2024年中考数学二次函数压轴题：相似三角形存在性问题（学生版+解析）

专题08相似三角形存在性问题

一、知识导航

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”.

【相似判定】

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3:有两组角对应相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐标系中相似三甭形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决

问题.

【题型分析】

通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点''类、"双动点”

两类问题.

【思路总结】

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可

以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角.

然后再找：

思路1:两相等角的两边对应成比例；

思路2:还存在另一组角相等.

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

搞定这两个问题就可以了.

二、典例精析

例一、如图，抛物线y=ox2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点8(3,0),与y轴交于点C,且过点。(2,

-3).点。是抛物线y=G?+bx+c上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,直线。。与线段相交于点E,当与aABC相似时，求点。的坐标.

【分析】

（1）抛物线：y=f-2元-3;

（2）思路：考虑到△ABC和△80E有一组公共角，公共角必是对应角.

/ABC的两边BA、BC与々OBE的两边BO、8E成比例即可，故可得:

_B_E—_B_A_B_E—_B_C

BOBCBOBA'

解得：BE=2®或BE=20

4

39

故E点坐标为（1,-2）或

4，-4

当E点坐标为（1,-2）时，直线0E解析式为y=-2x,

2

联立方程：-2x=x-2x-3,解得：x、=g,x2=-A/3,

此时Q点坐标为（6,-2吟或（-6,2⑻;

39

当E点坐标为时，直线OE解析式为、=-3无，

4，-4

_i+./TT-I-A/13

联立方程：一3尤=f-2x—3,解得：x,="

、

此时。点坐标为或

/

综上所述，Q点坐标为(四,-2后)或卜否,2石)或或

说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果.

例二、如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x-l与抛物线y=-%2+bx+c交于A、B两点、,其中A(m,0)、

B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与％轴交于另一点O.

(1)求加、〃的值及该抛物线的解析式；

(2)如图2,连接3D、CD,在线段CO上是否存在点Q,使得以A、D、。为顶点的三角形与△A3。相似,

若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)m=l,n=3,

抛物线解析式为y=-x2+6x-5;

(2)思路：平行得相等角，构造两边成比例

由题意得。(5,0),故直线解析式为：y=x-5,

：.CDIIAB,

：.£CDA=ABAD,

考虑到点。在线段CD上，

.DAAB,,DAAD

,DQADDQAB'

8拒L

解得：DQ=弋或DQ=3亚,

故Q点坐标为［，-1］或(2,-3).

三、中考真题演练

1.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与探究

如图，抛物线y=-/+bx+c上的点A,C坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与x轴负半轴交于点8,点M

（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；

⑶点。是线段3c（包含点2,。上的动点，过点。作x轴的垂线，交抛物线于点。，交直线CM于点N,

若以点。，N,C为顶点的三角形与VCO般相似，请直接写出点。的坐标；

2.(2023・湖北武汉•中考真题)抛物线G：y=/-2X-8交X轴于两点(A在8的左边)，交，轴于点C.

(1)

⑴直接写出4民c三点的坐标;

⑵如图(1),作直线x=(0<t<4),分别交x轴，线段5C,抛物线G于D，E，尸三点，连接CF.若BDE

与△CEF相似，求f的值;

3.(2023・湖北随州•中考真题)如图1,平面直角坐标系中，抛物线V-底+法+。过点4T0),8(2,0)

和C(0,2),连接BC,点PS?,")(机>0)为抛物线上一动点,过点P作PN，x轴交直线BC于点M,交x轴

于点N.

(图1)(图2)

⑴亶填与小抛物线和直线BC的解析式;

(3)当p点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q,使得以O,P,Q为顶点的三角形与以8,C,N为顶

点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点。的坐标；若不存在，请说明理由.

6.（2022・辽宁•中考真题）抛物线y=aN-2x+c经过点4（3,0）,点C（0,-3）,直线y=-x+6经过点A,

交抛物线于点E.抛物线的对称轴交AE于点8,交x轴于点。，交直线AC于点F.

图①图②

（1）求抛物线的解析式；

（3）如图②，连接CD点。为平面内直线AE下方的点，以点。，A,E为顶点的三角形与AC。尸相似时（AE

与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标.

7.（2022•广西桂林・中考真题）如图，抛物线y=-N+3尤+4与x轴交于A,8两点（点A位于点B的左侧），

与y轴交于C点，抛物线的对称轴/与龙轴交于点N,长为1的线段PQ（点尸位于点。的上方）在x轴上

方的抛物线对称轴上运动.

⑴直接写出A,B,C三点的坐标；

⑶过点尸作轴于点当口CRW和Q8N相似时，求点。的坐标.

8.(2022・广西玉林・中考真题)如图，已知抛物线：＞=-2炉+乐+，与x轴交于点A,8(2,0)(A在8的左

备用图

(1)求抛物线的解析式；

⑶过点尸作x轴的垂线与线段8C交于点垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与相似，

求点尸的坐标.

9.(2022.湖南衡阳•中考真题)如图，已知抛物线y=--x-2交无轴于A、8两点，将该抛物线位于x轴下

方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象w”，图象w交y轴于点c.

(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；

⑶户为X轴正半轴上一动点，过点P作PM//y轴交直线BC于点〃，交图象W于点N,是否存在这样的点

尸，使qCW与△O3C相似？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

专题08相似三角形存在性问题

一、知识导航

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”.

【相似判定】

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2:两边对应成比例且夹甭相等的两个三甭形是相似三角形；

判定3:有两组角对应相等的三角形是相似三甭形.

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决

问题.

【题型分析】

通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点''类、"双动点”

两类问题.

【思路总结】

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可

以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三甭形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角.

然后再找：

思路1:两相等角的两边对应成比例；

思路2:还存在另一组角相等.

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

搞定这两个问题就可以了.

二、典例精析

例一、如图，抛物线＞二〃二2+法+。与X轴交于点A(J,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点。(2,

-3).点。是抛物线y=〃%2+bx+c上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,直线。。与线段BC相交于点E,当△OBE与AABC相似时，求点。的坐标.

【分析】

(1)抛物线:y=x2-2x-3;

(2)思路：考虑到△ABC和△BOE有一组公共角，公共角必是对应角.

NABC的两边BA、BC与NOBE的两近BO、8E成比例即可，故可得:

_B_E_=_B_A_.._B_E_—_B_C_

BCTBC-BO~BA'

解得：BE=2~Ji或BE=

故E点坐标为(1,-2)或(

当E点坐标为(1,-2)时,直线0E解析式为y=-2x,

联立方程：一2%=%2-2)二一3,解得：Z=一百，

此时Q点坐标为(指,-2师或・区26);

当E点坐标为H-匕直线OE解析式为、=-3尤，

联立方程：-3%=/一2白3,解付•%—2,%2-2，

此时Q点坐标为］'J133-3屈)」-1-屈3+3如)

一

。2

1

综上所述，Q点坐标为(四,-2后)或卜否,2石)或或

说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果.

例二、如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x-l与抛物线y=-%2+bx+c交于A、B两点、,其中A(m,0)、

B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与％轴交于另一点O.

(1)求加、〃的值及该抛物线的解析式；

(2)如图2,连接3D、CD,在线段CO上是否存在点Q,使得以A、D、。为顶点的三角形与△A3。相似,

若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)m=l,n=3,

抛物线解析式为y=-x2+6x-5;

(2)思路：平行得相等角，构造两边成比例

由题意得。(5,0),故直线解析式为：y=x-5,

：.CDIIAB,

：.£CDA=ABAD,

考虑到点。在线段CD上，

.DAAB,,DAAD

,DQADDQAB'

8拒L

解得：DQ=弋或DQ=3亚,

故Q点坐标为［，-1］或(2,-3).

三、中考真题演练

1.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与探究

如图，抛物线y=-/+bx+c上的点A,C坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与x轴负半轴交于点8,点M

（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；

⑶点。是线段3c（包含点2,。上的动点，过点。作x轴的垂线，交抛物线于点。，交直线CM于点N,

若以点。，N,C为顶点的三角形与VCO般相似，请直接写出点。的坐标；

【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且。"=2可得点M的坐标为“（0,-2）,利用待定系数法可得抛物线

的解析式为丁=*+守+2；

（3）由NCOM=90。可知，要使点。，N,C为顶点的三角形与VCOM相似，则以点。，N,C为顶点的三

角形也是直角三角形，从而分/CQN=90。和NQCN=90。两种情况讨论，①当/CQN=90。，可推导B与

点。重合，ACQNsAcOM,即此时符合题意，利用求抛物线与无轴交点的方法可求出点。的坐标；②当

ZQCN=90°时，可推导AOCNSACOM,即此时符合题意，再证明△QDCsMOM,从而得到QD=2DC,

再设点Q的横坐标为q,贝1]。,-/+口+2)。(%0),从而得到一q2+：g+2=2(3F),解得q的值,

从而得到点。的坐标，最后综合①②即可；

【详解】(1)解：：点M在y轴负半轴且加=2,

AAf(O,-2)

将4(0,2),C(4,0)代入yh-d+fec+c,得

Jc=2

[-16+4。+。=0

\b=l

解得2

c=2

7

，抛物线的解析式为y=-x2+-x+2

(3)。福,5),0d0),

补充求解过程如下：

:在VCOM中，ZCOM=90°,以点。，N,C为顶点的三角形与VCOM相似,

以点。，N,C为顶点的三角形也是直角三角形，

又：QOJLx轴，直线QO交直线CM于点N,

/.ZCNQw90。，即点N不与点。是对应点.

故分为ZCQN=90°和ZQCN=90°两种情况讨论：

①当/CQV=90。时，由于QNLx轴，

.•.CQ_Ly轴，即CQ在x轴上，

又：点。在抛物线上，

此时点B与点。重合，

作出图形如下：

此时ZCQN=ZCOM=90°,

又：ZQCN=ZOCM

:•△CQNsAcOM,即此时符合题意，

7

令y=-12+耳％+2=0,

解得：项=一/,%2=3（舍去）

，点。的坐标，也即点8的坐标是。，g。

②当/QCN=90。时，作图如下：

：QO_L尤轴，ZCOM=90°

QD//OM,

：.ZCNQ=ZOMC,

ZCNQ=ZOMC,ZQCN=ZCOM=90°

：.^QCN^COM,即此时符合题意，

△QCN&COM,

ZCQN=ZOCM,即ZDQC=NOCM

•：ZDQC=ZOCM,ZQDC=ZCOM,

丛QDCs^COM

嘿嘴3=2,QD=2DC

设点Q的横坐标为4,则。%,"2+m+2}

D（d。）,

7

：.QD=-q92+-q+2,CD=3-q

_q?+—^+2=2（3-q）,

3

解得：%=万必=3（舍去）,

97

—Q+—^+2=5,

•••点。的坐标是。2(I，5)

综上所述：点。的坐标是。(-g,o),e2f|,5

2.(2023・湖北武汉・中考真题)抛物线^:>=X2-2苫-8交左轴于4,8两点(A在8的左边)，交V轴于点C.

(1)

⑴直接写出A,B,C三点的坐标;

⑵如图(1),作直线x=r(O<r<4),分别交X轴，线段3C,抛物线G于〃及尸三点，连接CV.若BDE

与△诏相似，求f的值;

【分析】(1)令y=0,解一元二次方程求出X值可得A、B两点的坐标，令x=0求出y值可得c点坐标,

即可得答案;

(2)分ABERsdCEFi和ABE23s2X8当C两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出/值即可

得答案;

【详解】(1):抛物线解析式为y=/-2x-8,

.,.当y=o时，f-2r-8=0,

解得：无1=-2,无2=4,

当元=0时，y=-8,

A(-2,0),8(4,0),C(0,-8).

(2)解：.尸是直线x=/与抛物线C1的交点,

/.尸，,，2—2/-8),

①如图，若△B&'sACEiK时,

/BCR=ZCBO,

：.CFXOB

C(0,-8),

t2—2t—8=—8，

解得，，=。(舍去)或，=2.

②如图，若AB&D2s△B&C时.过尸2作g轴于点T.

ZBCF2=ZBD2E2=ZBOC=90°,

・•・ZOCB+ZOBC=ZOCB+ZTCF2=90°,

.・・ZTCF2=ZOBC,

O

ZCTF2=ZBOC=90,

:.ABCOs^CF江,

.F2TCT

'%~cd~~BO

B(4,0),C(0,-8),

AOB=4,OC=8,

FJ=t,CT=-^-(t2-2t-^=2t-t2,

,t2t—t?

••——,

84

3

解得，=。（舍去）或吃.

3.(2023・湖北随州•中考真题)如图1,平面直角坐标系中，抛物线y=底+bx+c过点A(-l,0),仇2,0)

和以0,2),连接3C,点(机＞0)为抛物线上一动点，过点尸作尸轴交直线BC于点交x轴

(1谆谈写中抛物线和直线BC的解析式；

(3)当P点在运动过程中，在V轴上是否存在点Q,使得以。，P,。为顶点的三角形与以8,C,N为顶

点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，享毯号地点P和点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由题得抛物线的解析式为＞="(无+D(x-2),将点C(0,2)代入求。，进而得抛物线的解析式；设

直线3C的解析式为＞=&+乙将点8,C的坐标代入求心心进而得直线8C的解析式.

(3)对点尸在点5左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解小，

进而可得尸，Q的坐标.

【详解】(1)解：抛物线过点A(T,。)，3(2,0),

抛物线的表达式为y="(x+l)(x-2),

将点C(0,2)代入上式，得2=-2a,

a=-1.

抛物线的表达式为y=-(x+l)(x-2),即y=_/+尤+2.

设直线BC的表达式为y^kx+t,

将点8(2,0),以0,2)代入上式，

解得「2-

•••直线3c的表达式为y=-X+2.

(3)解：点P与点C相对应，

:..POQs_CBN或_POQs_CNB.

①若点尸在点8左侧，

贝lJ/CBN=45。，BN=2-m,CB=2丘.

当4尸OQsCBN,即ZPOQ=45。时，

直线0P的表达式为y=x,

—m2+m+2=m>解得，"=点或机=—(舍去).

OP2=(V2)2+(A/2)2=4,即OP=2.

.OPOQ2_OQ

"BCBN，2>/22-72)

解得00=6-1.

，尸(仓友)，2(0,72-1).

当.POQsCNB,即NPQO=45°时，

PQ=,OQ=-m2+m+2+m=-nr+2m+2,

,PQOQ-nv+2m+2

.♦—,EJJ="—,

CBNB2A/22-m

解得“7=1+石(舍去)或〃2=1-百(舍去).

②若点尸在点8右侧，

则/CBN=135。，BN=m-2.

当APOQSCBN,即NPOQ=135。时,

直线OP的表达式为丁=一%,

•*--m2+m+2=—m,解得机=1+百或m二1一6(舍去),

•.OP=\flm=V2+\/6,

.OP_OQ0nV2+V6_OQ

一而一肃川FF-万T

解得。。=1.

•.P(1+V3,-1—^3),2(0,1).

当LPOQSCNB,即NPQO=135。时，

PQ=\[lm,OQ—^-m2+m+2+m|=m2—2m—2.

.PQOQy/2mm2-2m-2

,,一,Rn|J,

CBNB2V2m-2

解得〃Z=1+指或〃7=1-百(舍去).

二尸(1+6,-3-6，2(0,-2).

综上，尸(虚,忘)，。(0,五-1)或尸(1+后-1-0)，。(0,1)或尸(1+",-3-6)，2(0,-2).

【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面

直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

4.(2022・四川绵阳•中考真题)如图，抛物线>=0+法+。交x轴于A(-l,0),B两点，交y轴于点C(0,

3),顶点。的横坐标为1.

(1)求抛物线的解析式;

(3)过点C作直线/与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E,连接AD,AE,DE,在直线/下方的抛物线上

是否存在一点过点M作垂足为E使以M,F,E三点为顶点的三角形与/4DE相似？若存在,

请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-x2+2x+3；

(3)存在点使以M,F,E三点为顶点的三角形与zUDE相似，此时点M的坐标为(3,0)或(-3,-12)

120

或"一3'豆

【分析】(1)由抛物线的对称轴可得点8的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的

解析式；

(3)由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点。的坐标，根据两点间的距离公式可得出A。，DE,AE的

长，可得出△AOE是直角三角形，且。E：AE=1：3,再根据相似三角形的性质可得出跖和的比例，

由此可得出点M的坐标.

【详解】(1)解：：顶点。的横坐标为1,

，抛物线的对称轴为直线x=l,

VA(-1,0),

：.B(3,0),

设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-3),

把C(0,3)代入抛物线的解析式得：

-3a=3,解得。=-1,

抛物线的解析式为:y=-(x+D(x-3)=-x2+2x+3；

(3)解：存在，理由如下：

\"y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

：.D(1,4),

由抛物线的对称性得：E(2,3),

VA(-1,0),

AD=2BDE=y[2,AE=3A/2,

AD2=DE2+AE2,

...△ADE是直角三角形，且NAED=90。，DE：AE=1：3,

•.•点M在直线/下方的抛物线上，

设M9-产+2f+3）,则r>2或f<0,

\'MF±l,

:.点尸（t,3）,

EF=\t-1\,MF=3—（—/+27+3）=/一2r,

:以M,F,E三点为顶点的三角形与//DE相似，

二EF:MF=DE:AE=1:3或MF:EF=DE:AE=1:3,

；.|f-21：（产-2t）=1:3或（r-2r）t-21=1:3,

解得f=2（舍去）或z=3或-3或/=g（舍去）或t=-g,

二点M的坐标为（3,0）或（-3,-12）或［-；名，

综上所述，存在点M,使以〃，RE三点为顶点的三角形与/4DE相似，此时点M的坐标为（3,0）或（-3,

-⑵或［一多.

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形

的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出AADE是直角三角

形并得出AD:AE的值是解题关键.

5.（2022・湖南・中考真题）如图，已知抛物线>=办2+法+3（。工0）的图像与天轴交于41,0）,B（4,0）两点，

与，轴交于点C,点。为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的函数表达式及点。的坐标；

(2)若四边形3CEF为矩形，CE=3.点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每

秒2个单位的速度从点E沿环向点尸运动，一点到达终点，另一点随之停止.当以/、E、N为顶点的

三角形与ABOC相似时，求运动时间r的值；

【答案】(i)y=J3%2—1?5兀+3；顶点为。(5j—?27)

44216

9…6

(2“=打或/=《

【分析】(1)设二次函数表达式为：y=ax2+bx+3,将A(1,O)、3(4,0)代入>=加+法+3,进行计算即可

315

得>=：炉-7尤+3,根据二次函数的性质即可得；

(2)依题意，f秒后点M的运动距离为CM=/,则ME=3T,点N的运动距离为£7V=2f,分情况讨论:

①当AEWsAOBC时，②当AEMNsAOCB时,进行解答即可得；

【详解】(1)解:设二次函数表达式为：y=ajc+bx+3,

将A(l,0)、B(4,0)代入y=加+6x+3得：

Ja+Z?+3—0

[16。+4。+3=0'

.3

ci=——

解得，:4，

b=—

4

，抛物线的函数表达式为：y=3三15%+3,

44

15

4欧-廿=473（一/=_27

4a4x316

44

・•・顶点为。弓5227)；

216

(2)解：依题意，/秒后点"的运动距离为贝IJME=3-，，点N的运动距离为RV=2"

①当AEM/VSAOBC时，

.3—/2t

,•=，

43

9

解得;

②当\EMN^\OCB时,

.3—12t

••=,

34

解得

96

综上得，当七五或公二时，以M、E、N为顶点的三角形与ABOC相似；

6.(2022・辽宁・中考真题)抛物线>="2-2x+c经过点A(3,0),点C(0,-3),直线y=-x+6经过点A,

交抛物线于点E.抛物线的对称轴交AE于点8,交x轴于点。，交直线AC于点?

图①图②

(1)求抛物线的解析式；

(3)如图②，连接C。，点Q为平面内直线AE下方的点，以点。，A,E为顶点的三角形与△。尸相似时(AE

与CD不是对应边)，请直接写出符合条件的点。的坐标.

【答案】(l)y=N-2x-3

(3)。点坐标为(-7,5)或(-12,5)或(3,-10)或(3,-5)

【分析】(1)用待定系数法即可求出二次函数的解析式;

(2)先分别求出直线AE、AC的解析式，进而求出点8(1,2),D(1,0),F(1,-2),过点P作x轴

垂线交AC于点交x轴于点N,设P(m,机2-2加-3),则加-3),由面积关系求出P点的横

坐标;

CDDFCF,CDDFCF

(3)分类讨论①当时,AQAE~EQ；②当△CDFS/XAQE时，—次从石；

CDDFCFCDDFCF

当△CDFSAEQA时,④当时,分别求出点0的坐

EQAQAE'EQAEAQ'

标.

【详解】(1)解：将A(3,0),点C(0,-3)代入y=ox2-2x+c,

9a—6+c=0

c——3

a=l

解得

c=-3'

.\y=x2-2x-3；

(3)VC(0,-3),D(1,0),F(1,-2),

:.CD=M,CF=0,DF=2,

■:E(-2,5),A(3,0),

:.AE=5框,

设。(彳，》)，

〜CDDFCF

①当△COFSAQAE时，—

.5/102_72

••汨—5点一诙’

：.AQ=545,EQ=5,

.f(x-3)2+y2=125

•1(尤+2)2+(1)2=25

x=-7x=-2

解得…或（舍）,

y=10

：.Q(-7,5)；

CDDFCF

②当时,

,V10_J__5/2

"AQEQ50’

；.A0=5亚，QE^10,

f(x+2)2+(y-5)2=100

1(x-3)2+y2=250

x=-2x=-n

解得（舍）或

y=15.y=5

：.Q(-12,5)；

CDDFCF

③当时,

EQ~AQ~AE

.>/io2_V2

••瓦―AQ—电，

：.EQ=5M,AQ=10,

f(x-3)2+y2=100

[(尤+2/+(y-5)2=250

x=3x=13

解得y=」。或（舍）,

y=0

：.Q(3,-10)；

CDDFCF

④当△CQFS\QEA时,

Z城一次一而'

・y/w—2—五

•,EQ—5近而‘

.,.EQ—5^/5,AQ=5,

J(x+2)2+(y-5)2=125

I(x-3)2+y2=25

x=3x=8

解得I或（舍）,

y=0

：.Q(3,-5)；

综上所述：。点坐标为（-7,5）或（-12,5）或（3,-10）或（3,-5）.

【点睛】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形

面积，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键.

7.（2022•广西桂林•中考真题）如图，抛物线y=-N+3尤+4与x轴交于A,8两点（点A位于点8的左侧）,

与y轴交于C点，抛物线的对称轴/与x轴交于点N,长为1的线段PQ（点尸位于点。的上方）在x轴上

方的抛物线对称轴上运动.

⑴直接写出A,B,C三点的坐标；

⑶过点尸作轴于点当.和Q8N相似时，求点。的坐标.

【答案】⑴4-1,0）,2（4,0）,C（0,4）

⑶弓，争或弓，g，/

【分析】(1)由》=-N+3x+4可得A(-1,0),B(4,0),C(0,4)；

..3333

（3）由在y=-x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x=-,设。（万，/）,则。（］，，+1）,M（0,t+1）,

3

N0),知BN=£,QN=t,CN=|L3|,①当黑■=?时，区'=］，可解得

222BNt2

2

W=；,得Q(；，

15、一,315、〜，CMPM

万）或（5，-）；②当而=函时,

2722

【详解】（1）解：在y=-N+3x+4中，令无=。得＞=4,令＞=0得尤=-1或无=4,

AA(-1,0),B(4,0),C(0,4).

（3）如图:

33

由产-x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线％=---=-,

-22

333

设。(一，/),则尸(一，什1),M(0,什1),N(1,0),

222

U：B(4,0),C(0,4)；

53

：.BN=~,QN=t,PM)，CM=\t-3\,

'：ZCMP=ZQNB=9U。,

.•.△CPM和…相似,只需赛弋或瑞尚,

3

CMPMR-3|_I

①当时,

~QNBNt-5

2

解得/或f=3

2o

,315、…,315

••Q(—,—)或();

2228

M3

etCMPM.

②当三;==7时，5=2

BN

2t

解得r=2±3因或r=lz马回(舍去)，

22

：.Q(-,3+2)),

22

综上所述，Q的坐标是(j,R)或(j，号)或(J3+2&).

222o22

【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三

角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用.

8.(2022・广西玉林・中考真题)如图，已知抛物线：＞=-2炉+"+c与x轴交于点A,8(2,0)(A在8的左

备用图

(1)求抛物线的解析式；

⑶过点尸作x轴的垂线与线段8C交于点垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与相似,

求点尸的坐标.

【答案】⑴y=-2^+2X+4

335

(3)(1,4)^#(—,—)

4o

【分析】(1)根据抛物线对称轴即可求出b,再根据抛物线过B点即可求出C,则问题得解；

(3)先根据尸打，8。，求得/MHB=90。,根据(2)中的结果求得0c=4,根据B点(2,0),可得。2=2,则

有tan/CBO=2,分类讨论：第一种情况：ABMHS^CMP,即可得PC〃OB,即尸点纵坐标等于C点纵坐

标则可求出此时尸点坐标为(1,4)；第二种情况：4BMHsAPMC,过尸点作PGJ_y轴于点G,先证明

ZGCP=ZOBC,即有tan/GC尸=2,即有2GC=GP,设GP=a,贝！jGC=』a,即可得PH=OG='a+4,则有

22

P点坐标为(。,；。+4),代入到抛物线即可求出a值，则此时尸点坐标可求.

【详解】(1):y=-2尤2+Zw+c的对称轴为x=，,

2

Vy=-2)+bx+c过5点(2,0),

,,—2X22+Z?X2+C=0，

结合b=2可得c=4,

即抛物线解析式为：y=-2x2+2x+4；

(3)•:PH1B0,

：./MHB=9。。,

根据(2)中的结果可知。点坐标为(0,4),

即。。=4,

・・,8点(2,0),

・•・OB=2,

tanZCBO=2,

分类讨论

第一种情况：4BMHs^CM