2024届云南三校联考备考性联考卷（五）数学

2024届云南三校高考备考实用性联考卷(五)

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答

题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》

一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“〉”和“<”，便于不等式的

表示，设命题0：3x,yeR,%3+y3>(%+y)3,贝(hp为

A.3x,yeR,x3+y3(«+y)3

B.V%,yeR,x3+y3(^+y)3

C.\/x,yGR,x+y3<(«+y)3

D.V%,yeR,x3+y3>(x+y)3

2.已知向量3=(2,0),6=(-1,百)，贝帝与("片)夹角的余弦值为

3.若集合4={%|%=463,,B={%|(%+3)(%-7)WO},若4n8=C,则集合。中

的元素有()个，

A.1B.2C.3D.4

f%<1

4.已知函数/(%)=%T''的值域为R,则实数。的取值范围是

log2%+a?%31

A.(-oo,0)B.(-8,1]

C.(0,+8)D.[1,+8)

数学♦第1页(-共6页)

5.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋

顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形45C。为矩

形，EF//AB,AB=2EF=4,△ADE与AXC/都是边长为2的等边三角形，若点4,B,

C,D,E,尸都在球。的球面上，则球。的表面积为

乙

UTT

UTT

~T~

6.某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有

3

思路.掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为二,

没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为，已知这个学生随机选一道

题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为

3「8

A.—B.—

2043

C1D巨

4,5

7.在△ABC中，角4,B,。的对边分别为a,b,c.bcosC,acosA,ccosB成等差数列(,

当△45C的外接圆半径R=2时，△A8C周长的最大值为

A.2^/3B.473

C.6#D.873

8.关于函数/(%)=4%3—3%-a,则下列说法正确的是

A.函数在(-1,1)上单调递减

B.当a>0时，函数/(%)<0在(0,1)上恒成立

C.当a>l或a<T时，函数/(%)有2个零点

1一

D.当°=不时，函数/(%)有3个零点，记为％1，%2，町，贝U阳+%2+%3=。

数学•第2页(共6页)

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中,

有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9-已知抛物线C的焦点在直线2*-y+4=0上，则抛物线C的标准方程为

A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=16yD.x2=~16y

♦2023

10.若复数Z=、，则

1-21

A.z的共辗复数5=学B.|z|=g

C.复数z的虚部为-D.复数z在复平面内对应的点在第四象限

11.下列命题正确的是

A.若样本数据％1,%2,…，％6的方差为3,则数据2/1+1,2/2+1,…，2跳+1的方差

为12

B.以模型y=ce.去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,求得线性回

归方程为2=2%+0.5,则c=e05,k=2

C.若某校高三（1）班8位同学身高（单位cm）分别为：170,168,172,173,

174,175,173,178,则这组数据的下四分位数（即第25百分位数）为170

D.根据变量X与y的样本数据计算得到/=3.627,根据a=0.05的独立性检验

（g05=3.841）,可判断X与V有关，且犯错误的概率不超过0.05

12.如图2所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成,

设44=4向=1,AB=2,有以下四个结论，其中正确的结论是

A.3C_L平面41A42

B.平面防2。2。

7/2

C.该八面体的体积为专

D.直线与a与平面AA2B2B所成角的正切值为疾

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.在二项式的展开式中，常数项为.

14.已知函数/（%）=d7f（l）/+3的导数为尸（%），则/（«）的图象在点（1,f（D）处的切

线的斜率为.

15.已知双曲线q-刍=1的左焦点为K,过/作一倾斜角为30。的直线交双曲线右支于

ab

尸点，且满足△POK（。为原点）为等腰三角形，则该双曲线的离心率e为.

16.已知a,（3e（0,年满足sin，=sinacosehy,贝（jBsi/a-4cos的最大值为,

数学♦第3页（共6页）口口■・口

四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知函数/(%)=2cos-[cos%-2阴cos?%一遍.

(1)求函数/(%)的值域；

(2)在△4BC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,若《笞3=-2/，c=4,求

△ABC的面积S的最大值.

18.(本小题满分12分)

已知各项均为正数的数列｛a/,…,且满足a；-(2九4_「1)与-2九%7=0(九、2).

(1)求数列MJ的通项公式；

2九一1

(2)设b“=——，求数列也｝的前九项和&

数学•第4页(共6页)

19.(本小题满分12分)

如图3,在四棱锥P-A3CD中，已知底面为直角梯形，AB//CD,AD1CD,

△PCD为等边三角形，平面PCD1平面4BCD

(1)求证：平面平面尸CD；

(2)若PD=A0=2,48=4,求二面角A-PB-C的余弦值.

20.(本小题满分12分)

某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血

样逐一化验，需要化验100。次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分

组，然后将各组1。个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全

部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个

人再分别化验一次.假设某学校携带病毒的人数有10人.(0.995。0.95,0.9910-

0.90)

(1)用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率；

(2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这

1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？

数学•第5页(共6页)

21.(本小题满分12分)

221

已知椭圆C：\+%=l(a义＞0)的离心率为了，且点［1,-弓)在椭圆上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图4,若一条斜率不为0的直线过点(-1,0)与椭圆

交于M,N两点，椭圆C的左、右顶点分别为4,B,直线

的斜率为耳，直线AM的斜率为卷，求证：:(为

&,k2

定值.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(%)=e*-%T.

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)当“N0时，/(2%)m4婷-a/,求a的取值范围.

数学•第6页(共6页)口口,■口

■■口口■■口

2024届云南三校高考备考实用性联考卷（五）

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求）

题号12345678

答案BDCBABCD

【解析】

1-Pi玉，y-R，x3+y3>(x+v)3,则可为％,yeR，F+y3〈a+y)3,故选B.

2.a-b=(3,-73),\a-b\^2y[i,cos1-反』〉=(』一?)：F=——=昱，故选D.

Ia-Z>||a|2V3X22

3.由题意得，/={x|x=4后-3,GeN}={-3,1,5,9,13,17,…},B={x|-3WxW7),故

4("|8={-3,1,5},即4nB中共有3个元素，故选C.

4.当x<l时，/(x)=l+」一<1,当时，/(x)=log2x+a>log2\+a=a,因为函数

/（x）=-7TT，v<1,的值域为R,所以aWl,所以实数。的取值范围是（TO,1],故选B.

log2x+a,仑1

5.如图1,连接/C,BD,设4CPIm=。1，因为四边形

4BCD为矩形，所以Q为矩形4BCD外接圆的圆心.连

接。Q,则。4_!_平面4BCD,分别取E尸，AD,8C的

中点“，P,Q,根据几何体4BC0E尸的对称性可知，

图1

直线。。1交E尸于点M.连接尸。，则尸。〃48,且&为尸。的中点，因为E尸〃48,所以

PQ//EF,连接EP,FQ,在AWE与△8CF中，易知即=尸0="二？'=JL所以梯

形尸为等腰梯形，所以Mq_LP0,且MQ==y/2.设。。1=加，球

。的半径为七连接。£,OA,当O在线段上时，由球的性质可知灭2==。2,

易得=贝IJ（尤_〃?）2+F=J^+〃/,此时无解.当。在线段w的延

数学参考答案•第1页（共10页）

长线上时，由球的性质可知，后？+/=(后+间2+/，解得机=41,所以叱=。£2=:,

22

所以球。的表面积5=4应?2=22兀，故选A.

6.设事件a表示选到会做的题，事件&表示选到有思路的题，事件A表示选到完全没有思

31

路的题；设事件3表示答对该题，则P(8|A)=1,P(B\A2)=~,P(B\A3)=~,设事件。表

5231

示答对8个题，则尸。)=尸(A)P(B|A)+P(4)尸(8|4)+尸(人)尸(B|A)=6X1+3X、+G

OOJO

与，设事件C表示将有思路的题目做对，则P(C)=P(4f4)二,故选B.

4160尸(U)43

7.由已知得2acosA=bcosC+ccosB,所以2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB,又

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,所以cosA=—,因为A$(0,兀)，所以

2

sinA=^-.△ABC的外接圆半径H=2,则〃=2Hsin4=，Xa2+c2-2tecosA,

即12=〃+°2-6c=S+C)2-36C,36c=(6+。)2-125£3(等],当且仅当b=c时，等号

成立，,：(b+c)>0,：.0<b+c^4y[3,所以C=a+b+cW6G，故选C.

8.因为函数r(x)=12/-3,令((尤)=0,贝壮=土;.当

x<-；或时，f\x)>0,此时函数/(x)单调递

增；当-;<x<g时，广(x)<0,此时函数/(尤)单调

递减，作出函数/⑴的大致图象如图2,故A错；对B,

当0<x<1,/(x)</(I)=\-a,当0<a<l时，

/(x)<0不一定成立，故B错；对C,函数/(尤)=0

的根即为y=a与函数y=4d_3x的交点横坐

标.作出函数y=4d-3x的图象如图3,当或

aW-1时，函数/(x)有1个零点，故C错；对D,

函数/(%)有3个零点，则,

4x.-3x;=g(i=1,2,3),令x=cos61(0<0<n),

图3

数学参考答案•第2页(共10页)

■■口口■■口

Ijr57r77rTT

贝！J4(COS6)3-3cos6=cos3e=5,所以，30=—,―,—,于是，xx=cos^=cos—,

5兀7兀7i57i77i4兀3兀

=COS6.=COS——，X.=cosft=cos——，x,+x.=cos—+cos----1-cos—=2cos——cos——

22233g12Jg9999

5兀4兀5兀八田4n

+cos一=cos一+cos一=0，故选D.

999

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

题号9101112

答案BCABDABACD

【解析】

9.由于焦点在直线2%-y+4=0上，当焦点在y轴上时，令x=0=y=4,所以焦点坐标为

(0,4),设方程为Y=2Q(P>0),由焦点坐标知P=8,所以抛物线C的方程为尤2=16y；

当焦点在X轴上时，令y=。n尤=-2，所以焦点坐标为(-2,0),设方程为/=-2PMp>0),

由焦点坐标知。=8,所以抛物线C的方程为丁=-i6x,故选BC.

,023J2023

-i-i(l+2i)_2|,则2=”，故A正确；0=

10.*.*z=・\Z=-----------=

l-2il-2il-2i(l-2i)(l+2i)-5

―,故B正确；复数z的虚部为-J,故C错误；复数z在复平面内对

55

应的点为||，-]J，在第四象限，故D正确，故选ABD.

2

11.对于A,D(Y=aX+b)=aD(X),可得数据2%+l,2x2+l,■-；2%+1的方差为

22x3=12,故A正确；对于B,对Y=。/两边同时取对数可得lny=lnc+履，因为

2=2尤+0.5,所以lnc=0.5,k=2,所以c=e05,k=2,故B正确；对于C,从小到大可

得这组数据为168,170,172,173,173,174,175,178,8x25%=2,则这组数据的下四分

170+172

位数(即第25百分位数)为、=171,故C错误；对于D,因为

2

Z=3.627<x005=3.841,在犯错误的概率不超过0.05的情况下，可判断X与¥无关，故

D错误，故选AB.

数学参考答案•第3页(共10页)

12.对选项A：如图4所示，连接44,取BC中点O,取4。中点E,

连接4月，AD,DE.由等边三角形的性质得8cd.3,由等腰

梯形的性质得.又4C>nDE=。，40,DEu平面

ADEA1,所以8C1平面ADE\.A\u平面AD%，故BCJ_%,

同理BCLM，X^4nX42=^,44,44u平面4042，所以

BC_L平面4a42,正确；对于选项B：如图5,等腰梯形的

高=小12_（；［=*，取4g中点O,建立如图6所示的空

间直角坐标系，设q是△4S1G的中心，。2是△，所。的中

心，过4作&GJ.AD,过E作EH_L3,DH=O2D-O2H

==

T4XTT,吟图-圉斗所以几何体

ABC-AiBC的高为乂^,

XX所以4(—1,0,0),4—,

C(0,6,0),4g，半，-半I,所以

5(1,0,0)

石卡手争，前=（-1,0,0）,瓯=（f字邛卜

m•BC=一演+y/3yl=0,

设平面巡。2c的法向量为防=8，w｝），贝叫_______173V6取

11）•BB］=—XjH------“---------二］=0,

263

作,1,一坐）所以嬴/gxb+gl+半X4°,

X=y/i,得到〃?=

所以为与平面B&GC不平行，错误；对选项C:/=2x'x［叵+石+逅卜逅=迪,

3142J36

正确；对选项D：耳日禹，阴，G［0,2阴,丽=］；,今0卜

AB=(2,0,0),设平面"gB的法向量为7=（X2,%，二2），

数学参考答案•第4页（共10页）

■■口口■■口

n•AB=2X2=0,

——1G76取Z2=l,得到3=(0,261),所以直线gG与平

YI,BB2——X?H-----%-------z?—0,

面448,8所成角6的正弦值为宙116=--------------=匕，tan6>=V2,正确，故选ACD.

1x33

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号13141516

答案-1601A/3+I2

【解析】

X(X+」[一心+!),因为(+』)

13.(x-l)12x+^J=22X的通项公式为九1=

C：(2X)6-[1]=C^26-kx6-2t(0^k^6,keN),所以在«2x+2）中，当6-2左=-1时，不

满足；在(2x+j中，当6-2上=0时，k=3,则常数项为7；=C

⑵=160,故答案为-160.

14.因为/(x)=/一厂⑴/+3,所以广U)=3/-2/⑴无，则广(l）=3x：P一2「⑴xl,解得

尸(1)=1.

15.方法1：如图7,连接尸乙，因为尸在双曲线的右支上，则

22

|因|-|「刃=2。，•••双曲线*一与=1的左焦点耳(-G0),

ab

l\\

•••△尸。耳为等腰三角形，ZPOF^90°,：.\OFx\^OP\=c,

/PF、。=N耳-0=30°,/.ZPOF2=60°,又V|OFX|=|OF2\

;图7

=\OP\=c,.♦.△尸。工为等边三角形，即：ZF2PO=60°,

\PF2|=c,：.2F\PF[=AF^PO+AF2PO=9Q°,在直角

△耳尸鸟中，\PF2\=C，14gl=2c,则I尸月I=6c,|尸耳|

/।\

—|PF2|=V3c—c=2a,即：(V3—l)c=2〃，解得：

e=-=V3+l.方法2：如图8,过产作PELx轴于点E,

a图8

数学参考答案•第5页（共10页）

■■口口■■口

X2V2

・・,双曲线,-斗=1的左焦点耳(-C,0),••,△尸0耳为等腰三角形，40耳>90。，

ab

/.|OR|=|OP|=c,NPFQ=AFXPO=30。，；.ZPOE=60°,在直角△POE中，|OE|=],

2

22任丫(叵、

2

\PE\=—,则尸点尸在双曲线』一[=1上，>=i，即：

2122Ja-b~a2b2

/?2c2—3〃2c2=彳/"，...(。2_〃2)。2_=4〃—/),即：C，—8。2c?+4/=0,

「4o22

-+4=0，4r=—(z>l),gp；』_/+4=o,解得：:4+2百，即：/=4+26，

a4a2a

•o\9・・e=-\/3+l•

16.由sin26Z=sincrcosy0+—,得cosJ3=sina---------,贝！J3sin2«-4cos2P=-sin2a

22sina

-\+4=-|sin2a+\|+4^-2./sin2a•\+4=2,当且仅当sin2a=-—

sinaIsina)\sinasina

时，止匕时sina=1,cos尸=J,或者sina=—1,cos/7=—万(舍去)时等号成立，所以

3sin2a_4cos2p的最大值为2.

四、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

解：(1)/(%)=2sinx・cos%-2百•】''-也=s^n-V3cos2x-2^/3

=2sin2%-y-2A/3,

VXGR,・•・/(%)的值域为[—2—26,2—26]・.............................................(5分)

(2)=2sin|^A+B-273=2sin^-C-273=2sin|^y-C^|-273

=—2V3,

即2$出仁一0=0,由Ce(0,兀)，^-|<y-C<y,

：.--C=Q,BPC=—,

33

数学参考答案•第6页（共10页）

X16=c2=a2+b2-labcos—=a1+b2+ab^3ab,即abW3,当且仅当4=6=迪时

333

取等号,

16G4V3

,*S^ABC=—absinCW—x一x二---------

22323

4G

('△ABC)max（10分）

3

18.（本小题满分12分）

解：(1)Va^-(2nan_x-l)an-2nan_{=0(〃22),

工(a〃-2nan_x\an+1)=0(几22),

又。〃>0,an=2nan_1,即——=2〃(〃22).

an-\

又c1n=^x—x—x---x乌-=2x4x6x-.x2〃=2”•〃!(〃22),

4"2"”-i

1n

ax=2x1!,an=2•n\..........................................(6分)

b、=—,bn=-----=—---------------(〃21)，

12〃2〃•川2^.(n-1)!2〃•加

7；=4+/+&+&+…+2

iiiiiiii

―+—+—+.■■+-

2°x0!2'xl!2'xl!22x2!22x2!23x3!2"-1.(n-1)!T•n\

又：A。u平面ABCD,PEI.AD,

己知AZXLCZ),且PEnCZ»=E,PE,CDu平面尸CD,/.ADI5?®PCD,

又,?ADu平面PAD,平面PAD1平面PCD.

（6分）

数学参考答案•第7页（共10页）

(2)解：过点E作4。的平行线与A3交于点R如图

10,贝!|OC_LEF,

又由(1)知PE_L平面A3。，

建立如图所示的空间直角坐标系，

可知：P(O,0,V3),A(2,-1,0),BQ,3,0),

C(0,1,0),

AP=(-2,1,V3),AB=(O,4,0),CB=(2,2,0),CP=(0,-1,扬,

设平面AP8的法向量为〃=（%,%,zj,

-2X]+%+=0,

nA^AB>[例=0,；•%=0,令%=g，则4=2,

故"=(百，0,2),

设平面PBC的法向量为m=（x2,y2,z2）,

nLCB,‘2%+2%=0,

/T令%=，则％2=—，Z2=1,

nLCP<—y2~^^^z2=\）,

故石=（-G,瓜1）,

/一-、n*m-3+0+21

cos\n,m>=-----二一二一尸——=—,

|n|*|m|V7•V77

设二面角A-PB-C的平面角为e,贝！|cosd=g.

.............................................（12分）

20.（本小题满分12分）

解：（1）由己知可得，该单位每个人携带病毒的概率为卫=0.01.

1000

所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.95,

所以，一组混合血样呈阳性的概率为1-0.95=0.05.

..................................................................................................（4分）

（2）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量X,则X=l,6.

由（1）知，5个人一组，需要重新化验的概率为0.05,

数学参考答案•第8页（共10页）

则X的分布列为

X16

P0.950.05

所以，E（X）=p（X=l）xl+p（x=6）x6=125,

总的化验次数为一颐*）=250;........................（8分）

设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量丫，则y=i,ii.

10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.9,则10个人一组，需要重新化验的概

率为0.1,

则丫的分布列为

Y111

P0.90.1

所以E（y）=1X0.9+11X0.1=2,总的化验次数为E（y）=200，

所以，10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少.

................