直线与椭圆-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第6课时直线与椭圆

［考试要求］1.理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法2会借助方程的

思想解决直线与椭圆相交的综合问题.

［链接教材__________落实主干•激活技能

❶梳理•必备知识

1.直线与椭圆的位置判断

将直线方程与椭圆方程联立，消去了（或X）,得到关于x（或了）的一元二次方程，则

直线与椭圆相交直线与椭圆相切0/三0;直线与椭圆相离Q/&0.

2.弦长公式

设直线与椭圆的交点坐标为Z（xi,ji）,5（x2,/）,则=VT不的xi—如=

J（1+k2）（（/+孙尸一4%1%2）或0同=J1+）［VI-J2|=

J（1+专）（仇+力＞—4yly2），左为直线斜率且左WO.

［常用结论］

22

1.点尸（枇，次）和椭圆a+左=1（。＞6＞0）的位置关系

22

⑴点尸（X0,词在椭圆内Q粤土Ml.

U-D—

22

（2）点尸（xo,外）在椭圆上=:±德三1.

（3）点P（xo,词在椭圆外=粤2土2船L

2.椭圆上一点处的切线方程

点尸（xo,次）在椭圆管+5=1（。＞6＞0）上，过点尸的切线方程为鬻土矍三1.

3.关于一卷的重要结论

（1）过原点的直线交椭圆5十*1（。＞6＞0）于N,B两点、,尸是椭圆上异于Z,B

的任一点，则左口•kpB=­F

（2）若M（xo,诩是椭圆5+《=1（。＞6＞0）的弦48（45不平行y轴）的中点，则有

Q-Q&XO

©激活•基本技能

一、易错易混辨析（正确的打“，错误的打“X”）

（1）椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.（）

（2）过点幺（0,1）的直线一定与椭圆一+9=1相交.（）

（3）直线和椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断.（）

（4）过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.（）

［答案］（1）V（2）V（3）X（4）V

二、教材经典衍生

1.（人教A版选择性必修第一册Pm例7改编）直线y=x+l与椭圆9+9=1的

一

题

多

解

位置关系是（

A.相交B.相切

C.相离D.无法判断

A［法一（通解）：联立直线与椭圆的方程

（y=x+l,

\x2y2消去V得9%2+lOx—15=0,

匕+1=1，

J=100-4X9X（-15）>0,所以直线与椭圆相交.

法二（优解）：直线过点（0,1）,而0+=VI,

即点（0,1）在椭圆内部，所以直线与椭圆相交.］

2.（人教A版选择性必修第一册Pn4练习T2改编）已知斜率为1的直线/过椭圆

9+廿=1的右焦点，交椭圆于43两点，则弦48的长为（）

46

A-?B-?

C.1D.y

C［由题意得，屋=4,b2=l,所以。2=3,

所以右焦点坐标为（遮，0）,

则直线I的方程为y=x-<3.

设Z（X1,V1）,B（X2,V2）,

（y-x-V3,「

联立卜2+21消去y得5好-8后+8=0,

J=（-8V3）2-4X5X8=32>0,

»I8V38

Mn'JXl+X2=—,X1X2=-,

所以|4目=V1+fc2•J（汽］+第2）2・4%］,2

=V2x1f）2-4xH

即弦Z8的长为日］

3.（多选）（人教A版选择性必修第一册Pii4例7改编）若直线>=云+2与椭圆£+

3=1相切，则斜率左的值是（）

AV6V6

A-TB--y

C.—qD.包

33

（y=kx+2,

AB［由/v2得（3左2+2）/+12丘+6=0,

—+—=1,

l32

由题意知/=144/一24（3/+2）=0,解得左=±金］

4.（人教A版选择性必修第一册PII6T13改编）若点P是椭圆E：3+产=1上的动

点，则点尸到直线/：X—了一3芯=0的距离的最小值是,此时，点尸

的坐标为.

2_］

团09［设直线/1：%—y+加=0,联立卜''整理得5/

%—y+m=0,

+8mx+4m2—4=0.

则/=64加2—4X5（4加2—4）=0,解得加=±遮.

当他=一%时，直线I与直线/1之间的距离4=匕与国="u；

V1+1

当掰=遥时，直线/到直线/i之间的距离d=的普包=2«U.

所以点P到直线/的最小距离是丁宜.

此时5x2—8A/5X+16=0,解得x=竺，

将》=等代入x-y—V5=0,得y=一

则点P的坐标为,—9)1

［典例精研•核心考点］重难解惑•直击高考

考点一直线与椭圆的位置关系

22

［典例1］已知直线/：尸2x+机，椭圆C：7+5=1.试问当机取何值时，直

线/与椭圆C：

(1)有两个不同的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点.

y—2x+m,①

［解］将直线/的方程与椭圆C的方程联立，得方程组/导

H，②

将①代入②，整理得9炉+8祖x+2相2—4=0.③

方程③根的判别式/=(8机)2—4X9X(2机2—4)=(―8m2)+144.

(1)当/>0,即一3班〈机V3班时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组

有两组不同的实数解.这时直线/与椭圆C有两个不同的公共点.

(2)当/=0,即加=±3鱼时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组

相同的实数解.这时直线/与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线/与椭圆

。有且只有一个公共点.

(3)当/V0,即机V—32或M>3声时，方程③没有实数根，可知原方程组没有

实数解.这时直线/与椭圆C没有公共点.

名师点评(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程

组成的方程组解的个数.

(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有

交点.

［跟进训练］

1.(多选)已知直线/：y=x+能与椭圆C：9+9=1，则下列结论正确的是()

A.若C与/至少有一个公共点，则机W2a

B.若C与/有且仅有两个公共点，则|加|<2鱼

C.若机=3迎，则C上到/的距离为5的点只有1个

D.若机=—a,则C上到/的距离为1的点只有3个

y=x+m,

BCD［联立x2y2消去y得4/+6加x+3加2—6=0,则判别式』=12（8—

1—6I—2=1,'

m2）.

令/=12（8一机2）20,

则有|m|W2/，-2V2^m＜2V2,A错误；

令/=12（8—机2）＞0,则有|加＜2迎，B正确;

令直线/与椭圆C相切，

则/=12（8—机2）=0,

即掰=±2鱼，直线y=x+3鱼与y=x—2鱼的距离4=电乌/^=5,C正确；

如图，直线y=x一迎与y=x—2迎和y=x的距离均为1,因此，C上到/的距离

为1的点只有3个，D正确.故选BCD.

2.已知椭圆［+9=1,直线/：4x-5v+40=0,则椭圆上的点到直线/的距离

的最小值是.

今鲁［如图，设直线机平行于直线/且与椭圆相切，则机的方程为4x—5y+左

=0.

4x—5y+k=0,

由方程组,x2y2消去修得25，+8Ax+k2—225=0,由/=0,得643

—H—=1,

1259'

—4X25（左2—225）=0,解得左i=25,k2=~25.由图可知，当左=25时，直线加

与椭圆的交点到直线/的距离最近，所以dmin=嘴篝=二=］

V42+5241

【教师备选资源】

22

（2022•天津高考）已知椭圆/+==l（a>b>0）的右焦点为尸，右顶点为4上顶

点为瓦且满足黑=当

\AD\Z

（1）求椭圆的离心率e；

（2）已知直线/与椭圆有唯一公共点与了轴相交于点N（N异于〃）.记。为坐

标原点，^\OM\=\ON\,且△OW的面积为求椭圆的标准方程.

［解］（1瑞=差=*=?04屋=3（炉+屋户屋=3炉，

所以椭圆的离心率e=£=

a\aL3

（2）由（1）可知椭圆的方程为9+3/=/，由题易知直线/的斜率存在且不为0,设

直线I的方程为>=丘+机（左W0）,

V=丘+77T.

得（1+3左2）N+6左加x+（3加2—。2）=0,

（x2+3y2=a2,

由/=36k2m2—4（1+3左2）（3加2—。2）=o=>3m2=tz2（l+3A：2）,①

_3km_.।_m

XM=yM=kXM+m=^3^,

由10M=QW，可得根2=穿中，②

由可得;H•黑=遮，③

ZJ.十

联立①②③可得左2=；,加2=4,a2=6,

故椭圆的标准方程为—F—=1.

62

,考点二弦长及中点弦问题

考向1弦长问题

［典例2］已知椭圆C：彳+。=1的左、右焦点分别为八，Fi,若斜率为一1的

直线/与以线段为用为直径的圆相交于45两点，与椭圆相交于C,。两点，

且黑=学，求出直线/的方程.

［解］设直线/的方程为了=—x+机，由题意知人，/2的坐标分别为（一1,0）,（1,

0),

所以以线段尸16为直径的圆的方程为》2+产=1,由题意知圆心(0,0)到直线/

的距离d=W〈l,得H〈VI

\AB\=2V1—d2=2■y=^2xV2—m2.

,、Y+J1,,

联立]43'消去外得7/-8加x+4加2—12=0,

{y=—x+m,

由题意得/=(—8加)2—4X7X(4加2—12)=336—48加2=48(7——)>o,解得加2V7,

所以m2V2.

设。(xi,yi),D(X2,J2),

1,8m4m2—12

Wn'JXl+X2=—,X\X2=---,

2

|CD|=V2|X1-X2|=V2XJ(^)-4X^=V2XJ^^=^XV7^

=苧叫=?x&x，2一*,解得机2=；<2,得机=士日.

即存在符合条件的直线/,其方程为J=-X±y.

考向2中点弦问题

[典例3](1)已知直线》一■+1=0与椭圆C：，+管=1(5>0)交于2,8两

点，且线段48的中点为若直线0M。为坐标原点)的倾斜角为150。，则椭

圆C的离心率为()

A.-B.-C.—D.—

3333

(2)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦

的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为

(1)D(2)9+2=1[(1)设N(XI,vi),8(X2,J2),线段Z8的中点M(xo,jo).

・•.jl，AC

两式相减可得2当口25+”"〃2)=0

+把XI+X2=2XO,y\-\-y2=2yo,yi_y2

£xx

ab乙l-2

=左="，—=tan150°=—^,代入可得勺=：

3XQ33

4=当故选D.

⑵法一(直接法)：•椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),...设椭圆方程为奇十

2QL+其=1

a=13>0),由竹+4炉，消去X,

(y-3x+7,

得(10炉+4)产-14(〃+4»—9〃+13〃+196=0,

设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为(2(%_1),yi),8(x2,yi),由题

••.yi+H=：j：：：)=2,解得浜=8.

经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意.

.,.所求椭圆方程为=+1=1.

812

2

法二(点差法)：•椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),・•.设椭圆的方程为v奇十

/=90).

设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为N(xi,vi),Bg,玖),

则3忸T+底=1,①

=1,②

①一②得5-猊?+如I01一%2)(%1+%2)_

十层

即月一。2yi+y2公+4

%1+%2入2

又「弦48的中点的纵坐标为1,故横坐标为一2,

左=及二上=3代入上式得3xf\=一审，解得反=8经检验，直线与椭圆

亚一％22x(—2)b乙

有2个交点，满足题意.

故所求的椭圆方程为"7"+2=1,]

812

名师点评解答弦长问题及中点弦问题的注意点

(1)求弦长的前提是直线和椭圆相交，可利用弦长公式计算弦长；对于中点弦问

题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在用根与系数的关系时，要注

意前提条件/>0;在用“点差法”时，要检验直线与椭圆是否相交.

(2)点差法适用范围：涉及弦中点轨迹问题或弦所在直线斜率问题时，可考虑点

差法.

［跟进训练］

3.已知椭圆C：?十俨=1的左、右焦点分别为B,F2.

(2)若过尸2作直线与椭圆C相交于48两点，且两=2月Z求|4B|.

［解］(1)设过尸的直线与椭圆C交于M(xi,ji),Ng,>2)两点，则

%=1，

y?-

两式相减得分=—工

犯一%12yi+y2

由中点尸的坐标为(；，可知XI+X2=2X^=1,JI+V2=2X|=1,

所以口即直线斜率仁一：，

%2—％122

所以直线方程为y—1=—1(^x—；),即2x+4y—3=0.

⑵由题意知，过凡的直线斜率存在且不为0.

设过厂2的直线为1=叩+1(加W0),4(%3,J3),5(x4,J4),

联立方程｛、:彳，*；_0台(-+2)俨+2叩一1=0,

又BF2=^F?A,贝4j/4=-2j3,

代入方程解得m2=|,所以朋=J(1+症)J@3+、4)2-4y3y4=竽

【教师备选资源】

已知椭圆C：X=l(a>b>0)的焦距为4/，短轴长为2,直线/过点P(—2,1)

且与椭圆C交于48两点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若直线I的斜率为1,求弦48的长；

(3)若过点。(1,I)的直线/i与椭圆C交于E,G两点，且0是弦EG的中点，

求直线/1的方程.

［解］(1)依题意，椭圆C的半焦距c=2奁，而6=1,则层=〃+，=9,

所以椭圆C的方程为日+俨=1.

(2)设Z(xi,vi),8(x2,J2),

v=X+3

7'消去y并整理，得5/+27x

!%2+9/=9,.

2

+36=0,解得xi=一卷，X2=—3,因此，|^5|=V1+I,|xi—X2|=-^,

所以弦N5的长是言.

(3)显然，点0(1,乡在椭圆。内，设E(X3,g)，G(X4,y4),因为£,G在椭圆C

2929

X3+y3=

上

贝

，2929

X4+y4-

而Q是弦EG的中点，即X3+X4=2且”+必=1,则有2(X3—%4)+9。3—》4)=0,

于是得直线/i的斜率为界二里=Y，

%3-%49

直线/1的方程为y—；=—|(x—1),即4x+18y—13=0.

口考点三直线与椭圆的综合问题

［典例4］已知尸点坐标为(0,—2),点Z,8分别为椭圆E：卷+5=1(。*0)

的左、右顶点，直线AP交E于点。，△48尸是等腰直角三角形，且所=：砺.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设过点尸的动直线/与E相交于〃，N两点，当坐标原点。位于以"N为直

径的圆外时，求直线/斜率的取值范围.

［解］(1)由△ZAP是等腰直角三角形，

得a=2,8(2,0).

设。(xo,jo),贝U由丽=|丽，

得54

，

代入椭圆方程得〃=1,

所以椭圆E的方程为且+y2=l.

(2)依题意得，直线/的斜率存在，方程设为歹=日一2.

(ykx-2,

联立｛x2

b+y7=1,

消去y并整理，得(1+4左2.2—16日+12=0.(*)

因为直线/与£有两个交点，即方程(*)有不相等的两实根，

故/=(一16左＞一48(1+4沼)＞0,解得左2＞；

4

+%2=-I6：］,

设M(xi，H)，Ng,yi),由根与系数的关系得｛1广轨

口2=小,

因为坐标原点O位于以为直径的圆外，

所以。M•ON＞0,即xiX2+yiy2＞0,

又由xix2+jij2=xiX2+(Axi—2)(te—2)

=(1+k2)%1%2—2k(％1+工2)+4

=d+描•六—2人•部+4＞0，

解得k2＜4,

综上可烂＜幺＜4,贝宜(左＜2或一2(左＜一3.

422

则满足条件的斜率上的取值范围为(—2,-y)U(y,2),

名师点评1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，

列出有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运

用设而不求、整体代入的方法，如弦长公式中|xi—X2尸+%2)2-4%1%2=*

其中xi,X2是。/+及+。=0两根.

2.涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等

特殊情形.

［跟进训练］

4.已知椭圆C的两个焦点为乃(T,0),F2(L0),且经过点E3氏y).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过E的直线/与椭圆C交于a5两点(点幺位于X轴上方)，若丽=2用，

求直线/的斜率上的值.

22

［解］(1)根据题意知椭圆的焦点在X轴上，所以设椭圆C的方程为氏+£=1(4

(2a-\EF1\+\EF2\-4,fa-2,

>b>0),由［a2=/+c2,解得｛c=l,

(c=l,(b=g,

所以椭圆C的标准方程为—F—=1.

43

(2)由题意得直线/的斜率存在且不为0,直线/的方程为y=Mx+l)(左>0),

(y=k0+1),

联立AJ,

I43

整理得隹+412_%_9=0,

,144

则/=詈+144>0,

K

设N(X1,J1),8(X2,J2),

则以+片号-9k2

又4尸1=,所以芹=-2y2,

ri6k在，、？12k-6k/v>—9k，

又A+A=帝后'所以P=互市'A=帝记'代入九艺=互市'

则3+4F=8,解得人=寻，

又左>0,所以>=1.

【教师备选资源】

已知椭圆C：5+，=1伍泌>0)的离心率为左、右焦点分别为a,F2,。为坐

标原点，点尸在椭圆C上，且满足|西1=4,\PF［\\PF^\-2PF［-PK=0.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点(2,0)且不与x轴重合的直线/与椭圆C交于M,N两点，在x轴上

是否存在定点0,使得NM0O=NN°O.若存在，求出点0的坐标；若不存在，

说明理由.

［解］(1)由cosNEPB=用j羲।忖知/FiPFz=60。,

在△外叩2中，叱2|=2a—4,1=|,由余弦定理得4c2=16+(2。-4)2—4(2°—4),

22

解得。=4,c=2,Z?2=12,所以椭圆C的标准方程为％+9=1.

⑵假设存在点0(掰，0)满足条件，设直线/方程为％=川+2,

(x=ty+2,

设M(»，VD，Ng,yi),由122

——F—=1,

11612，

消去X有(3於+4)产+1207-36=0,

匕心、)1—12t—36

所以"+"=诉，NU2=E，

kMQ+kNQ=~^--1--^―

x1—mX2—m

―2切1丫2+(2-m)(yi+y2)

(tyi+2—TH)(ty2+2—m)

—72t12(2-TH)］

―3t2+43m+4

(ty1+2-m)(£y2+2-m)9

因为ZMQO=ZNQO,所以kMQ+kNQ=0,

即一72/—12(2—机»=0,

解得m=8,

所以存在0(8,0),使得NM0O=NN0O.

微点突破6圆锥曲线“非对称”根与系

数的关系问题的多角度思考

对于某些圆锥曲线大题，在联立直线与圆锥曲线的方程时，常常会涉及一元

二次方程，它的两个根XI,X2满足根与系数的关系.一般来说，在应用题设条件

解决问题时，常常能凑出X1+X2和X1X2,但有些时候无法直接凑出这两个式子，

进而无法直接代入根与系数的关系，这就是所谓的“非对称”的根与系数的关系

问题.

下面通过对一道圆锥曲线“非对称”结构问题的多角度切入求解，给出其适

当的拓展与变式，以探究圆锥曲线非对称结构问题的一般性解决方法.

［典例］已知椭圆E：/+/=1(。>6>0)的左、右焦点分别为E,尸2,尸(―1,|)

为£上一点，且产人与x轴垂直.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设过点用的直线/与E交于48两点，已知点M(0，1)，且△MZB的面积

为△"3F2面积的2倍，求直线/的方程.

熊十方二1，

[赏析]（1）因为尸（一1,|）为E上一点，且尸B与x轴垂直，所以"=1,

12=房+。2,

32=4,22

解得1按=3,所以椭圆E的方程为：+==1.

I43

U2=1,

（2）易得直线/与x轴不重合，设直线/的方程为x="+1,点4（xi,y\）,B（X2,

/）・

X—tvI]A

?J得（3於+4）产+6小-9=0,故p+.V2=—J1J2=—

（3/+4y=12,3t+4

9

3t2+4,

由/2的面积是面积的2倍，可得正=2印，所以H=-2/，即

刃+272=0.

名师点评代数式p=—2”为非对称结构，需要通过适当的处理使之变为对称结

构，下面就以此为例，给出此类6=制2（或Xl=忒2）问题的几种处理方法，并对其

进行拓展.

拓展1倒数求和法

此拓展是对形如H=四2（或X1=1X2）的关系式，利用包+这=>1+"2）_?/电将问题转

%2%]xlx2

化为对称结构.

解法1接典例解答，由/=—28，得”=一2,故虫+吆=01包上2=—5

y2y2yiyi722

结合根与系数的关系，化简可得5r=4,即.故直线/的方程为尸±务一1）.

拓展2配凑法

由川+四2=0配凑，得丸什1+»）=（丸—1加，yi+y2=（l—两式相乘，可得丸

+/>=—（2—l）2y\y2,从而将问题转化为对称结构.

解法2接典例解答，由.vi=—2"，得外+2/=0,于是『（乃十力）=%，两

lyi+力--力，

式相乘可得2什1+问2=—92,结合根与系数的关系，化简可得5於=4,即祥=今

故直线/的方程为了=卓（》一1）.

拓展3方程组法

该拓展的实质是借助方程思想，由非对称式结合根与系数的关系，列方程组解答.

解法3接典例解答，联立"+2竺=0与以+”=一岛，解得刃=一品，产

=岛•再结合皿2=—高，得总产品，解得正.故直线/的方程为产

4(x-1).

［跟进训练］

已知椭圆C：/2+左2=1(440)的上顶点到右顶点的距离为近，离心率为1去过

椭圆的左焦点尸作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于N两点，直线机的

方程为x=-2a,过点〃作"E垂直于直线机交直线机于点E.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)①求证：线段EN必过定点P,并求定点尸的坐标；

②点。为坐标原点，求△OEN面积的最大值.

Va2+b2=V7,

a2=b2+c2,所以a=2,b=W.

{a2'

22

故椭圆。的标准方程为—F—=1.

43

(2)①由题意知,F(-l,0),

设直线AGV方程：x=my—l,M(x\,yi),Ng,玖)，E(—4,yi),

x=my—1,

由方程组/2

匕+匕v=1,

v43

得(3加2+4)产—6my—9=0,

所以刈+竺=标,刃"=忌,

所以一2my\yi=3(yi+yi).

又旌所以直线£N的方程为y—yi=±3(x+4),

冷+4第2+4

令y=0,则x=_4_21^+4)=—4——1=-4-1^2=—4+。=

yz-yi72-yiy2-yi22

所以直线EN过定点尸(一日，0),

②由①中知/=144(切2+1)>0,所以机©R,

又历一力=J（yi+力）2—4yly2=彳£：,

2

所以SoEN='7：\OP\\y\~yi\=|12-\/^2+1_15A/^+1_15-\/^2+l

A，437n2+4-3m2+4-3（m2+l）+l,

令t=7m^+1,看＞1,则/«)=豕T，

11Oy-2_-1

令g(/)=3/+7,g'(/)=3—m=T，当时，g")NO,

故g(/)=3/+g在［1,+8)上单调递增，

则/⑺=盘在［1，+8)上单调递减，

即•在［1,+8)上单调递减，所以f=l时，(5O£W)max=V.

九+13tH—4A

点拨：换元功能：降次、去根号，把分子或分母变简单.

课时分层作业(五十五)直线与椭圆(一)

一、单项选择题

22

1.(2024•广东深圳中学期中)椭圆2+^=1与直线y=Mx—1)的位置关系是

oZ

()

A.相离B.相交

C.相切D.无法确定

B［直线过定点M(l,0)且该定点在椭圆=+==1内，故直线与椭圆相交.故

选B.］

2.(2024•内蒙古赤峰模拟)在椭圆?+?=1上求一点使点/到直线x+2y

—10=0的距离最大，点〃的坐标为()

A.(-3,0)B.(一/-1)

C.(—2,一手)D.(-2,0)

B［如图所示：

根据题意可知，当点/在第三象限且椭圆在点〃处的切线与直线x+2y—10=0

平行时，

点〃到直线x+2y—10=0的距离取得最大值，可设切线方程为x+2y+m=Q(m

x+2y+m=0,

>0),联立

4x2+9y2=36,

消去x整理可得25炉+16叩+4加2—36=0,

A=162m2—100(4m2—36)=0,因为m>0,解得加=5,

所以椭圆£+9=1在点/处的切线方程为x+2.v+5=0,

因此，点/到直线x+2y—10=0的距离的最大值为搭|^=3班,

(%+2y+5=0,

联立3

4'

可得点〃的坐标为,—I),故选B.]

22

3.(2024•贵州模拟)已知椭圆E：»+%=l(a>b>0)的右焦点为尸(4,0),过点

尸且斜率为1的直线交椭圆于Z,5两点.若48的中点坐标为(3,-1),则E

的方程为()

D［设N(X1,J1),8(X2,J2),则XI+X2=6,yi+j2=-2,

由已知有,技+技=1,/+1=1，

则次一修一(yi-y2)(yi+y2)__i_

'Xj—%2(%1-%2)(%1+%2)3次’

所以。2=3炉，又C=4,a2=b2+c2=3b2,解得尼=8,*=24,

则E的方程为---1■匕=1.

248

故选D.]

=1

4.椭圆C：4Y+3T的左、右顶点分别为小，也，点尸在C上且直线E41的斜

率的取值范围是[-2,-1],那么直线刃2斜率的取值范围是()

C[”D.

A[由题意，椭圆C:9+[=l的左、右顶点分别为Zi(—2,0),也(2,0),设

尸的，yo),则正=[(4一焉)，

又由如「32=髭•鼠=碧=，可得吹=后因为—引一2,-1],

人人u，人0丁—IV产A2

3

即一20公忘一1,可得衿/Cp^W，所以直线弘2斜率的取值范围是H，.故

选A.]

5.(2023•新高考H卷)已知椭圆C：?十俨=1的左、右焦点分别为乃，F2,直

线＞=》+机与。交于N,8两点，若△为48面积是面积的2倍，则机=

()

y=x+m,

C[将直线方程y=x+加与椭圆方程联立%2消去y可得47+6加工+

匕+y?=1，

3m2—3=0,

因为直线与椭圆相交于Z,B点、,则/=36m2-4X4(3根2—3)＞0,解得一2＜相＜

2,

设Fi到Z8的距离为d\,F2到AB距离为di,易知Fi(-V2,0),F2m,0),

则力=/型，办=整，

|—V2+m|

§"通8_丘_卜&+利_2

SAF2AB~阳利一|V2+m|一，

解得掰=一仔或一3鱼(舍去).故选C.]

22

6.(2023•山东淄博一模)直线x—2y+2=0经过椭圆器+S=l(4b>0)的左焦

点、F,交椭圆于2,8两点，交y轴于/点，若前=3病，则该椭圆的离心率

为()

,V17+V5「V17-V5

A.-------B.--------

84

„AY„旧+打

'2'9

[对直线x—2y+2=0,令y=0,解得x=—2,令x=0,解得y=l,

故内一2,0),M(0，1)，则前=(2,1),设/(xo,yo),则a=(一配，1一次)，

而前=3前，

则[2=3(-3,

11=3(1-y0)-

「0=一|，

解得彳2

[%=石，

则/(-|,0，

又点幺在椭圆上，左焦点网一2,0),右焦点尸(2,0),

由2kM+盟尸J(—(+2)2+++Jif)2+(|)2=一,

则。=国弁,椭圆的离心率e=£=宏篇=巨字隹.故选C.]

3aVb+vi/2

-3-

7.(2024•河南商丘模拟)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、

外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构.某校体育馆的钢结

构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200m,且

内、外椭圆的离心率均为字，由外层椭圆长轴的一个端点Z向内层椭圆引切线

AC,若ZC的斜率为一%则内层椭圆的短轴长为()

B［内、外椭圆的离心率均为产，设内层椭圆的短半轴长为b,e=(=

G2绢2

=—,所以4=25,则内层椭圆方程r为^+记=1,

由外层椭圆长轴的一个端点2向内层椭圆引切线ZC,NC的方程为.v=一|(x+

100),

代入内层椭圆方程可得：x2+100x+5000—2〃=0,

可得/=10000—4义(5000—2=2)=0,解得〃=i250.

所以6=25应.即内层椭圆的短轴长26=50&m.故选B.］

8.已知过椭圆C：/+三=1的上焦点尸且斜率为左的直线/交椭圆。于/,B

两点，。为坐标原点，直线CM,分别与直线>=2相交于M,N两点.若/MON

为锐角，则直线/的斜率上的取值范围是()

A.(—8,-1)U(1,+8)

B(皆，孝)

C(-8,一苧)U停，+8)

D.(-8,—1)U(一今今U(l,+8)

2

D［由题意可知，(？=2,Z)=l,所以02=屋一加=1,

所以椭圆C：X2+y=l的上焦点为F(0,1),

则直线/的方程为>=丘+1,设/(»,yi),5(x2,J2),

(y—kx+1,

联立,v2消去N，得(2+/)/+2日一1=0,

(%2十三=1,

所以X1+X2=EQ,

N十/C

由题设知，所在的直线方程为了=%.

因为直线。4与直线y=2相交于点M,

2）；

同理可得N（答，2）.

所以。而=（令,2，2.

因为NMON为锐角，

所以丽•ON>0,

所以南•而=2+4=；4竽+4

力丫2（依1+1）（依2+1）

___________例冷_________+4

N%i%2+k（%l+%2）+l

4X二

=_________2+k^_______\A

.2-1,,-2k,,丁r，

k、和+豚和+1

2I44k2—2

一目+4-

即丹>°，解得左2Vm或左2>1,

所以一苧〈左V/,或左>1,或后V—1.

故直线/的斜率上的取值范围是（一8,-l）U（-y,y）u（l,+8）.故选D.]

二、多项选择题

22

9.（2024•湖南雅礼中学模拟）已知椭圆£：3+£=l（a>b>0）的右焦点为网3,

0）,过点尸的直线交椭圆£于48两点.若48的中点坐标为（1,-1）,则（）

A.直线48的方程为y=1（x—3）

B.层=2/72

C.椭圆的标准方程为.+[=1

D.椭圆的离心率为当

ABD[因为直线43过点厂（3,0）和点（1,-1）,所以直线45的方程为y=g（x

—3）,代入椭圆方程a+保=1,消去乃得（亍+川）2—，层工+^屋一。2左=0,

22

所以48中点的横坐标为一~~-=1,即/=2比

2但+例

又序=抉+，，所以b=c=3,a=3五,离心率为

所以椭圆E的方程为五+^~=1.故选ABD.］

10.（2023•苏锡常镇二模）在平面直角坐标系Oxy中，已知直线/：kx-y-k=0,

椭圆C：管+*1（46>0）,则下列说法正确的有（）

A./恒过点（1,0）

B.若/恒过C的焦点，则次+炉=1

C.若对任意实数左，/与C总有两个互异公共点，则。

D.若则一定存在实数左，使得/与C有且只有一个公共点

ACD［方程依一y一左=0可化为了=的;-1）,

所以直线/恒过点（1,0）,A正确；

设椭圆的半焦距为c（c>0）,则焦点P的坐标可能为（c,0）或（一c,0）,

若直线恒过点（一0,0）,则0=网-c—l）,

故c=-1,矛盾，

若直线恒过点（c,0）,贝I0=左（c—l）,故c=l,所以屋一加=1,B错误；

_2__=1

次力2'消y可得，（层左2+反）/—2a2k2x+a2k2~a2b2=0,

1y=kx—k,

由对任意实数左，/与。总有两个互异公共点，

可得方程（6?左2+炉）%2-2层上2%+〃2公一/左二。有2个不相等的实数解,

所以/=（—2a2左2）2-4（次左2_|_抉）（〃2左2-。2按）>0,

所以k\a2~l）+Z?2>0,

所以〃21,C正确；

因为/=（一2层左2）2-4（〃2左2_|_62）（〃2左2-层尻）=4a262［左2（42-］）+炉］,

所以a<\时，则严=7^,即k=±/上7时,

1—\1—az

可得/=0,此时方程组有且只有一组解，

故/与C有且只有一个公共点，D正确.

%

故选ACD.］

三、填空题

11.过椭圆C：1+4=1的左焦点E作倾斜角为60。的直线/与椭圆C交于4

43

J5两占八“人贝［」］二网—丁|出—川—=----------------.

4

3［