高考数学一轮复习点点练：三角函数的性质

点点练14—三角函数的性质

|一基础小题练透篇

1.在函数|2x|,②y=|cos尤|,^y=cos（2尤+袭）,@y=tan（2x—习中，最

小正周期为兀的所有函数为（）

A.②④B.①③④C.①②③D.②③④

2.下列函数中，最小正周期为兀的奇函数是（）

A.y=sin（2%+习B.y—cos（2尤+习

C.y=sin（2r+/）D.y—^2sin（x+^

3.[2023•陕西省商洛模拟]函数/U）=2cos22x图象的一个对称中心为（）

A.（一10）B.（谭1）

C.UD.俘0）

4.[2023•江苏连云港模拟]函数段）=2sin（|T）在[0,5]上的最大值与最小值之和是

（）

A.2一4B.0

C.1D.2+小

5.[2023•浙江省十校联盟联考]同时具有以下性质：“①最小正周期是71；②在区间

TTJT

*，।上是增函数”的一个函数是（）

A.产sin

B.y=sin

(2x+*

C.y=cos

y=cos（2龙一袭）

D.

[2023•贵州毕节模拟旧知函数於尸sin（2x+§,若将加的图象向右平移3个单位

6.

后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数g@）的图象,

则（）

A.g（尤）=sin（4犬一聿）

B.g(x)=sin4x

C.g（x）=sinx

D.g（x）=sin

7.函数尸cosQ—的单调递增区间是.

8.如果函数尸cos（2x+°）的图象关于点自0）对称，那么|夕|的最小值为

二能力小题提升篇

1.[2023•四川省遂宁市射洪中学考试]在函数y=sin|x|,y=「in尤y=tan[+§,y=

cos@+知中，最小正周期为兀的函数的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.［2023.陕西蒲城模拟］将函数y=3sin（2叶力的图象向右平移3个单位长度，则平

移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是（）

A.债,0）B.（一会0）

1T

3.［2023•重庆测试］已知函数加）=Asin（ox+9）（A>0,O>0,0<（p<^）,现有如下四个命

题：

甲：该函数的最大值为吸；

乙：该函数图象可以由y=sin2x+cos2x的图象平移得到；

丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为兀；

T：该函数图象的一个对称中心为停，0）.

如果只有一个假命题，那么该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.［2023•天津市武清区模拟］将函数产sin（2x+°X0W。〈兀）的图象向左平移3个单位后,

得到的函数恰好为偶函数，则<p=________.

5.［2023•山西省三晋名校阶段性考试］设函数段）=2COS2（S一2一l（o>0）,给出下列

结论：

①若IXxi）—/（X2）I=2,I尤1-min=兀，则0=1；

②存在。6（0,1）,使得五X）的图象向左平移方个单位长度后得到的图象关于原点对称；

③若7U）在［0,兀］上有且仅有4个零点，则。的取值范围为［居，笥;

@V®e（0,1）,於）在V，I上单调递增.

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

三高考小题重现篇

“2021.山东卷］下列区间中，函数段）=7sin1一§单调递增的区间是（）

A.(0,§B,停无

2.［2021.全国乙卷］函数加）=sin|+cos|的最小正周期和最大值分别是（）

A.3兀和吸B.3兀和2

C.6兀和gD.6兀和2

3.［2020・天津卷］已知函数加）=sinQ+期.给出下列结论：

①A%）的最小正周期为2兀；

②念是式X）的最大值；

③把函数丫=$也尤的图象上所有点向左平移4个单位长度，可得到函数y=Kx）的图象.

其中所有正确结论的序号是()

A.①B.①③C.②③D.①②③

4.［2022•新高考I卷］记函数兀r)=sin(a>x+^)+6(O>0)的最小正周期为T.若专<T<n,

且y=/«的图象关于点仔，2)中心对称，则=()

35

A.1B.2C.2D.3

5.［2019•北京卷］函数兀c)=sin22x的最小正周期是.

6.［2022•全国乙卷］记函数危)=COS(GX+9)(①>0,0<夕<兀)的最小正周期为T,若人今=?,

为yw的零点，则。的最小值为.

四经典大题强化篇

7T

1.［2023•河南省驻马店市环际大联考］已知函数段)=sin(ox+0)(其中。>0,\(p\<^),其

图象经过"(0,£j,且函数危)图象的相邻两条对称轴之间的距离为今.

(1)求兀1)解析式；

(2)是否存在正实数优，使式x)图象向左平移m个单位长度后所得图象对应的函数是偶函

数，若存在，求出，〃的最小值，若不存在，请说明理由.

2.［2023•福建省闽江口月考］已知函数兀c)=4cosxsin口+2-1.

(1)求式x)的最小正周期和单调区间；

⑵用五点法作出其简图；

(3)求段)在区间［一IT去上7T最大值和最小值.

点点练14三角函数的性质

一基础小题练透篇

1.答案：c

解析：Tyucos|2x|=cos2x,T=^=兀；y=|cos图象是将y=cosx在x轴下方的

图象对称翻折到龙轴上方得到，所以周期为无，由周期公式知，y=cos（2x+S）周期为兀,

y=tan周期为冷.

2.答案：B

解析：对于A,产sin（2犬十号=cos2x,是偶函数，不符合题意；

对于B,y=cos（2尤+卷）=-sin2x,是奇函数，最小正周期7=竽=兀，符合题意；

对于C和D,y=sin（2x+^和>=也sin［+习都是非奇非偶函数，不符合题意.

3.答案：C

解析：f（x）=2COS22X=COS4X+1,令4x=1+kn（左GZ）,得了=胃+竽（4GZ）,

当上=-1时，尤=一/，即/（%）图象的一个对称中心为（一1，1）.

4.答案：B

解析:因为g烂5,则一季若x—季碧,—l<sin停l?）<b—2<2sin俘<2,

-1./（x）max+y（x）min=O.

5.答案：B

解析：对于A,函数的最小正周期7=斗=4TI,故A不符合题意；

2

2冗

对于B,函数的最小正周期7=号=兀，

当xe［一袭，,，2x-je［甘，第，所以函数在区间［*,f］上是增函数,故B符

合题意；

2冗

对于C,函数的最小正周期7=号=71,

当xe［—去外，2x+；e［0,K］,所以函数在区间［*，f］上是减函数，故C不符

合题意；

2兀

对于D,函数的最小正周期7=竽=兀，

当xe［—/引，2x-le［—$,，所以函数在区间［―袭，f］上不具有单调性，故

D不符合题意.故选B.

6.答案：D

解析：将函数“无）=sin（2x+§的图象向右平移袭，可得函数尸sin田一袭）+劳

=sin（2x一意）的图象；再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g

（x）=sinQ一袭）的图象.

2兀兀

7.答案：2%兀一可~,2祈+,，k^Z

解析：因为函数〉=85%的单调递增区间为［2析一兀，2k矶,%£Z,

兀27171

所以24兀一兀十一行<2^71,即2配一至<x<2k7i+2,

所以函数尸cos^一号的单调递增区间是［2加一个,2E+,］,代Z.

8.答案：g

解析：由产cos⑵+夕）的图象关于点后0）对称，可得1+夕专+%兀，%£Z,即

9=聿+H,kGZ,当左=0时，9=袭，故|研的最小值为,.

二能力小题提升篇

1.答案：C

解析：函数y=sin园的图象如图所示

y

y=sinlxl

V-________________________________________z

由图可知，函数y=sin|v|不是周期函数，

加+兀）=|sin（X+TT）|=|-sinx\=|sin,r|=八尤）,则函数y=|sinx|的最小正周期为兀;

尸tan（x+^）的周期为T=f=兀,y=cos（2尤+1）的周期为7=普=兀

故选C.

2.答案：A

解析：函数y=3sin（2x+3的图象向右平移袭个单位长度，

所得函数图象的解析式为

y=3sin[2。:*）+今=3sin（2x一日,

令2%一[=kn（kWZ）,得冗=竽+为，%£Z.令％=0,则,

即平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是（玄，0）.

3.答案：B__

解析：由命题甲：该函数的最大值为镜，可得4=啦；

由命题乙：由y=sin2x+cos2x=$sin（2x+：）,可知4=也,a>=2；

由命题丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为71,

可得（0=1,

所以命题乙和命题丙矛盾；

若假命题是乙，则/（x）=gsin（%+夕），

由命题丁:该函数图象的一个对称中心为序0），可得值=也Sin伶+9）=0,

因为0〈e¥,可得夕=三，符合题意；

若假命题是丙，则/（X）=陋sin（2%+夕），

由命题丁:该函数图象的一个对称中心为目，0），可得信|=@Sin符+9）=0,

可得夕=E—华，kQZ,不满足条件0<9§,所以假命题是乙.

4.答案：I

解析：由题意，尸sin[21+总+/是一个偶函数，

TTTTTT__TTTT

.,.2+夕=]+左兀，（左£Z）,贝1J9=4+左兀，（%£Z）,又|夕|<]，：.（p=%.

5.答案：C

解析：因为/（x）=2COS2（S-—l=cos（25—尊,所以/（X）的最小正周期为

2兀_7£

2a）co.

对于①，因为火为）一/（%2）I=2,故於：1）,/（%2）分别为最大、最小值，由于|%1一对

JT1

min=兀，所以/（X）的最小正周期7=2兀，所以；；=2兀,口=5.故①错误；

对于②，图象变换后所得函数为尸cos（2ox十第一芝），

若其图象关于原点对称，则等-y=f+E,kS,解得。=（+|k,k6,

当％=—1时，G（0,1）,故②正确；

27r2,7t2冗

对于③，当兀£[0，兀]时，2cox—^e——,2TICO—-,因为/（%）在[0，兀]上有

5兀2兀7冗1Q25

且仅有4个零点，所以下<2TICD—^<y,解得运-C0<\2，故③正确；

r_LFZ7\、【，「兀兀1r_L-2兀「CO712兀CO712兀

对于④，当工£一^时，2G工一亍£~~~3~'

因为oG（0,1）,所以一等—ye（一兀，一笺），等—ye（一杀一事）,

所以/（x）在[一*雪上单调递增.故④正确.综上，正确的个数为3.

故选C.

三高考小题重现篇

1.答案：A

解析：因为函数〉=5苗光的单调递增区间为

（2E—52祈+号（左ez）,

对于函数本）=7sin，由2防c苫<x—<2析+?（%WZ）,

解得2也一1<x<2kn+^（&GZ）,

取左=0,可得函数次无）的一个单调递增区间为

则（0,g=（一全芝）,便兀）《一?.,A选项满足条件,B不满足条件;

取4=1,可得函数次无）的一个单调递增区间为（苧，y）,

0,CD选项均不满

足条件.

2.答案：C_

解析：因为函数/(x)=sin|+cos]=陋(孚sin]+乎cos1)=&(sin]

cos:+cosIsin)=小sin(方+今)，所以函数/(x)的最小正周期7=千=6兀，

3

最大值为明.

3.答案：B

解析：f(x)=sin[+§的最小正周期为2兀，①正确；sin=1=尼)为/(无)的

最大值，②错误；将丫=$也》的图象上所有点向左平移方个单位长度得到/(x)=sin(x+l)

的图象，③正确.

4.答案：A

解析：因为专＜T＜n,所以,〈襦〈兀又因为。＞0,所以2＜。＜3.因为＞=/(无)

37r37rjr12

的图象关于点(亏,2)中心对称，所以/?=2,不①+]=E,kRZ,所以①=一彳+Tk,

22463

1213195

%£Z.令2V—4+gk＜3,解得彳＜女＜彳.又因为正Z,所以k=4,所以①=1.所以/

(x)=sin(zx+?)+2,所以//)=sin(乎+?)+2=1.故选A.

24J244

5.答案：I

解析：(x)=sin22x=-~~罗小，.V⑴的最小正周期7=常.

6.答案：3_

解析：因为7=含，。＞0,所以。=笔.由/⑺二哗,得cos⑵+9)=坐,

\CD\1J2T2

即cos9=?.又因为0＜夕〈兀，所以9=袭.因为1奇为/(x)的零点，所以等+5=左兀+

JT

2，解得①=9Z+3,%£Z.又因为①＞0,所以①的最小值为3.

四经典大题强化篇

1.解析：⑴，・,图象经过川(0,，,=sincp,\(p\<^,，

•・•函数/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为空,

.2兀兀.

..—=7，・・G=4,

CD2

则/(%)=sin(4x+§.

(2)设g(x)=sin4(x+m)+方=sin(4x+4m+^),

JTJT

Vg(x)是偶函数，.'dm+4=2+%兀(%£Z),

+苧(左£Z),

•••加为正实数，，^^：令.

2.解析：(1)/(x)=4cosx(坐sinx