新定义新情景压轴解答题（学生版）-2024年高考数学压轴题专项训练

4”发型篇定义篇情事及“解答题

压轴履解读

创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与

培养的一种基本精神与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式

设置、性质应用、知识拓展与创新应用等的交汇与融合,很好地融入创新意识与创新应用.

所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运

命题预测算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推

理、迁移的一种题型。

2024年九省联考之后，第19题将考查新定义问题。现在也有部分地区考试采用该结

构考试，比如安徽合肥一中省十联考等。预测2024年新高考试卷第19题结构考查新定义

问题，压轴题,难度比较大.

（1）集合与数列新定义

（2）函数与导数新定义

高频考法（3）立体几何与解析几何新定义

（4）概率与统计新定义

（5）高等数学背景下新定义

高分必抢

♦题型01集合与数列新定义

解答新定义型创新题的基本思路是：

（1）正确理解新定义；

（2）根据新定义建立关系式；

（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；

（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果.

题目|T)(2024・北京・模拟预测)对给定的正整数八，令&=

{a=(©Q,…,册)।味{0,l},i=1,2,…,n},对任意的rr=(如%…%),y=(4,纺，…,%)G&,定义①

|rc—y|H---------

与y的距离d(x,y)=\xx—yx\+22\-\xn—yn\.设A是&的含有至少两个元素的子集,集合。

=^d{x,y)\x^y,x,yG人}中的最小值称为4的特征，记作力(A).

(1)当n=3时，直接写出下述集合的特征：/={(0,0,0),(1,1,1)}田=

{(0,0,0),(0,l,l),(l,0,l),(l,l,0)},C={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}；

(2)当n=2020时，设AGQ2020且无(入)=2,求A中元素个数的最大值；

92020

(3)当71=2020时，设A=02020且%(4)=3,求证：A中的元素个数小于金P

[题目|2](2024・重庆・模板预测)在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组(x,y)表示,在三维

空间中点的坐标可用三个有序数组(x,y,z)表示，一般地在"⑺>2,nCN)维空间中点A的坐标可用

几个有序数组(ai,.”、0»)表示,并定义九维空间中两点a?,,_8(法也,…也)间的"距离”

n

d[AB)=^\a-bi\.

i=l

])，求d(AB)；

⑴若4KM…申闻箕n+1

⑵设集合口={(电42,…,。7)g六{0,l},i=l,2,…,7}.元素个数为2的集合及为U的子集，且满足对

于任意AGa，都存在唯一的B€M使得认AB)w3,则称河为“a的优集”.证明：“a的优集”M存

在，且又中两不同点的“距离”是7.

•••

题目叵（2024•江西上悦•二O对于数列A的,a2,a3（a怎N,i=1,2,3）,定义“F变换”：尸将数列A变

换成数列B仇也自，其中bt=旧一八|。=1,2）,且名=|a3-ail.这种“尸变换”记作口=尸（人），继续对

数列B进行“F变换”，得到数列C:q,C2,C3,依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.

（1）写出数列A2,5,3,经过6次“尸变换”后得到的数列；

⑵若SQ,＜13不全相等，判断数列AaiQQ经过不断的“尸变换”是否会结束，并说明理由；

（3）设数列4185,3,188经过％次“斤变换”得到的数列各项之和最小，求心的最小值.

题目区（2024•山西•模拟预测）对于数列｛%｝,若存在双＞0,使得对任意nCN*,总有£&+「叫＜

k=l

则称｛册｝为“有界变差数列”.

（1）若各项均为正数的等比数列｛飙｝为有界变差数列，求其公比q的取值范围；

（2）若数列｛bn｝满足⑥+什：=2,且4=2,证明：｛&„｝是有界变差数列；

（3）若｛3｝,｛yn｝均为有界变差数列，且外＞%＞0,证明：［叁L］是有界变差数列.

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♦题型02函数与导数新定义

函数与导数新定义问题主要分两类:一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查

考生对函数新概念的理解,涉及函数的三要素的理解;二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背

景,重点考查考生灵活应用函数性质的能力,涉及函数的各种相关性质的拓展延伸.________________

题目叵（2024•广西・二«）定义:若函数/（为图象上恰好存在相异的两点PQ满足曲线0=/（乃在

P和Q处的切线重合，则称P,Q为曲线夕=/（土）的“双重切点”，直线PQ为曲线9=/（为的“双重切

线”

（1）直线?/=①一方是否为曲线/（力）=^X2-2X+21RT的“双重切线”，请说明理由；

（e"+i,①W0,

（2）已知函数gQ）=.求曲线y=g（c）的“双重切线”的方程；

0---4，力＞U,

x

（3）已知函数八Q）=cos为直线P。为曲线沙=八（n）的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值

为自也,…，鼠，若自＞%＞及。=3,4,5,-"）,证明：£＜詈,

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［题目|6］（2024・喘三•浙江宁波•期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度,为此我们需要刻画曲

线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线。：9=/（，）上的曲线段存，其弧长为As,当动点从人沿曲

线段AB运动到B点时，A点的切线ZA也随着转动到B点的切线加，记这两条切线之间的夹角为△仇它

等于加的倾斜角与心的倾斜角之差）•显然,当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角

固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义卜=|1当为曲线段余的平均曲率;显然当口越接

近4即As越小，K就越能精确刻画曲线。在点A处的弯曲程度，因此定义=—回二

zSsl（l+y,2y

（若极限存在）为曲线。在点4处的曲率.（其中4,小'分别表示夕=/（为在点4处的一阶、二阶

导数）

（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

（2）求椭圆/+才=1在处的曲率；

（3）定义队y）=，-口］为曲线4=/（为的“柯西曲率”.已知在曲线/（比）=X\IYX-2宓上存在两点

（1+。）

「（如/（力1））和。（62J3）），且pQ处的“柯西曲率”相同，求沟+疡的取值范围.

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题目区(2024•上海徐汇・二已知常数k为非零整数,若函数0=/(办爪[0,1]满足:对任意如电

€[0,1],|/(的)一/(电)|W|(g+l)J(电+1力，则称函数"=/(乃为乙(k)函数.

(1)函数4=2宓，宓e[0,1]是否为L(2)函数？请说明理由；

(2)若g=f3)为L⑴函数，图像在te[0,1]是一条连续的曲线,/(0)=0,/(1)=。,且/(乃在区间

(0,1)上仅存在一个极值点，分别记/O)mmx、/(/)min为函数"=/(①)的最大、小值，求/(2)ma*-/(工)min

的取值范围；

(3)若Q>0,/(劣)=0.05/2+0.&+aln(x+1)，且g=/(力)为L(—1)函数，g(x)=/'(力)，对任意x,yE

[0,1],恒有|g(力)—g(g)|记M'的最小值为V(Q),求。的取值范围及A1(Q)关于Q的表达式.

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♦题型03立体几何与解析几何新定义

空间立体几何与解析几何新定义试题呈现的结构通常为“给出图形的新定义-探索图形的新性

质-运用图形的新性质解决问题”，设问的层次通常为从简单到复杂、从特殊到一般.理解概念重要

的不仅是概念如何定义，而且是概念能够引出哪些性质（具有哪些表征）;研究图形重要的不仅是发现

了什么结论,而且是采用了怎样的思想方法.这正是数学课程性质中的抽象结构思想和数学课程目

标中的核心素养导向的体现.

［题目叵（2024・全国・模拟预测）人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地

方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理

论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发

现纬度越高,每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符.地球的形状类似

于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下,椭球面「:《+4+4=

l（a>0,b>0,c>0）,这说明椭球完全包含在由平面c=±Q,g=±b,z=±c所围成的长方体内，其中a,

b,c按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面z=0的截痕是椭圆E:多

+y2=1.

（1）已知椭圆W+冬=l（a>b>0）在其上一点QQ。,为）处的切线方程为等+畔=1.过椭圆E

ab

的左焦点后作直线Z与椭圆E相交于AB两点，过点A8分别作椭圆的切线，两切线交于点又，求

•面积的最小值.

（2）我国南北朝时期的伟大科学家祖唯于5世纪末提出了祖昭原理:“幕势既同，则积不容异”.祖唯原

理用现代语言可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，

如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当b=c时,椭球面「围成的椭球

是一个旋转体，类比计算球的体积的方法,运用祖晅原理求该椭球的体积.

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［题目3（2024•高三•河北•阶段练习）已知力=,b=（22,纺,Z2）,C=（23,纺,23）,定义一种运

算：（axfo）-C=xly2z3+x2y3z1+x3y1Z'2—x1y：iZ'2—x2y1z3—x3y2Z1,在平行六面体ABCD—ABCQi中，

~AB=（1,1,0）,AD=（0,2,2）,而=（1,-1,1）.

（1）证明:平行六面体ABCD—4BGA是直四棱柱；

（2）计算|（而x前）•瓦司，并求该平行六面体的体积，说明|（布x尬）•瓦司的值与平行六面体

ABCD-4BGA体积的关系.

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IfEJ（2024•辽宁沈阳•二W蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六

棱柱截去三个相等的三棱锥H-ABC,J-CDE,K-EFA,再分别以AC,CE,及4为轴将4ACH,

△CEJ,A£L4K分别向上翻转180°,使三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如

图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的

曲率之和,而每一顶点的曲率规定等于2兀减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多

面体的面的内角，用弧度制表示）.例如:正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是名，所以正四面

体在各顶点的曲率为2兀—3x尚■=兀.

图1图2

⑴求蜂房曲顶空间的弯曲度；

（2）若正六棱柱底面边长为L侧棱长为2,设BH=x

⑴用力表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积S（rr）；

（ii）当峰房表面积最小时,求其顶点S的曲率的余弦值.

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[题目|11](2024•高三•浙江苒水・升学考试)数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数.四元数

在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转.集合H=

{d-\-ai+bj-\-ck\a,b,c,dGR}中的元素a=d-\-ai+bj+ck称为四元数，其中i,1,k都是虚数单位，d

称为。的实部，aO+B+ck称为a的虚部.两个四元数之间的加法定义为(&+。日+与/+jk)+

(d2+a2i+b2j+c2fc)=(di+d2)+(ai+a2)i+(仇+戾)/+(Ci+c2)fc.

两个四元数的乘法定义为：ij=~ji=k,jk=—kj=i,ki=—ik=j^=j2=k2=—l,四元数的乘法具有结

合律，且乘法对加法有分配律.对于四元数%若存在四元数£使得奶=0a=1,称6是。的逆，记为6

=。-1.实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为

(1)设a,b,c,dGR,四元数a—d+ai+bj+ck.记a*=d—a/i—bj—ck表示a的共辄四元数.

(i)计算aa*；

(w)若aW0,求。一1；

(m)若aW0,0EW，证明：郊/6W;

(2)在空间直角坐标系中，把空间向量a=(Q,b,c)与纯四元数a=Q〃+#+ck看作同一个数学对象.

设a,6eW，Y=---(a/3—/3a).

⑴证明：7GW;

(讥)若a,6是平面X内的两个不共线向量，证明：丁是X的一个法向量.

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♦题型04微率与^计新定义

解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词,理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题.

总之,解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的

实践和反思,不然就谈不上“自然”的、完整的解题.

0回至］（2024•吉林长春•三模）入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”.南方游客纷纷北上，体

验东北最美的冬天.某景区为给顾客更好的体验，推出了入和B两个套餐服务，并在购票平台上推出

了优惠券活动,顾客可自由选择［和8两个套餐之一,下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情

况.

日期112345678910

销售量虱千张）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

1101010

经计算可得：y=22%=2.2,£地,=118.73,Z端=385.

i=li=l

（1）由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减

少，现剔除第10天数据，求g关于t的回归方程（精确到0.01）,并估计第10天的正常销量；

（2）假设每位顾客选择4套餐的概率为卷，选择8套餐的概率为与,其中A套餐包含一张优惠券，B套

55

餐包含两张优惠券,截止某一时刻,该平台恰好销售了n张优惠券,设其概率为2,求2；

⑶记⑵中所得概率Pn的值构成数列｛2｝⑺eN*）.

①求数列｛2｝的最值；

②数列收敛的定义：已知数列｛册｝，若对于任意给定的正数S，总存在正整数N。，使得当">以时，

|册—a|<£,（a是一个确定的实数），则称数列｛%｝收敛于a.根据数列收敛的定义证明数列｛2｝收敛.

n

^^Xjy—nx・y

回归方程口=合+5/中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：。=士^--------，a=y—bx.

f4-后

i=l

题目应］（2024•黑龙江哈尔滨•一模）入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”.南方的小

土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情,还有东北的洗

浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入.东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾

客更好的体验，推出了人和8两个套餐服务,顾客可自由选择4和B两个套餐之一，并在入网平台上

推出了优惠券活动,下表是该洗浴中心在人冲平台10天销售优惠券情况.

日期力12345678910

销售量饮千张）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

[101010

经计算可得：7=+汇纳=22»演=118.73,汇后=385.

1=11=12=1

⑴因为优惠券购买火爆，人依平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减

少，现剔除第10天数据，求g关于t的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；

（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择8套餐的概率为9并且A套餐可以用一张优

55

惠券，B套餐可以用两张优惠券,记App平台累计销售优惠券为n张的概率为R,求兄；

（3）记（2）中所得概率2的值构成数列｛2｝（"€N*）.

①求2的最值；

②数列收敛的定义：已知数列｛%｝，若对于任意给定的正数e,总存在正整数以,使得当">以时，

\an-a\<£,（a是一个确定的实数），则称数列｛册｝收敛于a.根据数列收敛的定义证明数列｛2｝收敛.

Z（x-x）（y-y）^Xiy-nx-y

参考公式：b=e”----------=---------,a=y—bx.

f（g-Z）2-nx

i=li=l

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题目旧(2024•海南海口・一模)在计算机科学中，八维数组X=(伤,电,…,0),为C{0,l},iCN+，n>

2是一种基础而重要的数据结构,它在各种编程语言中被广泛使用.对于n维数组A=(as：%),

B=(仇&,…也)，定义人与口的差为A—B=(血一仇|,血一戾|,…,此—bj),A与口之间的距离为d(A

B)=A1=1ail

(1)若n维数组若=(0,0,…,0),证明:矶AC)+d(B,C)>d(A,B)；

(2)证明:对任意的数组ABC,有d(A—C,B—C)=d(A,B)；

(3)设集合S”={X\X=(x1,x2,---,xn),Xi&{0,1},iGN+,n>2},PGSn，若集合尸中有m(m>2)个九维

数组，记P中所有两元素间的距离的平均值为d(P),证明：5(F)mn.

2(m—1)

[题目〔15](2024•高三•全国・专题练习)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(出42«3)表示，

其中a了{0,l}(l<iW3,iCN).而在八维空间中⑺>2,nGN),以单位长度为边长的“立方体”的顶

点坐标可表示为n维坐标(chQQ,.,%),其中a.;€{0,1}(14iWn,i€N).现有如下定义:在"维

空间中两点间的曼哈顿距离为两点(电《2«3,……,an)与(仇&,如……，吼)坐标差的绝对值之和，即为

届一仇|+向一蚓+血一如+...+\an—bn\.回答下列问题：

(1)求出71维“立方体”的顶点数；

(2)在八维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离

①求出X的分布列与期望；

②证明:在"足够大时，随机变量X的方差小于0.25储.

•••

[题目|16](2024•高三•湖北・阶段练习)设(X,Y)的所有可能取值为(外%)，称p产P(X=Xi,Y=%)

(i=l,2,---,n,j=l,2,--,m)为二维离散随机变量(X,V)的联合分布列，用表格表示为：

YXViV2VkVmPi-

XiPn012PlkPimP\-

X2P21P22PlkP2mP2-

2kPkiPk2Pkk0kmPk-

XnPmPn2PnkPmnPn-

p-jP-iP-2p-kP,rm1

仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布歹u：定义p(y=%)=%=汇为，对于固定的，,

i=l

若p.j>0,则称p*=P^X=Xf\Y=yj')==1,2,…,n)为给定Y=%条件下的X条件分布列.

Ii=l।

离散随机变量的条件分布的数学期望(若存在)定义如下：E(X\Y=y)=YiXiP^X=xi\Y=y).

⑴设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为

YX123Pi-

10.10.30.20.6

20.050.20.150.4

p-j0.150.50.351

求给定X=1条件下的y条件分布列；

⑵设(X,Y)为二维离散随机变量,且E(X)存在,证明：E(X)=£E(X|V=%)•pj；

(3)某人被困在有三个门的迷宫里,第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫;第二个

门通一条迷道,沿此迷道走50分钟又回到原处;第三个门通一条迷道,沿此迷道走70分钟也回到原处.

假定此人总是等可能地在三个门中选择一个,试求他平均要用多少时间才能走出迷宫.

•••

♦题型05高等数学背景下新定义

1、泰勒公式有如下特殊形式：当/(力)在力=0处的阶导数都存在时，/(力)=

mm、工/〃(0)2"⑶(0)3,工产)(0)□注、事一

/(0)+/(°)/H----审—xH-----——x+…H-------;—xH.汪：/(力)表示/(1)的2

4•O>IL\

阶导数，即为/'(力)的导数,/5)(力)⑺)3)表示/(%)的九阶导数,该公式也称麦克劳林公式.

2、【极值点第二充分条件】已知函数/(力)在力=&处二阶可导，且/'(g)=0,/〃(g)W0

⑴若/(0)>0,则/(力)在g处取得极小值；

(2)若于"(X。)V0,则/(力)在力0处取得极大值.

3、帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整

数小，九,函数/(，)在力=0处的［m,n］阶帕德近似定义为：H(%)=+~~+。叱，且

1+b1x+…+6九力

满足：/(O)=H(O),/'(O)=H'(O),/"(O)=H"(O),…,『「力(。)=任<+")(。).(注J"

3)=［f(划,1r3)=［/〃3)］"⑷3)=［『(=］"⑸3)=［/⑷3)］'，…/3)为

产t)3)的导数).

4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理:如果函数/(力)在［a,加上连续，且在(a,b)上可导，则必

有占G(a,b),使得f飞)(b-a)=f(b)-/(a).

5、罗尔定理描述如下:如果H上的函数/(c)满足以下条件:①在闭区间［a,b］上连续，②在开区

间(a,b)内可导，③/(a)=/(b),则至少存在一个占W(a,b),使得/'(占)=0.

6、微积分

知识卡片1：一般地，如果函数/(力)在区间［a,b］上连续，用分点a=gV力i<・-Vg_L<

力£<?••<&=6将区间［a,b］等分成九个小区间,在每个小区间［力i,力］上任取一点2

nn7

(i=1,2「：口)，作和式2/(g1)4%=Z-----2/(2)(其中△力为小区间长度)，当?if8时，

i=ii=in

上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数/(力)在区间［a,6］上的定积分，记作(力)d力

Ja

Pn7

即J/Q)d片颍2亍/⑸.这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,b］叫做

an〃=in

积分区间，函数/(力)叫做被积函数，力叫做积分变量，/(力)de叫做被积式.从几何上看，如果在区

间［a,b］上函数/(力)连续且恒有/(7)>0,那么定积分［/(力)d力表示由直线为=a,2=

Ja

b(aWb),y=U和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.

15

知识卡片2：一般地;如果/（力）是区间［a,b］上的连续函数，并且尸⑸=/（力），那么］/（力）

b

dx=尸Q）f=尸（b）-尸（a）.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.

\a

知识卡片3:在微积分中,求极限有一种重要的数学工具--洛必达法则,法则中有结论:若函数

,g（力）的导函数分别为了'（力），g\x），且啊i/Q）=蚂9（2）=o,则

］./（力）1./（力）

nm..=nm———.

岔Tag（x）Lag，Q）

7、伯努利不等式（8emoaZ，slneqaQZ沆必，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常

见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布・伯努利提出:对实数ce（—1,+8）,在ne［1,+a））

时，有不等式（1+力厂>1+九力成立；在九e（0,1）时，有不等式（1+力广&1+九力成

立.

8、设连续函数/（力）的定义域为［a,b］,如果对于［a,b］内任意两数与g，都有电；"？）

&.（力J；/（力2），则称/（力）为［①切上的凹函数；若力12）打、（力J:、（力2）,则称

于（x）为凸函数.若/（力）是区间［a,6］上的凹函数，则对任意的g,力2,…,力几£［a,6］,有琴生不

等式什应+…+力《/（…（旬+…”）恒成立（当且仅当，产g=一

力九时等号成立）.

［题目叵（2024•淅江・二榭①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有

结论:若函数/（/）,g（/）的导函数分别为/（/）,/（力）,且蚂/（力）=1四gQ）=0,则

lim44

5ag(x)l。g'Q)

②设a>0,k是大于1的正整数,若函数/⑸满足:对任意xE［0,a］,均有于⑺成立，且叫

/（c）=0,则称函数/Q）为区间［O,a］上的k阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

（1）试判断/（为=X3-3X是否为区间［0,3］上的2阶无穷递降函数；

1

（2）计算：lim（l+/尸；

力fo

（3）证明：（sin力）3<COSN,X6（兀，春兀）.

1力—兀，\2,

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题目叵］（2024•湖南益阳•模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组@Q）表

示；三维空间向盘可用三元有序数组（出,（12,。3）表示.一般地，4维空间向量用九元有序数组

@,电,…，册）表示，其中队（k=1,2,・-,?1）称为空间向量的第力个分量，k为这个分量的下标.对于

九（九>3）维空间向量（Q.Q2,…,册），定义集合4（m）={kIak=m,fc=1,2,•••,?!}.记A（7n）的元素的个

数为|4（恒）|（约定空集的元素个数为0）.

（1）若空间向量=（6,3,2,5,3,7,5,5）,求A（5）及|A（5）|；

（2）对于空间向量（Qi,电,…,M）・若［/।）、1H-----卜।J、।=n，求证：Vi,/G{1,2,…,n},若

\A（a2）\\A（an）\

iW力贝！Ia3电；

（3）若空间向量（QIQQ，…,a/的坐标满足4恁-2+。1）=依},。1=。2=1,当h>3时，求证：Q：+Q|

+VCLn>2为一1（1n.

［题目叵］（2024•贵州贵阳•一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：1=1+2+圣+/+…+耳+

…其中n!=lx2x3x4x…xn,e为自然对数的底数，e=2.71828…….以上公式称为泰勒公式.设

/3）=亘”，。（乃=亘当二，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题・

（1）证明：e">l+g

（2）设cC（0,+oo）,证明：/^VgQ）；

（3）设FQ）=g（c）—a（l+,若刀=0是f（力）的极小值点,求实数a的取值范围.

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压轴题预测

题目叵给出以下三个材料:①若函数/（比）可导，我们通常把导函数/3）的导数叫做的二阶导

数,记作尸3）.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作f’（为,三阶导数的导数叫做四阶导数…

…一般地，TZ—1阶导数的导数叫做外阶导数，记作广）（力）=②若71eN*,定义？i!=

nx（n-1）x（n-2）x…x3x2x1.③若函数/（c）在包含&的某个开区间（a,6）上具有九阶的导数，

那么对于任一/e（a,b）有g（/）=/（x0）+/（2一&）+于⑶一切斗』"（2—gf+…

+.“，）（尤-g）”,我们将。⑸称为函数/Q）在点c=g处的n阶泰勒展开式.例如，y=e"在点力=

n!

0处的71阶泰勒展开式为1+①+-1x2+…+3犬.根据以上三段材料，完成下面的题目：

2n!

（1）求出力（力）=sinx在点x=0处的3阶泰勒展开式gi（a），并直接写出上⑺=cos/在点x=0处的3

阶泰勒展开式。2（/）；

⑵比较⑴中力⑺与纵⑸的大小.

（3）证明：e"+sin/+COST>2+2名.

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题目已知各项均不为0的数列｛an｝满足an+2an=an+1an+a^+1（n是正整数），。产a2—1,定义函数g

=九（力）=1+之A/（%＞。），e是自然对数的底数.

k=l卜・

｛等｝是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式;

⑴求证:数列

x

(2)记函数g=gn(x)，其中gn(x)=1-e~fn(x).

（i）证明:对任意力＞0,0＜g3（x）《启力）一53）；

⑹数列｛bn｝满足图=2］，设北为数列｛bJ的前n项和.数列｛北｝的极限的严格定义为:若存在一个

an

常数T,使得对任意给定的正实数〃（不论它多么小），总存在正整数小满足：当n＞小时，恒有\Tn-T\

＜〃成立，则称T为数列｛黑｝的极限.试根据以上定义求出数列｛黑｝的极限T.

.题耳［22］已知数列｛册｝为有穷数列，且aneN*，若数列｛册｝满足如下两个性质，则称数列｛册｝为小的R

增数列：

①Q1+Q2+Q3+—\-an=m；

②对于14iV，W4,使得的＜出的正整数对（ij）有k个.

（1）写出所有4的1增数列；

（2）当n=5时，若存在7n的6增数列，求7n的最小值.

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题目叵已知数列入：出42,…,<ZN(N>3)的各项均为正整数,设集合T=上降=a-a,,1&iV/&N},

记T的元素个数为P(T).

⑴若数列AL3,5,7,求集合如并写出P(T)的值；

(2)若A是递减数列,求证:“P(T)=N—1"的充要条件是“A为等差数列”；

(3)已知数列A2,22,…,2",求证:P(T)=N(N：D.

题目［^心对正整数？ri>3,">6,设数列AaiQ,…,a”,a，e{O,l}(i=1,2,…,n)._8是m行ri列的数阵，%

表示B中第i行第4列的数，％C{0,1}(1=1,2,--,小；4=1,2,-仙)，且8同时满足下列三个条件@每

行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同.记集合{i,也-a2加+…+M廉=0或

3,i=l,2,---,m）中元素的个数为K.

H11000、

⑴若41,1,1,0,0,0,B=101100，求K的值;

,00011L

(2)若对任意p,qE<1,2,---,n}(p<g),B中都恰有r行满足第p列和第q列的数均为1.

①B能否满足巾=3r?说明理由；

②证明：((4—4日).

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1目酋若有穷自然数数列A:电,a2,-,an（n>2）满足如下两个性质，则称人为凡数列：

①a彘max{ai+Qk_i，Q2+ak―2,…，恁―i+@i}（k=2,3,***,n），其中,max{ci,力2,…，g}表示g,力2,…，力§，这s

个数中最大的数；

②Qk<min{ai+Qk_i，Q2+Qk—2,1+&}+l（k=2,3,—,n），其中，min{x1,x2,—,xs}表示/i,g,…,g，这

s个数中最小的数.

⑴判断42,4,6,7,10是否为瓦数列，说明理由;

⑵若4…,。6是瓦数列，且。1，02,。3成等比数列，求。6；

（3）证明:对任意礴数列A：QiQ,…，册（九>2）,存在实数/I,使得念=［fc/l］（fc=1,2,—,n）.（［a:］表示不超

过C的最大整数）

题目［26］三棱锥P—ABC中，4（3,0,0），8（0,0,2）,C（0,4,0）,P（3,4,2）.

（1）E是AB的中点，尸是PC的中点，求异面直线PE与BF所成的角的大小（用反三角函数表示）.

（2）对于实数电，仇”2，戾,称的?为二阶行列式，定义其一种运算：的?=电戾一a?如对于向量

。2仇a2仇

4=（力1,%力）,3=（力2,纺,g），称日X6为日与办的向量积，定义一种运算：axS=

（"］，卜，（卜/）.试计算/=竺"普的值，并说明这一运算的几何意义.

\V2|乃力21I电V2>\ABxAC\

（3）试计算巨入了的值，指出|巨4•词的几何意义,并求出三棱锥P-ABC的体积.

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：1目巨已知S为正比例系数，定义：S=鲁闽为建筑物暴露在空气中的面积(单位：平方米)，%为建

Vo

筑物的体积(单位:立方米).

(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为七高度为方,求该建筑体的S(用R,H表示)；

(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设4为底面面积，刀为建筑底面周长.已知/为正比例系数，

方与/成正比，定义：/=与,建筑面积即为每一层的底面面积,总建筑面积即为每层建筑面积之和，值

yj.

为T.已知该建筑体推导得出S=+蚩，几为层数,层高为3米，其中/=18,T=10000,试求当

取第几层时,该建筑体S最小？

题目|28]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆「：4+4=1(。＞匕＞0)的离心率为手，直线，与「相

ab23

切，与圆O：a?+y2=3a2相交于4B两点.当Z垂直于a?轴时，=2娓.

(1)求：T的方程；

(2)对于给定的点集河，N,若河中的每个点在N中都存在距离最小的点,且所有最小距离的最大值存

在，则记此最大值为d(M,N).

(i)若M,N分别为线段与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当APAB的面积最大时,求d(M,

N)；

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在,记两者中的较大者为已知H(X,Y),H(Y,Z),H(X,Z)均

存在，证明：H(X,Z)+H(y,z)＞H[X,y).

If叵直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+l表示过点(1,0)的直线，直线的包

络曲线定义为:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都

是该直线族中的某条直线.

22

(1)若圆C1:x+y=1是直线族mzr+Tiy=l(m,n€R)的包络曲线，求7n,九满足的关系式；

2

(2)若点P(xo,yo)不在直线族：Q：(2a—4)x+4y+(a—2)=0(aER)的任意一条直线上,求y0的取值

范围和直线族。的包络曲线E;

(3)在(2)的条件下，过曲线后上两点作曲线E的切线Zi,L，其交点为P.已知点。(0,1),若

三点不共线，探究=是否成立？请说明理由.

［题目叵在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A(g,%),B(g,%)之间的“距离”为MB=\x2-X1\+

版—加，我们把到两定点E(—c,0)谯(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“椭

圆”.

(1)求“椭圆”的方程；

⑵根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性,并说明理由；

(3)设c=l,a=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为过月作直线交C

于两点，ZVIMN的外心为Q,求证:直线OQ与的斜率之积为定值.

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题目叵］阅读材料：

2

在平面直角坐标系中，若点M(x,y)与定点F(c,O)(或斤'(一c,0)的距离和它到定直线l-.x=二(或l':x=

C

--)的距离之比是常数9(0<c<a),则=马化简可得4+/v=1，设/=a2-c2

Ca«1_aQ2Q2—02

C

22

(