山东中学联盟2024届高考考前热身押题数学试题

山东中学联盟2024届高考考前热身押题数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设随机变量万~N电*，P(0<-2)=0.3,则函数=/一段+1无零点的概率为()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

2.已知复数z满足z(2-i)=l+i,贝匹的虚部是()

,333.3.

A.一一B.—C.—1D.—I

5555

3.已知等差数列｛g｝的公差为d,前〃项和为S”.设甲：d>0；乙：｛Sj是递增数列，则

()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条

件

4.已知函数〃x)=sinx(l+3，是偶函数，则加的值是()

A.-2B.-1C.1D.2

22

5.已知双曲线-1=1(a>0/>0)的左、右焦点分别为不凡,。为原点，若以山引

为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P,且内尸|=e|。尸|,则C的离心率为()

A.5/3B.2C.-\/~5D.

6.已知Q>0,且6则下列不等式成立的是()

A.a+b<4B.log2tz+log2Z)>2

C.b\na>\D.4a+4b>3

7.已矢口sinxcosy+cosxsiny=',cos2x-cos2y=—,贝|sin(x->)=()

24

1131

A.-B.-C.——D.——

2444

8.已知函数〃尤)，g(x)均是定义在R上的连续函数，g'(x)为g(x)的导函数，且

试卷第1页，共4页

/(x+l)+g(x+2)=2,/(x-l)-g(4-x)=4,若/(x)为奇函数，贝I］下歹1」说法正确的是()

A.“X)是周期函数B.y=g(尤+2)为奇函数

c.y=g'(x)关于x=2对称D.存在xeN,使/(x)=2024

二、多选题

9.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线

C:/=8y,阿基米德三角形尸45,弦N8过C的焦点尸，其中点A在第一象限，则下列说法

正确的是()

A.点P的纵坐标为-2B.C的准线方程为尤=-2

C.若|/尸|=8,贝1J48的斜率为6D.面积的最小值为16

10.如图在四棱柱48co-4月G"中，底面四边形/BCD是菱形，//DC=120。，

AC^BD=O,4。，平面/BCD,4。=8。=2,点C与点C关于平面3CQ对称，过点C

做任意平面&,平面。与上、下底面的交线分别为4和4,则下列说法正确的是()

A.〃〃2B.平面BCQ与底面/BCD所成的角为30。

C.点C到平面3CQ的距离为1D.三棱锥。'-/助的体积为必

2

II.在〃次独立重复试验(即伯努利试验)中，每次试验中事件A发生的概率为P,则事件

A发生的次数X服从二项分布8(",0),事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量

的应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数丫，我们称y从“几何分布"，经过计

算£代)=；,由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和彳都发生后停止，此

时所进行的试验次数记为Z,则尸(Z=Q=(l-p)ip+pi(l-p),左=2,3,…，那么下列

试卷第2页，共4页

说法正确的是()

A.P(X=5)=5p(l_p)4B.尸(y=左)=,左=1,2,3,…

c.p(y=3)的最大值为出D-"舟厂

三、填空题

12.已知向量丽=(1,2),将丽绕原点。顺时针旋转90。到诙的位置，则

西班=.

13.已知圆A/：x2+y2=4,圆N：(x-4)~+(>-4/=4,直线/与圆加,N分别相交于

4昆C,D四点，若S"=SACDN=6，则直线/的方程可以为,(写出一条满

足条件的即可).

14.在“BC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,函数

/'(x)=2sin(ox+?)(0>O,O<e<：,/(x)图象的相邻两对称轴间的距离为],且

/[y]=h将y=的图象向右平移巳个单位得到y=g(x)的图象且g(/)=2,"BC的

内切圆的周长为2兀.则“3C的面积的最小值为.

四、解答题

15.已知A,B,C,。四名选手参加某项比赛，其中A,8为种子选手，C,。为非种子

选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为：，种子选手之间的获胜的概率为:，

非种子选手之间获胜的概率为3.比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰;

第二轮的胜者为冠军.

(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？

(2)选手A与选手D相遇的概率为多少？

(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？

方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；

方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛.

16.如图，在五面体/8CDE万中，®ADE1ffiABCD,ZADC=90°,即//平面48cD,

试卷第3页，共4页

AE=DE=DC=2EF,AB=3EF,二面角/一。C-尸的平面角为60。.

⑴求证：/BCD是梯形；

(2)点尸在线段上，且/P=2必，求二面角尸-尸。-8的余弦值.

17.已知椭圆C的两个顶点分别为2(0,1)、5(0,-1),焦点在x轴上，离心率为弓，直线

/:y=丘-g(后<0)与椭圆C交于W、N两点.

⑴求椭圆C的方程；

(2)当上变化时，是否存在过点A的定直线加，使直线冽平分NM4N?若存在，求出该定直

线的方程；若不存在，请说明理由.

2

-k十皿//\J23冽+32m+5m+3^^,八

18.1已知函数/(x)=ex--------x+---------o------，其中机w0.

(加mJ

(1)求曲线V=/(X)在点(2,〃2))处切线的倾斜角；

(2)若函数/(x)的极小值小于0,求实数机的取值范围；

(3)证明：2e"-2(x+1)Inx-x>0.

19.设a,bwZ,aw0.如果存在qeZ使得b=ag,那么就说6可被。整除(或。整除6),记

做ag且称b是。的倍数，。是6的约数(也可称为除数、因数).6不能被。整除就记做

。糜.由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a|b,b\c,则a|c；②a,b互

质，若a|c,b\c,贝!|a6|c；③若a也,则。|£；/也，其中c,eZ,i=1,2,3,.

⑴若数列｛%｝满足，%=2"T,其前”项和为，，证明：279|S3000；

(2)若，为奇数，求证：优+6"能被。+6整除；

⑶对于整数”与左，尸5，左)=»1,求证：尸(〃,1)可整除尸(〃㈤.

r=l

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据题意，求得-2＜尸＜2,结合正态分布曲线的对称性，即可求解.

【详解】由函数/（x）=/-分+1无零点，所以A=，2—4＜0,解得-2＜/?＜2,

又由尸（尸＜—2）=03,所以尸（一2＜尸＜2）=1—2尸（夕＜—2）=0.4.

故选：B.

2.A

【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得z=11+13i,得至lj-z=11—?3，结合复数的概

念，即可求解.

【详解】由复数z（2-i）=i+i,可得z=l±i=a±DG±0=L+Li,

2-i555

所以-z=/13-所以三的虚部是一；3

故选：A.

3.D

【分析】利用公差d＞0,如TO,-9,-8,-7,0,1,2,…与S〃=〃，可判断结论.

【详解】若公差d＞0,如数列-10,-9,-8,-7,0,1,2,…，则数列的前〃项和S.

先减再增；

若｛S"｝是递增数列，如S“=〃，则。"=1为常数列也为等差数列，且d=0；

所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D项正确.

故选：D.

4.A

【分析】利用偶函数可得一sinx[l+5^jj=sinx[可求加的值.

【详解】因为函数〃x）=sinx[l+D是偶函数，所以/'（-x）=/（x）,

即/(-x)=sin(-x)1+---加--、=-sinxh1+

l-e-xJI

所以一"詈=1+言'所以二=2,即“2故A正确.

答案第1页，共22页

故选：A.

5.B

【分析】根据题意，得到|。尸|=|°周=c，且山尸|=百|。尸|=Gc,在△。尸骂中，利用余弦定

理求得COS£OP=-L,得至=兀一生=巴，结合tan/8。尸=2=百，利用离心率的

2-33a

定义，即可求解.

【详解】由以山闻为直径的圆与。的渐近线的一个交点为P,可得用=c,

又由|耳尸|=6|0尸|=五,

在“咫中’由余弦定理侬平》=画■产

1所以2片0尸=子271,

所以/丹。「=兀一二=:，所以tanN凡。尸=2=百，离心率e=£=Jl+£=2.

33aaya-

故选：B.

【分析】A选项，根据1的妙用进行求解；B选项，对原条件直接使用基本不等式，

勘=a+622而即可求解；C选项，将待证明表达式消去一个字母，构造函数，利用导数

知识解决；D选项，结合B选项的分析可解决.

【详解】因为a+b=ab,所以1+：=1,

ab

对于A项：tz+Z)=(a+Z>)[-+-]=2+/U->2+2=4,

\ab)ab

八，3

当且仅当。=b=2时取得等号，从而在。=3,6=大时。+6〉4,故A错误；

2

对于B项：因为ab=a+bN2^,所以。624,

log2a+log2b=log2ab>log24=2,当a=b=2时取得等号，log2a+log2b=2,故B

答案第2页，共22页

错误；

对于C项：因为=〃+所以6=---->0,所以q>1,

a-\

于是blnQ〉1等价于一^―Inq>1,等价于Ina>---,

a-\a

构造函数/(%)=lnx+L_l(x〉l),/'(%)=―—-\=，

XXXX

所以/(无)在(1,+e)上单调递增；

所以/(%)>7•⑴=0恒成立，所以不等式61na>l成立，故C正确；

对于D项：根据B选项的分析，a+b=ab>4,

贝!J(G+A/F)-a+b+2y/ab>4+2y/4-8,段&+822五,

当a=6=2时取得等号，此时右+班=2也<3，故D错误.

故选：C

7.D

【分析】先利用两角和的正弦公式求出sin(x+y),再根据

cos2x-cos2y=8$[(》+#+(X-田]-<：05](苫+田-(》-田]结合两角和差的余弦公式化简

即可得解.

【详解】sinxcos7+cosxsiny=sin(x+y)=；,

cos2x-cos2y=cos[(x+_y)+(x-y)]-cos[(x+y)-(x-y)]=-2sin(x+y)sin(x-y)

所以sin(无-y)=一:.

故选：D.

8.C

【分析】根据给定条件，利用赋值法变换给定等式可得/'(x+l)+/(l-x)=6及

g(2+x)+g(2-力=-2,再结合奇函数及等差数列通项求解、复合函数求导求解判断即得.

【详解】函数/(x),g(x)均是定义在R上的连续函数，/(x+l)+g(x+2)=2①，

1(x7)—g(4—x)=4②，将②式中x换为2-x得/(l-x)-g(2+x)=4③,

答案第3页，共22页

①+③得/(尤+l)+/(l-x)=6,则f(x)的图象关于点(1,3)中心对称；

将②式中x换为2+x得：/(x+l)-g(2-x)=4@,

①-④得：g(2+x)+g(2-尤)=-2/0,因此了=g(x+2)不是奇函数，B错误；

g,(2+x)-g,(2-x)=0,即g，(2+尤)=g，(2-尤)，所以y=g'(x)关于x=2对称,C正确；

由/a+l)+/(l-x)=6及/(x)为奇函数，#/(x+l)-/(x-l)=6,

即/(x+2)-〃x)=6,而〃0)=0,/⑴=3,则〃2)=6,

当x=2左-l,AeN*时，数列｛/(x)｝是首项为3,公差为6的等差数列，

贝l|/(x)=/(2左一1)=3+6(左一1)=6左一3=3x,

当尤=2左★eN*时，数列｛/*)｝是首项为6,公差为6的等差数列，

则〃x)=/(2左)=6+6供-1)=6左=3x,因此xeN*时，/«=3x,显然/(0)=0满足上式，

即xeN,/(x)=3x,显然/(x)=3x无周期性，且〃x)=3x=2024无解，AD错误.

故选：C

【点睛】结论点睛：函数了=/(尤)的定义域为。，Vxe。，

①存在常数a,6使得/(x)+/(2a-x)=26o/(a+x)+/(a-x)=26,则函数>=/(x)图象

关于点(。,6)对称.

②存在常数a使得/(%)=-x)of(a+x)=/(«-x),则函数y=/(%)图象关于直线

X=〃对称.

9.AD

【分析】设”(七,必)，3(工2，%)，直线45：歹=b+2,联立方程组，求得玉+%2=8左，再入2=-16,

求得A,B两点处的切线方程，可求得点P(4h-2)判断A；求得准线方程判断B；由

|4F|=乂+2=8,可求得网46,6),进而可求得如=心,判断C；|第=8M+8,(J,*,

3

进而可得又萩=16(1+/p,可求的最小值，判断D.

【详解】对于A项，设/(再,必)，B(x2,y2),直线/8:y=Ax+2,

答案第4页，共22页

联立C:x2=Sy,消去V,得J_8Ax-16=0,A=64*+64＞0»

所以西+x2=8k,xxx2=-16,

由C:/=8y,得则点A处的切线：＞=:卬:-9；①，

448

同理点3处的切线：＞考②，联立①②，得》=土白，尸-2,

4o2

所以，点尸(优-2),故A正确;

对于B项，准线方程为^=-2,故B错误；

对于C项，|/刊=必+2=8,得％=6,所以川4月,6),kAB=kAF=*=§，故C错误；

4、33

对于D项，=必+%+4=左(玉+%)+8=8左2+8,点尸到直线的距离为：d=I,

y/1+k-

所以s/BP=~\AB\'d=~^2+8),4=16(1+^2)2，

当上=0时，尸的面积有最小值16.故D正确.

故选：AD.

10.ABD

【分析】根据面面平行的性质定理可判断A；由线面垂直的判定定理、性质定理可得/COG

是平面与底面/BCD所成角的平面角，在RtA。4G中计算可判断B；根据体积相等可

判断C；点C'与点C关于平面8G。对称，由C'到平面8CQ的距离与C到平面8CQ的距

离相等，可得%一/她可判断D.

【详解】对于A项，因为43CD-44GA是四棱柱，上、下底面平行且平面。与上、下底

面的交线分别为4和3所以〃〃2,故A正确；

答案第5页，共22页

对于B项，因为4。，平面4BCD,所以又因为48c。是菱形，

所以&DL4C,且/。口4。=0,/C,/Qu平面4CG4，

所以AD1平面/CG4，OC|U平面/CG4，所以

平面BCQA底面48CO=5。，所以/COq是平面3CQ与底面/BCD所成角的平面角，又

因为4。=3。=2,ZADC^120°,

所以NC=4G=26，在RtA。4G中，tan/4OC|=E,所以//。6=60。，

所以NCOC]=90。-60。=30。，故B正确；

对于C项，VR—BDC=Vc—BDC[，即;x；x2x6x2=gx；x2x4x〃，所以〃=*,故C错误；

对于D项，因为点C与点C关于平面8。。对称，由B项知NCOG=30。，

所以C'到平面BCXD的距离与C到平面BCQ的距离相等，即公OCsin30。=如，

2

所以C'到平面48。的距离〃=2公亩60°=2x且x走=。，Vc.=-x1x2x73x-=—,

2223222

故D正确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：求解点到平面距离时，利用体积相等，将所求距离转化为三棱锥的高，

从而结合三棱锥体积求得结果.

11.BCD

【分析】对于A,X服从二项分布，使用二项分布求解即可；对于B,y服从“几何分布”，

即丫=上表示进行了左次，前左-1次未发生，故尸“=左)=0(1-01；对于c,y服从“几何

分布“，即P(y=3)=p(l-p)2=p3-2p2+p,通过导数判断单调性即可求出最大值；对于

D,根据“几何分布”求数学期望E(y),再根据尸(Z=左)公式计算数学期望E(z)即可.

答案第6页，共22页

【详解】对A项，因为X~8(〃,p),所以尸(X=5)=CR(1-P)7,故A错误;

对B项，¥=左表示进行了上次，前左-1次未发生，

所以尸(丫=左)="(1一？广，故B正确；

对C项，P(Y=^=p(l-p^=p3-2p2+p,

令。(0=p3-2/+p,pe(O,l),

所以e'(p)=302-4p+l=(3p-l)(p-l)=0,

解得P=g或P=1(舍)

当时，d(p)>0,夕(0在，,.单调递增，

当时，d(p)<0,夕(0在gj单调递减，

所以夕(小

即p(y=3)的最大值为《，故C正确；

21

对D项，石(y)=p+2p(l—p)+3.1—力十••二一

P

21

所以2M1-0+300-p)-+...=--p①

P

用1一。代换。得：

2(l_,)P+3(l_p)p2+-.=—^-p)(2)

"P

由①②得

E(Z)=2[(1_p)p+0([_p)]+3[(]_p)p2+(]_p)2p]+…

=2p(l_p)+3p(l_p/H----b2(l-p)p+3(l-p)p:2H—

11/,X1

+=-1

=-PI-------\y~P)~rA\，

故D正确.

故选：BCD.

12.-5

【分析】利用已知可求得函=(2,-1),进而可求得西.耳A

【详解】因为而=(1,2),将无绕原点。顺时针旋转90。到函的位置，则函=(2,-1),

答案第7页，共22页

故西年=西丽-西=丽丽-西=一5.

故答案为：-5.

13.J7=4+'（%-2）+2,y=（x-2）+2,y=x+y/l,y=x-五,

y=y/15^（x-2^+2,>=（4-VU）（x-2）+2,y=x+C，y=x-y[6,

尸里述±可遢卜一2用2）+26-2,

里史巧吗76+2）+26一2,

-15-8G、>

16+8^+731+16^/26+21252,

15+8看'>

16+8力一任+三卜+26+2）一26一2,

16-86+/：■■芯卜_6+2回+6-25

16-86人3A迪卜_6+2回+6-25

16+8G+J3J+应[.一6-26）+6+2月,

-15+873、'

16+8V3-731+16V[/_6_2^+6+2^（答案不唯一）

-15+8指、>

【分析】由已知直线/与平行或直线/过九W的中点，设出直线方程，根据

S/=£sv=百结合圆心到直线的距离即可求解•

【详解】对于一个半径为2的圆，若一条直线被该圆截得的弦与圆心构成面积为目的三角

形，则这意味着弦对应的圆心角夕满足：2-2sin"=g,即e或0=；.

由于弦到圆心的距离d=2cos£,故d=6或1=1.

这就将命题转化为：直线/到（0,0）的距离是6或1,至U（4,4）的距离也是百或1.

分别以（0,0）和（4,4）为圆心，以1为半径作圆C1和2，以方为半径作圆C百和。尺

答案第8页，共22页

则直线/需要满足：与。或%相切，与2或。6相切•

首先，由于6+班＜4,故&,。/«,/€卜,6｝）不可能同时和一条竖直直线相切，从而/的斜

率一定存在.

①若直线/与G和2相切，则直线/经过两圆的内位似中心（2,2）,或与两圆圆心连线平行，

即斜率为1（此种情况亦可视为直线/经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）.

对于前一种情况，即直线了=左（》-2）+2到原点的距离为1,使用距离公式得到电驾=1,

对于后一种情况，即直线y=x+7"到原点的距离为1,使用距离公式得到=1,解得

m=±y[2•

所以我们得到此时满足条件的直线/可能是：y=土咨（x-2）+2,y=二夕（x-2）+2,

y=x+41,y=x—y/2；

②若直线/与％和％相切，则直线/经过两圆的内位似中心（2,2）,或与两圆圆心连线平行，

即斜率为1（此种情况亦可视为直线/经过两圆的外位似中心：&=0,1）方向的无穷远点）.

/、\2.-2k\厂

对于前一种情况，即直线尸左（》-2）+2到原点的距离为百，使用距离公式得到=

角军得左=4±岳;

对于后一种情况，即直线＞=x+m到原点的距离为6,使用距离公式得到=6解得

所以我们得到此时满足条件的直线/可能是：y=（4+V15）（x-2）+2,y=（4-V15）（x-2）+2,

y=x+&,y=X-A/6；

③若直线/与£和。心相切，则直线/经过两圆的内位似中心（26-2,26-2）,或经过两圆

对于前一种情况，即直线＞=左1-2百+2）+26-2到原点的距离为1,使用距离公式得到

答案第9页，共22页

咚训二0二],解得「6一

TiTF15-8^

对于后一种情况，即直线>=左1+26+2）-2、Q-2到原点的距离为1,使用距离公式得到

巴训则=1，解得”更±逋坦叵,

717F15+8V3

所以我们得到此时满足条件的直线/可能是：16-8G+,3；16>k-2用2k2寻2,

-15-8逝、>

16-8括-"3：竺"1_26+2）+22,

16+8苏+43手叵1+2521252,

15+8®1）

l6+8^-V31+W[/+2^+2x_2^_2；

15+86'

④若直线/与％和口相切，则直线/经过两圆的内位似中心（6-2后,6-26）,或经过两圆

对于前一种情况，即直线>=左1一6+26）+6-26至1]原点的距离为行，使用距离公式得

到（6一理工5解得二6-86土方述;

7I7F15-8®

对于后一种情况，即直线尸十+26+2）-2於-2到原点的距离为百，使用距离公式得

到（6+过M3,解得口6+86±，3广迤,

V1TF15+8V3

所以我们得到此时满足条件的直线/可能是：16-8e+，3；16>k-J2抬'小"2出，

15-8石、'

16-8括一出厂竺乌x_6+2百）+6-2&,

16+8G+J3：血[1_6-2⑹+6+20,

15+861）

答案第10页，共22页

厘殳与蚂-6一2回+6+2技

15+8V3')

综上，满足条件的直线/一共有16种可能：y=qi(x_2)+2,y=、区(x-2)+2,

y=x+C，y=x-V2,y=(4+^3")(工-2)+2,y=^4-y/15^(x-2^+2,y=x+a,

y=x-46,昨16叱+篇*q_2G+2)+2G一2,

3凶三呼巫卜_2用+2)+26-2,

15-8V3,)

16+8^+731+16^/+26+2>2.2,

15+88,)

16+873-731+W3-/+2^+2A_2^_2)

15+8V3')

16-8君+，3；2处卜一6+26)+6-26,

15-8V3,)

168^731-16V[/_6+2^+6_2^；

15-8V3,)

16+8百+，3;@1(>6.2省)+6+26,

15+8V3')

16+8豆-，3^^[(X_6_2G)+6+2G.

15+8V3')

故答案为：y=2)+2,万二4,(x—2)+2,y=x+亚，y=x-y/2,

y=(4+-2)+2,y=(4--2)+2,y=x+\j~69y=x—yj~6»

16-8^+A/31-16V|/_2^+2A2^_2)

15-8V3,)

16一8舁/^^^一2用2)+2省一2,

15-8V3,)

16+8石+J3广电更卜+2退+2卜2反2,

15+86')

答案第11页，共22页

16+86一,3：+三卜+2用2)一2人2,

15+8V31)

区巫母遢卜_6+26)+6-26,

15-8V31)

16-8括-43；■"乌x_6+2百)+6-25

15-8V31)

16+86+/3：+稣卜_6-2⑹+6+25

15+861)

l6+8^-V31+W[/_6_2^+6+2^_(答案不唯一)

15+8V3''

【点睛】关键点点睛：本题总共有16种可能的答案，但只需答出其中1个即可.在时间宝贵

的考场上，全部将16条直线的方程求出显然是不明智的做法.

14.3G

【分析】根据题意求出了(尤)的解析式，由平移规律得到V=g(x)的解析式，由g(4)=2得

到A,由面积公式和余弦定理,及+c-bc=』c-b-c，借助基本不等式即可求出6c的取

2

值，进而得到面积最小值.

【详解】因为函数/'(X)图象的相邻两对称轴间的距离为5，

所以丁=兀，可得①=2,

所以/(x)=2sin(2x+°),

LLl、t2兀兀…)_p.2兀J71.一

月f以--v(p——F2klI,kGZ或---(p--------\-2AJT,keZ,

3636

jrjr

所以尹二---F2左兀,左EZ或9=—+2hi,keZ

26f

因为0<*苦,

所以e=F，即/(x)=2sinf2x+-^L

6

因为将了=/(x)的图象向右平移£个单位得到y=g(x)的图象,

6

答案第12页，共22页

所以g(x)=2sin

由g(/)=2,<2sin=2

1L

所以2/—=—■\-2kn,kGZ,即/=—+左兀,左EZ,

623

且0<4<兀，所以4=1.

因为AA8C的内切圆的周长为2兀,

所以AABC的内切圆的半径为1,

(<?+Z)+c)xl=—Z>csiny,所以a+6+cbe,即—6—c,

在AASC中，由余弦定理得：a~=b2+c2-2bccos—,

所以J/+c°-be=^-bc-b-c,

2

_______h

所以y/lbc-bc<——be-2yjbc，

2

所以痴226，即6c212,

当且仅当b=c=2y/3时取等号，所以“BC的面积的最小值为3#).

故答案为：373

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值,

则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这

个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

15.(1)1;

/、23

(2)—

-48

(3)方案一种子选手夺冠的概率更大

【分析】(1)由题意分析知第一轮选手的对战情况分别为{/3,C。},{/D,BC},

即可得出答案;

答案第13页，共22页

(2)设事件/="选手A与选手。相遇”，分为对战情况分别为｛/尻CD｝,｛/C,3。｝,

｛AD,BC｝,求出其概率，相加即可得出答案.

(3)设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为耳，P2,由独立事件的乘法公式求出耳、

P2,比较月，6的大小即可得出答案.

【详解】(1)第一轮选手的对战情况分别为｛4及CD｝,｛AC,BD｝,｛AD,BC｝,故总方案数

3；

(2)设事件“选手A与选手。相遇”，

当对战为｛4D,3C｝时，A,。两选手相遇的概率为1；

当对战为｛/氏CD｝时，A,。两选手相遇的概率为:x；=：；

当对战为｛4C,3。｝时，A,。两选手相遇的概率为=而；

111113

抽到三种对战的概率均为W，贝尸++启.

33343164X

23

综上可知选手A与选手D相遇的概率为—.

48

(3)设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为耳，P2,则

采用方案一，假设分组为｛/C,8。｝,

第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：-x-=^,

4416

第一轮选手4。获胜，第二轮A获胜：:3x：1x3：=A9，

44464

3139

第一轮选手获胜，第二轮5获胜：

44464

第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜，

b2n99c27

所以片二一X—x2=——；

1166432

采用方案二：假设分组为｛/民8｝,

1133

第一轮选手4c获胜，第二轮A获胜：=

22416

1133

第一轮选手4。获胜，第二轮A获胜：=

22416

1133

第一轮选手sC获胜，第二轮3获胜：=

22416

答案第14页，共22页

1133

第一轮选手优。获胜，第二轮5获胜：=

22416

则鸟=白3义4==3，所以《＞£，

164

因此方案一种子选手夺冠的概率更大.

16.(1)证明见解析

⑵丈，

8

【分析】(1)由线面平行的性质定理得CD〃E尸，同理得45〃跖，从而得C。〃/5,再得

到CD+AB得证.

(2)取4D中点O由面面垂直得性质定理可证的线面垂直，则可在。处建系，写出各点坐

标，求出面3CF和面PC尸的一个法向量，求夹角的余弦值即可.

【详解】(1)在五面体跖中，E尸//平面48。，E尸u面CDEF,

面ABCDC面CDEF=CD,所以CD//EF同理可证48〃EF,

所以CD〃48且43=3EF丰2EF=CD；

所以/BCD是梯形.

(2)取中点O,3C中点连接OE,OM.

因为面9圮_1面/88,交线为4D,CDu面/BCD,ZADC=90°,

所以CD,面所以Cd)E,CD，4D

所以N4DE是二面角/一。C-尸的平面角.即ZADE=60°,又4E=DE,

所以V/DE■为正三角形，以。为原点，以方，OM,砺分别为x,y,z轴(如图)

建立空间直角坐标系。-中z,设EF=I,

贝I|/E=DE=Z）C=2,AB=3,5（1,3,0）,C（-l,2,0）,歹（0,1,6），P（l,2,0）,

CB=（2,1,0）,3=而=卜1,-1,6）.

答案第15页，共22页

设面BC尸的一个法向量为五=（再,如4）,由]_L而，nlCF，得

nCB=2%i+y1=0

取Zi=G,得再=—1,yx=2,

h'CF=xi-yi+6Z[=0

所以为=(—1,2,g)

设面尸CF的一个法向量为玩=（工2J2/2）,由碗_L而，rnlFP得

m-CF=%-%+3^2=0

<

取z?=1,得了2=。，y2—垂＞，

m-FP=-x2-y2+V3Z3=0

所以应=(0,后1)

所以cos欣力=告工2e+由3a

2x272—8

所以二面角尸-FC-3的平面角的余弦值为城.

8

丫2

17.(1)—+/=1

(2)存在,x-y+l=0

【分析】（1）根据题意，得到6=1,由e=@,求得。=2,即可求得椭圆C的方程的标准

2

方程；

k1

（2）假设存在定直线加，设为〃，联立方程组求得X]+X2,X1X2，化简七M-AN=，设直线/V、

/N及直线机的倾角分别为a,P,7,且直线相与直线/交于点P,利用斜率公式，化简

2

得到k'（kAM+kAN）=1kAM+以,）且kAM+30,求得〃=i,即可求解.

【详解】（1）解：由椭圆C的两个顶点分别为/（0/）、5（0,-1）,可得6=1,

又由e=£