棱锥尸-4SCD的外接球的表面积的最小值为871

V5

D.尸5与平面P4D所成角的正弦值可能为万

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知圆C经过点M(8,6),且有一条直径的两个端点分别在x,y轴上，则圆C的面积的最小值为

13.甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局.若

32

甲每次射门射进的概率均为三，乙每次射门射进的概率均为；，且每人每次射门相互独立.现已知甲第一

43

次射门未射进，则乙赢的概率为.

-21

14.己知椭圆C：/+食=1(。＞力＞0)的左、右焦点分别是耳，月，斜率为5的直线/经过点片且交

C于2两点(点/在第一象限)，若△/耳工的面积是△△片工的面积的3倍，则C的离心率为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调

查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的2x2列联表：

更喜欢正装更喜欢运动装

家长12080

学生16040

(I)根据以上数据，判断是否有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；

(II)若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人,

记这2人中更喜欢正装的家长人数为X,求X的分布列和数学期望.

*“2n(ad-bc)2

附：，=-------------------------.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

%2.7063.8416.63510.828

16.(15分)

如图，4是以5C为直径的圆。上的点，尸41平面D,E分别是线段尸4,尸5上的点，且满足

PDPF

——=——=2（0<2<1）,PA=AB=2AC.

PAPBv7

(I)求证：DELCD；

(II)若二面角8—CE—。的正弦值为1,求力的值.

2

17.(15分)

22

已知双曲线C：会一会=l(a>Q,b>0)的渐近线与圆/+y2=a2的一个交点为.

(I)求C的方程.

(II)过点/作两条相互垂直的直线4和且4与C的左、右支分别交于3,。两点，4与。的左、右支

分别交于E,尸两点，判断+M司=以。|+|4£|能否成立.若能，求该式成立时直线4的方程若不能,

说明理由.

18.(17分)

已知函数/(x)=ef.—bsinx),a>0,b>0.

⑴若a=g,b=l,讨论/(x)在区间(0,2万)上的单调性；

(II)设f为常数，若a=6+/”’是"/(x)在R上具有单调性”的充分条件，求才的最小值.

19.(17分)

n

对于数列｛%｝,若存在川>0,使得对任意〃eN*,总有Z|%+1-劭|<^，则称｛4｝为“有界变差数

k=l

列”.

(I)若各项均为正数的等比数列｛%｝为有界变差数列，求其公比夕的取值范围；

(H)若数列也｝满足&]+；=2,且4=2,证明：也｝是有界变差数列；

un

(in)若｛%｝,｛尤｝均为有界变差数列，且%之%>0,证明：是有界变差数列.

天一大联考

2023—2024学年高三年级阶段性测试(定位)

数学(山西专版)答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.答案C

命题意图本题考查集合的表示与运算.

解析由已知易得«/={—2,1,2},所以(电/)18={1,2}.

2.答案A

命题意图本题考查二项式定理的应用.

(2V

解析常数项为《J.—=4C；=112.

IxJ

3.答案C

命题意图本题考查导数的几何意义和函数的奇偶性.

解析由题意知/'(x)=3(a-3)炉+2(。—2)x+a—1为偶函数，则a=2.

4.答案D

命题意图本题考查等差数列的应用.

解析天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于22124-2024=100,

故100年后天干为甲，由于100+12=8LL4,余数为4,故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”,

所以2124年为甲申年.

5.答案B

命题意图本题考查圆台的有关计算.

解析易知圆台的上底面半径为2,下底面半径为4,母线长为小设圆台的高为人，根据题意可知该圆台

的体积为厂=；»川/+水+火2)=；»^(22+2x4+42)="等，解得h=45,则

2222

m=A/(4-2)+/z=72+(75)=3.

6.答案D

命题意图本题考查复数的几何意义以及平面向量的运算.

解析设Z]=a+b，，z2-c+di,w=ki,其中Q,b,c,d,keR,且Q,b不同时为0,c,d不同时

为0,kwO,由题意a+bi=ki[c+di)=—kd+cki,所以

ULUuuuULULUUULWLUU

OP-OQ=(a,b)•(c,d)=ac+bd--kdc+kcd-0,所以OP+OQ-OP-OQ.

7.答案B

命题意图本题考查三角恒等变换及基本不等式的应用.

,入厂人"丁ga-，口.sin2(z+cos2B.sin2B+cos2y

解析由基本不等式可得smacos/n3<-------------------,sin^ncos/<------------------,

si.n2v+cos2aSr

sinycosa<-------------,三式相加，可得sinacosQ+sin用cos/+sin/cos(z4鼻，当且仅当a,p,y

..„7i1林口「广一八3.„小sin^(sin0+cosO')tan26)+tan6)15

均为一时等号成乂，所以tand=—,贝nrijsm6(sin9+cos。)=------------------=------------=一.

42sin2+cos2tan2^+l13

8.答案C

命题意图本题考查指数函数和对数函数的综合性质.

ib(x+1)

解析由已知得a=e,b=log78,c=log67.令/(x)=(x>l),则

Inx

/，(x)=xlnx(x+l)ln(：+l),显然/，(力<0,即/(力单调递减，所以〃6)>/⑺，即

十1)(inx)

1「1Q11A

56

--->-^―,亦即log67>log78,c>b.由e*»x+l,可得e，>l+—=—，而log67<log66=6,

In6In755

所以log67<1

,所以a>c.综上可知a>c>b.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选

对的得部分分，有选错的得0分.

9.答案AC

命题意图本题考查抛物线的方程与性质.

解析若尸=45。，则tan/MOF=WJ=l,又诉=4%,解得或［/一)，故A正确，B错

/U=41外=T

12+52-(4A/2)2

3

误由抛物线的定义，得=4—(—1)=5,故C正确由余弦定理得cos/QW=

2x1x55

故D错误.

10.答案ABD

命题意图本题考查三角函数的图象与性质.

3

解析设/(X)的最小正周期为7,由图象可知4=2,1T=5-(-1)=6—1解得7=8,故

2»兀(n\「九、

①二———,则/(x)=2sin~x+(p,将(一1,一2)代入解析式，得2sin­—+(P=-2,所以

84\4/7k47/

(p=~,所以/(x)=2sin径x—/,故A,B正所/(23)=2sin^^=2sin-三=-2,故c错

4<44J2I2J

2sinprx—四]>1,

误[(4x)>l即为得sin7ix——>—,得

、4)I4j2

2kji+7ix—i<H—1（左eZ）,得2左+<无<2上+'（左eZ）,故D正确.

11.答案BCD

命题意图本题考查棱锥的结构以及棱锥与球的综合问题.

解析由已知可得，四边形ABCD是上底为1,下底为2,底角为60。的等腰梯形，所以

S_，且x22一§也PD工4D

Q梯形奶CD一4、4，s工.

13百一百

对于A,当尸ZU底面N3CZ）时，四棱锥尸—48GD的体积最大，最大体积为qx一1x2=下，故A错

342

误对于B,在△PAD中，PD=2,BD=43,60°<ZPDB<120°,用余弦定理可知P52的取值范

围是（7-2百,7+26），故B正确；

对于C,当尸平面/BCD时，四棱锥尸-48CD的外接球的半径等于的外接圆的半径，此时外

接球的半径最小，为号=血，故外接球的表面积的最小值为4乃（、历『=8乃，故C正确；

M1,尺R

对于D,设网与平面尸4D所成角为仇当PD1平面4BCD时，计算可得sinO=---->----=——,当

14147

P靠近平面时，。趋向于0,所以存在某个P点，使得sin。=正，故D正确.

7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.答案25兀

命题意图本题考查圆的方程与性质.

解析因为圆C的一条直径的两个端点分别在x,y轴上，所以该圆一定过原点O.又圆C经过点

M（8,6）,所以当。州为圆C的直径时，圆C的面积最小，又|0叫=屈7?=10.所以圆C的面积最

（10?

小值为"x—=25%.

、2,

“109

13.答案—-

命题意图本题考查概率的乘法公式.

C2、22(.3、2

解析若乙射进1次，则他赢的概率为C；x1--X-X1----—;若乙射进2次，则他赢的概率

\33I472

2

(0\(2、3?7「2丫8

为C；x1--xX1-—»若乙射进次，则他赢的概率为——•故乙赢的概率

53

774,36133727

—

723627216

V5

14-答案V

命题意图本题考查椭圆与直线的位置关系.

解析因为△/耳工的面积是△5片工的面积的3倍，所以为=-3%.设C的半焦距为c(c>0)，则直

x-2y-c

线Z：x=2y-c,联立方程可得</必+//=/〃消去X(4b2+a2)y2-4b2cy-b4=0,则

4b2c

又即

…一yyy

ABB

'4b2c、2

1.44c2(,得4e21解得eM

-----1-2—3二—化简可得2

b433a+4b5a2-4c2-5-4e2-3'4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.命题意图本题考查独立性检验的应用以及超几何分布.

400x(160x80-120x40)2_4000

解析(D由题可知力2=048

200x200x280x12021

因为19.048>6.635,所以有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异.

]2080

(II)座谈的家长中更喜欢正装的人数为5x—；=3,更喜欢运动装的人数为5x——=2.

200200

由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,

r21CXCX3C23

则尸(X=0)=C=—,尸(X=l)=T=—,尸(X=2)=3=—

'7C]10'，C；5'7C110

故X的分布列为

X012

133

p

To5To

「+6

所以X的数学期望E（x）=o1+2»=

105105

16.命题意图本题考查空间位置关系的推理与证明、二面角的计算.

解析（I）因为“是以2c为直径的圆。上异于瓦C的点，所以N8_L/C,

因为尸/1平面NBC,所以04_L48.

又/。口尸4=/，所以平面P/C,

PDPE

因为一=——，所以DE〃AB,所以。E1平面尸NC,

PAPB

因为CDu平面P4C,所以。£LCD.

（II）分别以/C,AB,/尸所在的直线为x,外z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设尸4=48=2,AC=1,则点5(0,2,0),C(l,0,0),尸(0,0,2),D(0,0,2(1-2)),

MLU4UIUUMLU

^(0,22,2(1-2)),则5C=(l,-2,0),CP=(-1,0,2),CD=(-1,0,2(1-2)),

C^=(-l,22,2(l-2))

设平面CDE的法向量为n=（x,〉/）,

n-CD=-x+2(l-2)z=0

取为=(2(1—4),0,1).

n-CE=-x+2Ay+2(l-2)z=0

设平面BCE的法向量为成=（p,q/）,

m-BC=p-2q=0/、

则〈一取加二(2,1,1).

m-CP=-p+2r=0

因为二面角B-CE-D的正弦值为

2

所以孙6川=第一河|4（1小-4*+1在]=必

一3

,1,5

解得4或X=一大（舍去）.

22

17.命题意图本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系.

I2=2,

解析（I）由题可

b=2,b=2也,

a1

22

sxy

故C的方程为二———=1.

412

（II）不能成立.

显然直线4，，2的斜率均存在，设直线4的方程为歹=©X-1）+G，直线，2的方程为

y=--（x-l）+y/3,3（X],yJ,.（6分）

＞=个“二1）+"得（3-左2）*2+2左（左_扬尤_左2+2忌一15=0,

联立4与c的方程可得＜

3x-y=12

因为4与c的左、右支分别相交，所以〈左＜6,

同理一百＜——〈百，解得一6＜左＜----或＜左＜g.（*）

k33

2k

因为X]+%2=一~，

2百J1+左2

1

所以（/同—|/必|=|（再-1）-（1-4）Ji+k?=%+x2—2|A/1+k=

A/3+k

25/l+F

同理可得||'同一|‘尸，=

—1

若|48|+M尸|=\AD\+\AE\,则\AB\-\AD\=\AE\-\AF\,

2-\/3-\/l-|-^2^+r—/—

只需一「尸------即可，解得左二43—2,左2=43+2,

A/3+k|A/3^—1

显然勺，左2都不符合（*）♦

所以|48|+\AF\=\AD\+卜目不能成立.

18.命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性.

解析由题可知r(x)=eax-bcosx(a2-b2sin2X-6cos),

axbcosxcos2x-bcosx+/-b”

即f\x)=e-

1，/、1%-cosxcosx-1-cosx4.

(I)a=~fb=T,则=〃

2

127r4万I

由/'(x)<0得cosx+—>0,即0cx<——或——<X<2TU；由/'(x)>。得cosx+—<0,即

233')2

Ire47r

—<x<—.

33

因此/（x）在1o,暮In47r上单调递增，在（事,2万］上单调递减.

上单调递减，在T?T

(II)若/(x)具有单调性，贝ijb2cos2x—bcosx+a?—/不变号.

设"=cosx,则一即g（M）=/"2一加+°2—/不变号，由于b>0,因此g（M）是二次函数.

a2+b<0

若g（M）W0在卜1』恒成立,则,由于a>0,b>0,所以该情形不成立.

[g⑴W0Ia2-b<0

g>0g⑴"

若g（l/）20在卜1』恒成立,则或<■

0<—<1[2b

2b

即a»J"+a

2

4b-b,Q<b<—

2

由于I=a—b,因此，>h(b)=<I------恒成立

当I时等号成立,,1

当6>一时，

2

1

<;,因此力伍)1

4

故f的最小值为

4

19.命题意图本题考查数列的综合问题.

解析(I)因为｛4｝的各项均为正数，所以%>0,q>0,

h+l-ak\=\akq-ak\=ak\q-l\,

_n

当q=l时，®+「%J=0,£|。*+1-%|=0,任取">0即可，所以｛%｝为有界变差数列.

k=\

当qwl时，，£%+]一%/=(%+电+1~+a“)|qT|=:,.)|」一]|,

4=11一夕

%(1T

n

若0<q<l,则\q-l\=al(l-q)<aA,令M=q即可，所以｛%｝为有界变差数歹1],

1一夕

%(1-q"

若q>l,则\q-l\=a^q"-1)