北京市海淀区清华附中永丰学校2019-2020学年七年级（下）期末考试数学试卷 解析版

2019-2020学年北京市海淀区清华附中永丰学校七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）：第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）4的平方根是（）A．±16 B．± C．±2 D．2．（3分）下列各数中，无理数是（）A．0.3 B． C． D．﹣3．（3分）在平面直角坐标系中，如果点P（﹣1，﹣2+m）在第三象限，那么m的取值范围为（）A．m＜2 B．m≤2 C．m≤0 D．m＜04．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．125°5．（3分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）下列条件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC+∠C＝180°，其中能判断AB∥CD的是（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①7．（3分）在参观北京世园会的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在正方形网格中，她以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示丝路驿站的点坐标为（0，0）．如果表示丝路花雨的点坐标为（7，﹣1），那么表示清杨洲的点坐标大约为（2，4）；如果表示丝路花雨的点坐标为（14，﹣2），那么这时表示清杨洲的点坐标大约为（）A．（4，8） B．（5，9） C．（9，3） D．（1，2）8．（3分）已知点A的坐标为（1，2），直线AB∥x轴，且AB＝5，则点B的坐标为（）A．（1，7） B．（1，7）或（1，﹣3） C．（6，2） D．（6，2）或（﹣4，2）9．（3分）若关于x的不等式组的整数解共4个，则m的取值范围是（）A．7＜m＜8 B．7＜m≤8 C．7≤m＜8 D．7≤m≤810．（3分）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如图①中，点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．如图②，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，则t的值为（）A．﹣1 B．5 C．5或﹣13 D．﹣1或7二、填空题（本题共18分，每小题3分）：11．（3分）比较大小：3（填写“＜”或“＞”）．12．（3分）若点P（a﹣2，a+3）在y轴上，则点P的坐标是．13．（3分）点P（﹣2，）到x轴的距离是．14．（3分）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是h＝4.9t2．在一次实验中，一个物体从490m高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为s．15．（3分）如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3……，其中PO⊥l，这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是．16．（3分）已知关于x的一元一次不等式mx+1＞5﹣2x的解集是x＜，如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，实数m对应的点可能是．三、解答题（本题共52分.第17-22题，每小题5分；第23题和25题，每小题5分；第24题26题，27题和28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：+﹣+|﹣2|．18．（5分）解不等式2（2x﹣1）﹣（5x﹣1）≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（5分）解方程组：．20．（5分）解不等式组并写出这个不等式组的所有整数解．21．（5分）完成下面的证明．已知：如图，BC∥DE，BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．求证：∠1＝∠2．证明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠ADE（）．∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．∴∠3＝∠ABC，∠4＝∠ADE．∴∠3＝∠4．∴∥（）．∴∠1＝∠2（）．22．（5分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为A（4，1），B（1，﹣2），过点B作BC⊥x轴于点C．（1）按照要求画出平面直角坐标系xOy，线段BC，写出点C的坐标；（2）直接写出以A，B，O为顶点的三角形的面积；（3）若线段CD是由线段AB平移得到的，点A的对应点是C，写出点D的坐标．23．（3分）（1）阅读以下内容：已知实数x，y满足x+y＝2，且求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值．乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k的值．丙同学：先解方程组，再求k的值．（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价．（评价参考建议：基于观察到题目的什么特征设计的相应思路，如何操作才能实现这些思路、运算的简洁性，以及你依此可以总结什么解题策略等等）24．（4分）已知正实数x的平方根是n和n+a．（1）当a＝6时，求n；（2）若n2x2+（n+a）2x2＝10，求x的值．25．（3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，求∠β的度数．26．（4分）某年级共有300名学生，为了解该年级学生在A，B两个体育项目上的达标情况，进行了抽样调查．过程如下，请补充完整．收集数据从该年级随机抽取30名学生进行测试，测试成绩（百分制）如下：A项目788674817576874974917579817174818669837782859295585463678274B项目9373888172819483778380817081737882100704084869296535763688175整理、描述数据B项目的频数分布表分组划记频数40≤x＜50150≤x＜60260≤x＜70270≤x＜80880≤x＜9090≤x＜1005（说明：成绩80分及以上为优秀，60～79分为基本达标，59分以下为不合格）根据以上信息，回答下列问题：（1）补全统计图、统计表；（2）在此次测试中，成绩更好的项目是，理由是；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A项目和B项目成绩都是优秀的人数最多为人．27．（4分）列方程（组）或不等式解决问题．2019年5月20日是第30个中国学生营养日．某营养餐公司为学生提供的300克早餐食品中，蛋白质总含量为8%，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为60g，蛋白质含量占15%；谷物食品和牛奶的部分营养成分如表所示）．（1）设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为y克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为克，牛奶中所含的蛋白质为克．（用含有x，y的式子表示）（2）求出x，y的值分别为．（3）该公司为学校提供的午餐有A，B两种套餐（每天只提供一种）：套餐主食（克）肉类（克）其它（克）A15085165B18060160为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量．如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不超过830克，那么该校在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按5天计算）28．（4分）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P，给出如下定义：将图形G沿上、下、左、右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的图形记为G'，若点P在图形G'上，则称点P为图形G的稳定点．例如，当图形G为点（﹣2，3）时，点M（﹣1，3），N（﹣2，3.5）都是图形G的稳定点．（1）已知点A（﹣1，0），B（2，0）．①在点P1（﹣2，0），P2（4，0），P3（1，），P4（，﹣）中，线段AB的稳定点是．②若将线段AB向上平移t个单位长度，使得点E（0，1）或者点F（0，5）为线段AB的稳定点，写出t的取值范围．（2）边长为a的正方形，一个顶点是原点O，相邻两边分别在x轴、y轴的正半轴上，这个正方形及其内部记为图形G．若以（0，2），（4，0）为端点的线段上的所有点都是这个图形G的稳定点，直接写出a的最小值．

2019-2020学年北京市海淀区清华附中永丰学校七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）：第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）4的平方根是（）A．±16 B．± C．±2 D．【分析】根据平方根的定义，求数4的平方根即可．【解答】解：4的平方根是±2．故选：C．2．（3分）下列各数中，无理数是（）A．0.3 B． C． D．﹣【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、0.3是有理数，选项不合题意；B、是有理数，选项不合题意；C、是无理数，选项符合题意；D、，是有理数，选项不合题意；故选：C．3．（3分）在平面直角坐标系中，如果点P（﹣1，﹣2+m）在第三象限，那么m的取值范围为（）A．m＜2 B．m≤2 C．m≤0 D．m＜0【分析】根据解一元一次不等式基本步骤移项、合并同类项1可得．【解答】解：由题意知﹣2+m＜0，则m＜2，故选：A．4．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．125°【分析】求出∠ABC＝90°，根据平角求出∠3，根据平行线的性质得出∠2＝∠3，即可得出答案．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵∠1＝55°，∴∠3＝180°﹣55°﹣90°＝35°，∵直线a∥b，∴∠3＝∠2＝35°，故选：A．5．（3分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A． B． C． D．【分析】本题可根据数轴的性质，实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“＜”，“＞”表示，大于向右，小于向左．【解答】解：依题意得，数轴可表示为：故选：B．6．（3分）下列条件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC+∠C＝180°，其中能判断AB∥CD的是（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：①由“内错角相等，两直线平行”知，根据∠AEC＝∠C能判断AB∥CD．②由“同位角角相等，两直线平行”知，根据∠AEC＝∠C能判断BF∥EC．③由“同旁内角互补，两直线平行”知，根据∠AEC＝∠C能判断AB∥CD．故选：B．7．（3分）在参观北京世园会的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在正方形网格中，她以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示丝路驿站的点坐标为（0，0）．如果表示丝路花雨的点坐标为（7，﹣1），那么表示清杨洲的点坐标大约为（2，4）；如果表示丝路花雨的点坐标为（14，﹣2），那么这时表示清杨洲的点坐标大约为（）A．（4，8） B．（5，9） C．（9，3） D．（1，2）【分析】建立平面直角坐标系，确定坐标原点的位置和每个小方格表示的单位长度，进而可确定表示留春园的点的坐标．【解答】解：如图由图知，每个小方格表示单位长度2，则表示清杨洲的点坐标大约为（4，8），故选：A．8．（3分）已知点A的坐标为（1，2），直线AB∥x轴，且AB＝5，则点B的坐标为（）A．（1，7） B．（1，7）或（1，﹣3） C．（6，2） D．（6，2）或（﹣4，2）【分析】根据平行于x轴的直线是上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，即可得解．【解答】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（1，2），∴点B的纵坐标为2，∵AB＝5，∴点B在点A的左边时，横坐标为1﹣5＝﹣4，点B在点A的右边时，横坐标为1+5＝6，∴点B的坐标为（﹣4，2）或（6，2）．故选：D．9．（3分）若关于x的不等式组的整数解共4个，则m的取值范围是（）A．7＜m＜8 B．7＜m≤8 C．7≤m＜8 D．7≤m≤8【分析】解不等式组中的每个不等式，根据不等式组的整数解有4个可得m的取值范围．【解答】解：解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，解不等式9﹣2x≤1，得：x≥4，∵不等式组的整数解有4个，∴不等式组的整数解为4、5、6、7这4个，则7＜m≤8，故选：B．10．（3分）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如图①中，点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．如图②，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，则t的值为（）A．﹣1 B．5 C．5或﹣13 D．﹣1或7【分析】根据两点之间的折线距离公式结合d（P，Q）＝10，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵P（3，﹣4），Q（t，2），且d（P，Q）＝10，∴|3﹣t|+|﹣4﹣2|＝10，解得：t＝﹣1或t＝7．故选：D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）：11．（3分）比较大小：＜3（填写“＜”或“＞”）．【分析】首先把两个数分别平方，然后比较平方的结果即可比较大小．【解答】解：∵7＜9，∴＜3．故答案为：＜．12．（3分）若点P（a﹣2，a+3）在y轴上，则点P的坐标是（0，5）．【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求出a的值，再求解即可．【解答】解：∵点P（a﹣2，a+3）在y轴上，∴a﹣2＝0，解得a＝2，所以，a+3＝2+3＝5，所以，点P的坐标为（0，5）．故答案为：（0，5）．13．（3分）点P（﹣2，）到x轴的距离是．【分析】直接利用点到x轴的距离即点的坐标的绝对值进而得出答案．【解答】解：点P（﹣2，）到x轴的距离是：．故答案为：．14．（3分）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是h＝4.9t2．在一次实验中，一个物体从490m高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为10s．【分析】把h＝490代入h＝4.9t2即可求解．【解答】解：把h＝490代入h＝4.9t2中，4.9t2＝490，t2＝100，∵t＞0，∴t＝10．故答案是：10．15．（3分）如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3……，其中PO⊥l，这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是PO．【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”作答．【解答】解：∵PO⊥l，∴这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是PO．故答案是：PO．16．（3分）已知关于x的一元一次不等式mx+1＞5﹣2x的解集是x＜，如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，实数m对应的点可能是点A．【分析】求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：mx+1＞5﹣2x，（m+2）x＞4，∵关于x的一元一次不等式mx+1＞5﹣2x的解集是x＜，∴m+2＜0，∴m的取值范围是m＜﹣2，∵数轴上的A，B，C，D四个点中，只有点A表示的数小于﹣2，∴实数m对应的点可能是点A．故答案为点A三、解答题（本题共52分.第17-22题，每小题5分；第23题和25题，每小题5分；第24题26题，27题和28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：+﹣+|﹣2|．【分析】直接利用二次根式的性质、立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝9﹣3﹣2+2﹣＝6﹣．18．（5分）解不等式2（2x﹣1）﹣（5x﹣1）≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】先去括号，再移项合并得到﹣x≥2，然后系数化为1即可，再用数轴表示解集．【解答】解：去括号得4x﹣2﹣5x+1≥1，移项得4x﹣5x≥1+2﹣1，合并得﹣x≥2，系数化为1得x≤﹣2．用数轴表示为：19．（5分）解方程组：．【分析】把第二个方程整理得到y＝2x﹣5，然后利用代入消元法求解即可．【解答】解：，由②得，y＝2x﹣5③，③代入①得，3x+4（2x﹣5）＝2，解得x＝2，把x＝2代入③得，y＝2×2﹣5＝﹣1，所以，方程组的解是．20．（5分）解不等式组并写出这个不等式组的所有整数解．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．【解答】解：，∵由①，得x≤2，由②，得x＞﹣，∴原不等式组的解集为﹣＜x≤2，∴原不等式组的所有整数解为0，1，2．21．（5分）完成下面的证明．已知：如图，BC∥DE，BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．求证：∠1＝∠2．证明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）．∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．∴∠3＝∠ABC，∠4＝∠ADE．∴∠3＝∠4．∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行）．∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．【分析】根据平行线的性质得出∠ABC＝∠ADE，根据角平分线定义得出∠3＝∠ABC，∠4＝∠ADE，求出∠3＝∠4，根据平行线的判定得出DF∥BE，根据平行线的性质得出即可．【解答】证明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）．∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．∴∠3＝∠ABC，∠4＝∠ADE．∴∠3＝∠4，∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行），∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等），故答案是：两直线平行，同位角相等；DF；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．22．（5分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为A（4，1），B（1，﹣2），过点B作BC⊥x轴于点C．（1）按照要求画出平面直角坐标系xOy，线段BC，写出点C的坐标；（2）直接写出以A，B，O为顶点的三角形的面积；（3）若线段CD是由线段AB平移得到的，点A的对应点是C，写出点D的坐标．【分析】（1）根据A，B两点坐标确定平面直角坐标系即可．（2）利用分割法求三角形的面积即可．（3）画出图形即可解决问题．【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示：C（1，0）．（2）S△AOB＝3×4﹣×1×4﹣×1×2﹣×3×3＝．（3）D（﹣2，﹣3）．23．（3分）（1）阅读以下内容：已知实数x，y满足x+y＝2，且求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值．乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k的值．丙同学：先解方程组，再求k的值．（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价．（评价参考建议：基于观察到题目的什么特征设计的相应思路，如何操作才能实现这些思路、运算的简洁性，以及你依此可以总结什么解题策略等等）【分析】选择乙同学的解题思路，①+②得出5x+5y＝7k+4，求出x+y＝＝2，即可求出答案．【解答】解：我最欣赏（1）中的乙同学的解题思路，，①+②得：5x+5y＝7k+4，x+y＝，∵x+y＝2，∴＝2，解得：k＝，评价：甲同学是直接根据方程组的解的概念先解方程组，得到用含k的式子表示x，y的表达式，再代入x+y＝2得到关于k的方程，没有经过更多的观察和思考，解法比较繁琐，计算量大；乙同学观察到了方程组中未知数x，y的系数，以及与x+y＝2中的系数的特殊关系，利用整体代入简化计算，而且不用求出x，y的值就能解决问题，思路比较灵活，计算量小；丙同学将三个方程做为一个整体，看成关于x，y，k的三元一次方程组，并且选择先解其中只含有两个未知数x，y的二元一次方程组，相对计算量较小，但不如乙同学的简洁、灵活．24．（4分）已知正实数x的平方根是n和n+a．（1）当a＝6时，求n；（2）若n2x2+（n+a）2x2＝10，求x的值．【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出a的值；（2）利用平方根的定义得到（n+a）2＝x，a2＝x，代入式子n2x2+（n+a）2x2＝10即可求出x值．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是n和n+a，∴n+n+a＝0，∵a＝6，∴2n+6＝0∴n＝﹣3；（2）∵正实数x的平方根是n和n+a，∴（n+a）2＝x，n2＝x，∵n2x2+（n+a）2x2＝10，∴x3+x3＝10，∴x3＝5，∵x＞0，∴x＝．25．（3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，求∠β的度数．【分析】过E作EM∥AB，则EM∥CD，根据平行线的性质可得∠α+∠β＝90°，再由∠α可求解．【解答】解：由题意知：AB∥CD，∠FEG＝90°，过E作EM∥AB，则EM∥CD，∴∠FEM＝∠α，∠GEM＝∠β，∵∠FEM+∠GEM＝∠FEG＝90°，∴∠α+∠β＝90°，∵∠α＝43°，∴∠β＝90°﹣43°＝47°．故答案为47°．26．（4分）某年级共有300名学生，为了解该年级学生在A，B两个体育项目上的达标情况，进行了抽样调查．过程如下，请补充完整．收集数据从该年级随机抽取30名学生进行测试，测试成绩（百分制）如下：A项目788674817576874974917579817174818669837782859295585463678274B项目9373888172819483778380817081737882100704084869296535763688175整理、描述数据B项目的频数分布表分组划记频数40≤x＜50150≤x＜60260≤x＜70270≤x＜80880≤x＜9090≤x＜1005（说明：成绩80分及以上为优秀，60～79分为基本达标，59分以下为不合格）根据以上信息，回答下列问题：（1）补全统计图、统计表；（2）在此次测试中，成绩更好的项目是B，理由是在此次测试中，B项目80分及以上的人数为17人，高于A项目；59分及以下人数相同．所以B项目成绩更好些．；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A项目和B项目成绩都是优秀的人数最多为130人．【分析】（1）根据题意，画出直方图，频数分布表即可．（2）B较好．理由是：在此次测试中，B项目80分及以上的人数为17人，高于A项目；59分及以下人数相同．所以B项目成绩更好些．（3）求出A项目优秀人数即可判断．【解答】解：（1）补全图、表如下．（2）B．理由是：在此次测试中，B项目80分及以上的人数为17人，高于A项目；59分及以下人数相同．所以B项目成绩更好些．故答案为：B，在此次测试中，B项目80分及以上的人数为17人，高于A项目；59分及以下人数相同．所以B项目成绩更好些．（3）300×＝130．答：估计A项目和B项目成绩都是优秀的人数最多为130人．故答案为130．27．（4分）列方程（组）或不等式解决问题．2019年5月20日是第30个中国学生营养日．某营养餐公司为学生提供的300克早餐食品中，蛋白质总含量为8%，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为60g，蛋白质含量占15%；谷物食品和牛奶的部分营养成分如表所示）．（1）设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为y克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为9%x克，牛奶中所含的蛋白质为3%y克．（用含有x，y的式子表示）（2）求出x，y的值分别为x＝130，y＝110．（3）该公司为学校提供的午餐有A，B