集合间的基本关系-答案版

行是知之始，知是行之成行是知之始，知是行之成高一第一章集合与常用逻辑用语-史老师高一第一章集合与常用逻辑用语-史老师第二节集合间的基本关系学习目标学习目标理解集合之间包含与相等的含义；理解子集、真子集的概念；能利用韦恩图表达集合间的关系；了解空集的含义．18801880年Venn首次采用也称韦恩图或文氏图.Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合.多元导学多元导学我们知道，两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等。两个集合之间是否也有类似的关系呢?问题1：观察下面的例子，类比实数间的大小或相等关系，试说说每组的两个集合间有何关系?(1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；(2)A为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合；B为立德中学高一(2)班全体学生组成的集合；(3)A={等边三角形}，B={等腰三角形}；集合A小，集合B大(4)A={4，6，8}，B={8，4，6}；(5)A={x∈Z||x|<2}，B={-1，0，1}集合相等互动精讲+互动精讲+课堂检测要点一：包含关系与子集知识点1、子集子集：若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则说集合A包含于集合B(或集合B包含集合A).并称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)如：{1,2}⊆{1,2,3,5};{0,1,2}⊆{x∈N|x<3}符号语言:对任意的x∈A，总有x∈B，则A⊆B图形语言:注意：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆CVenn图在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(1)表示集合的Venn图边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线;(2)用Venn图表示集合的方法叫图示法,其优点是能直观地表示出集合间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显例一：已知A＝{x|x是正数}，B＝{x|x是正整数}，C＝{x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆CC．C⊆A⊆B D．A＝B⊆C【答案】B【解析】集合A，B，C的关系如图．【变式1】（24-25高一上·全国·课堂例题）A=1,2,3,B=1,2,3,4,C=1,2,3,4,5，A【答案】A⊆B【分析】根据包含关系分析判断.【详解】因为A=1,2,3,B=1,2,3,4所以A⊆B例二：（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合A=x-1<x<2，B=xA．A>B B．A⊆B C．B⊆A D．A=B【答案】C【分析】根据子集包含关系得到答案.【详解】x0<x<1⊆x-1<x<2，故故选：C【变式1】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知集合A=x|x2A．-2,2⊆A B．-2,2∈A C．2∉A D【答案】A【分析】首先化简集合A，再根据集合与集合的关系，元素与集合的关系判断即可.【详解】因为A=x|所以-2,2⊆A，2∈A，-2故选：A【变式2】（20-21高一上·北京·期末）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与B的关系如图所示，则集合A．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【答案】D【解析】由图可得B⊆A【详解】解：由图可知：B⊆∵A=由选项可知：1,3⊆故选：D.【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各组中两个集合之间的关系：(1)1,2,3与xx是6的正因数}(2)xx=3n,n∈Z与x【答案】(1)xx是6的正因数}(2)xx=3n,n【分析】（1）根据正因数的定义，结合子集的定义进行判断即可；（2）根据集合元素属性特征进行判断即可.【详解】（1）因为1,2,3,6是6的正因数，所以xx是6的正因数}（2）因为x=3nn所以集合xx=3n,n∈Z表示3因为x=3⋅所以集合xx=6k,k∈Z表示3因此xx=3n,n知识点2、集合相等集合相等：一般的，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说：若A⊆B，且B⊆A，则A=B.与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，你有什么体会？例一：（24-25高一上·全国·课堂例题）若A=0,1(1)如何从元素的角度判断两个集合A与B的关系？(2)如何从子集的角度判断集合A与B的关系?【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）求出集合B，观察两集合中的元素的关系可判断；（2）求出集合B，由两集合之间的包含关系分析判断.【详解】（1）集合B=x所以两个集合中的元素完全相同，这两个集合相等；（2）集合B=xx2=x=所以集合A是B的子集；反之，集合B中元素都属于集合A，所以集合B是A子集，即两个集合互为子集，这两个集合相等.【变式1】下列集合x|x3=1，x|x2=1，A．x|x3=1 B．x|x2=1【答案】B【分析】解方程求出各集合，即可得出结论.【详解】易知x|x3=1=1只有B表示±1，其它A、C、D均表示1，B与众不同．故选：B【变式2】下面选项中的两个集合相等的是（

）A． B．M=1,0C．M=xx2【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断.【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误；B.集合M表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合N是点集，只有1个元素，为1,0，所以不是相等集合，故B错误；C.x2-4x+4=0，得，即M=N=2，故D.集合M是空集，但集合N是非空集，里面有1个元素∅，所以不是相等集合，故D错误.故选：C【变式3】判断题1．1,-1【答案】错误【分析】根据集合的元素是否相等，即可判断.【详解】集合1,-1表示数集，里面有2个元素，集合1,-1表示点集，集合有所以2个集合不相等，所以不正确.故答案为：错误.2．集合M=x∣x=2k-1,k∈Z，N=x∣x=2k+1,k∈Z【答案】正确【分析】根据集合中的元素特征，分析集合间的关系.【详解】集合M和N都是由奇数组成的集合，所以集合相同，所以命题正确.知识点3、真子集真子集：如果集合𝐴⊆𝐵, 但存在元素𝑥∈𝐵, 且𝑥∉𝐴, 就称集合𝐴 是集合𝐵 的真子集("propersubset"), 记作：A读作：“A真包含于B”（或“B真包含A”）所以集合A是集合B的真子集例一：判断下列两个集合之间的关系：(1)A=1,2,4，B={x∣x是8的因数}(2)，．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）∵A=1,2,4，B=1,2,4,8，如图1，∴（2）∵，，如图2，∴A⊂B．【变式1】1．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=k+3,k∈Z}，则（A．A=B B．A⫋B C．B⫋A D．A【答案】B【分析】根据集合的包含关系即可判断得出答案．【详解】解：由题意可得集合A={x|x=2k,k∈B={x|x=k+3,k∈故A⫋B，故选项ACD都错．故选：B．知识点4、空集空集：定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.规定：空集是任何集合的子集．即∅⊆A.是任何非空集合的真子集.注意点：(1)在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}．例一：（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（）A．0∈0,1,2 B．0∈∅ C．∅=0 D【答案】D【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断.【详解】选项A，0不是0,1,2的元素，即∅∈0,1,2不成立，则A选项B，∅中没有任何元素，即0∉∅，则B错误；选项C，∅中没有任何元素，而0表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则C错误；选项D，元素∅为集合∅中的元素，即∅∈∅，则D故选：D.【变式1】已知六个关系式①∅∈∅；②∅⊂≠∅；③0⊃≠∅；④0∉∅；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：∅是∅的一个元素，故∅∈∅，①∅是任何非空集合的真子集，故∅⊂≠∅、0∅没有元素，故0∉∅，④正确；且∅≠0、∅≠∅，⑤所以①②③④⑥正确.故选：C【变式2】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与∅说法不正确的是（）A．0∉∅ B．0C． D．0⊇∅【答案】C【分析】根据∅的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断.【详解】因为∅是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；对于选项B：0∈0，故对于选项D：因为∅是任何集合的子集，所以0⊇∅，故D故选：C.【变式3】判断题1、（24-25高一上·全国·课堂例题）∅=0【答案】错误【分析】根据空集的定义分析判断.【详解】因为空集中不含任何元素，所以∅≠所以∅=故答案为：错误2（24-25高一上·全国·课堂例题）空集没有子集．()【答案】错误【分析】结合空集、子集的概念即可判断.【详解】空集是任何集合的子集，所以空集也是空集的子集，空集的子集是其本身，故“空集没有子集”是错误的，故答案为：错误.3（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）0是空集.()【答案】错误【分析】由空集的定义可得.【详解】空集是不含任何元素的集合，集合0中含有一个元素0,故错误.故答案为：错误.例一：（（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A=xa-1<x<2a+1，B=x0<x<1，若【答案】a≤-【分析】根据给定条件，利用空集的意义列式作答；【详解】因A={x|a-1<x<2a+1}是空集，则2a+1≤a-1，解得a≤-所以实数a的取值范围是a≤-【变式1】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合A=(1)若A是空集，求a的取值范围(2)若A中只有一个元素，求a的值并把这个元素写出来【答案】(1)a>(2)a=0或【分析】（1）讨论当a=0时和当a≠0时两种情况，当a≠0时，Δ<0，从而可得答案.（2）讨论当a=0时和当a≠【详解】（1）当a=0时，原方程可化为-3x+2=0，得x=2当a≠0,Δ=9-8a<0,即a>所以a的取值范围是a>9（2）当a=0时，原方程可化为-3x+2=0，得x=2当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得，Δ=9-8a=0，得.所以当a=0或时，集合A中只有一个元素．【变式2】（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合A=x|0(1)若B=∅，求a的取值范围.(2)若B⊆A，求a的取值范围.【答案】(1)a<0(2)【分析】（1）利用空集的定义即可得解；（2）利用集合的包含关系，分类讨论B=∅与B≠∅【详解】（1）因为B=x|0≤x≤a，B=所以B=x|0≤x≤a中没有元素，即a<0所以a的取值范围为a<0.（2）因为A=x|0≤x≤1,B=x|0≤x≤a由（1）知，当B=∅时，a<0，此时满足B⊆当B≠∅时，则0≤所以a的取值范围为.要点二：子集、真子集个数的确定假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．求集合的子集的两个关注点：(1)要注意两个特殊的子集：∅和自身．(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．例一：（24-25高一上·上海·课前预习）子集（1）对于两个集合A与B，如果集合A的都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，记作（或），读作“”（或““）．可用文氏图表示为：（2）子集的性质：①A⊆A，即②∅⊆A，即③若A⊆B且B⊆A，则④传递性：若A⊆B且B⊆C，则【答案】每个元素A⊆BB⊇AA包含于BB包含A任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集A=BA【分析】略【详解】略【变式1】（21-22高一·全国·课后作业）写出下列集合的所有子集：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；（2）根据所给集合列出相应子集即可；（3）根据所给集合列出相应子集即可.【详解】（1）解：由题得所有子集有..（2）解：由题得所有子集有（3）解：由题得所有子集有【变式2】（22-23高一上·山东聊城·阶段练习）设集合，列出集合A的子集.【答案】A的子集为【分析】先由条件确定集合的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.【详解】由化简可得，所以A的子集为【变式3】（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）已知集合，则的所有真子集为.【答案】【分析】根据真子集的定义进行求解即可.【详解】因为，所以的所有真子集为，故答案为：【变式4】（2022高一·全国·专题练习）已知A⫋B，且B＝{0，1，2}写出满足条件A的所有集合．【答案】∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．【分析】结合已知和真子集的定义得解.【详解】解：AÜB，且B＝{0，1，2}；∴满足条件A的所有集合为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．例二：（23-24高一上·浙江宁波·期中）集合A=x∈Z|【答案】32【分析】确定出集合A中元素个数，由子集的概念可得．【详解】由已知A={-2,-1,0,1,2}，A有5个元素，它的子集个数为25故答案为：32.【变式1】（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知集合N=x∈N1<x<3，则集合N有（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】先求出集合N，再结合子集的结论求解即可.【详解】由题意，N=x所以集合N有21=2故选：C.【变式2】（21-22高一下·安徽·期中）设集合A=x∈N|y=12x+3∈N【答案】16【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.【详解】解：A=0,1,3,9故A的子集个数为24故答案为：16【变式3】（19-20高一·浙江杭州·阶段练习）集合0,2,3的真子集共有（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】C【解析】列举出集合的真子集即可.【详解】解：集合0,2,3的真子集有0，，3，0,2，0,3，，∅，共7个.故选：C.【点睛】本题考查真子集的概念，是基础题.【变式4】（18-19高三下·浙江·阶段练习）集合0,1,2,3,4,5的真子集个数是A．23 B．24-1 C．2【答案】D【解析】集合有6个元素，直接代入真子集个数的公式求解.【详解】集合有6个元素，所以集合的真子集个数是26-故选：D【点睛】本题考查真子集的计算公式，属于基础题型.【变式5】（2019·浙江·二模）集合{2, 0, A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】根据含有n个元素的集合，有2n个子集，有2n【详解】解：集合{2, 0, 1, 9}含有4个元素，则集合{2, 0, 1, 9}的真子集有24-1=15故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n个元素的集合，有2n个子集，有2n【变式6】（20-21高一上·宁夏中卫·期中）已知集合A=x∈Z【答案】3【解析】首先确定集合A中的元素，然后由真子集的定义求解．【详解】由题意A={2,3}，∴A的真子集有3个：∅，，{3}．故答案为：3．【变式7】（2019高一·浙江·专题练习）已知集合A=a-3,2a-1，且3∈A，实数a=，A的真子集个数为【答案】2或63【分析】根据3∈A，及A=a-3,2a-1，从而得出，或2a-1=3，解出a，并求出集合A，验证是否满足3∈【详解】解：∵A=a-3,2a-1，且3∴a-3=3时，a=6，A=3,11，满足条件，此时集合A的真子集有个；2a-1=3时，a=2，A=-1,3，满足条件，此时集合A的真子集有个；∴a=2或6故答案为：2或6；3【点睛】考查列举法的定义，以及元素与集合的关系，集合元素的互异性，集合的真子集的计算，属于基础题．【变式8】（22-23高一上·浙江·阶段练习）集合{x∈N∣【答案】30【分析】首先用列举法表示集合，即可得到其元素的个数，再根据含有n个元素的集合的非空真子集有2n-2【详解】解：因为{x∈N∣-2<x<5}=0,1,2,3,4，所以集合{x∈N∣-2<x<5}含有5个则其非空真子集有25-故答案为：30【变式8】（20-21高一上·陕西宝鸡·期中）集合x∈Nx=5A．2个 B．3个 C．6个 D．7个【答案】C【解析】根据x∈N,n【详解】当n=0时：x=5；当n=1时：x=3；当n=2时：x=1，故集合共有3个元素，其非空真子集个数是：23-故选：C.【变式9】（22-23高三上·浙江衢州·阶段练习）已知集合A=a1,a2,aA．3 B．4 C．6 D．2【答案】B【分析】根据题意得集合A的所有非空真子集，再求和即可.【详解】解：因为集合A=a1,所以，3a1+故选：B【变式10】（19-20高一上·西藏山南·期中）已知A=a,b,c（1）集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系（2）请写出集合A的所有非空真子集【答案】（1）8，ÜA（2）{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}【分析】（1）根据子集的概念，利用列举法可得集合A的所有子集，从而可得子集个数以及与集合A的关系；（2）根据非空真子集的概念，利用列举法可得答案.【详解】（1）A=a,b,c的子集有，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}共8其中ÜA.（2）集合A的所有非空真子集有{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}.【点睛】本题考查了子集和真子集的概念，属于基础题.例三：（2021·浙江绍兴·三模）已知集合满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3}，则集合A．{3} B．{1,3} C． D．{1,2}【答案】D【分析】由题可得集合A可以是1,2，1,2,3.【详解】∵{1,2}∴集合A可以是1,2，1,2,3.故选：D.【变式1】（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M⊆A⊆N，则满足集合A的个数为（A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.【详解】因为M⊆所以A可以是1,2,3,1,2,3,4,故选：D【变式2】（22-23高一上·浙江绍兴·阶段练习）满足1，2，3⊆A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据子集和真子集的定义，即可写出满足条件的集合A，即可求出答案．【详解】因为1，所以1,2,3∈A，4，5可能在集合所以满足条件的集合A为：1,2,3，，1,2,3,5，1,2,3,4,5，所以满足集合A的个数为4个．故选：B．【变式3】（17-18高二下·广西玉林·期末）已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，那么这样的集合M的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由题意可知集合M中一定包含元素1和2，集合M其他元素构成的集合为集合3,4,5的子集，从而可求出集合M的个数.【详解】因为{1,2}所以集合M中一定包含元素1和2，集合M其他元素构成的集合为集合3,4,5的子集，所以集合M的个数为23故选：C【变式4】（22-23高一上·浙江温州·期中）满足1,2⊆M⊆1,2,3,5的集合【答案】4【分析】根据子集定义可得集合M所有可能的结果，由此可得集合M的个数.【详解】由子集定义可知：集合M所有可能的结果为1,2，1,2,3，1,2,5，1,2,3,5，共4个.故答案为：4.【变式5】（19-20高一·全国·课后作业）满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有【答案】7【分析】由{1,2}ÜM⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5【详解】可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元素：，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素：．故满足题意的集合M共有7个．故答案为：7.【变式6】已知集合满足：1,2⫋M⊆1,2,3,4,5，写出集合【答案】，，，，，，【详解】解：∵1,2∴1,2都在集合中，且3,4,5中有1个或2个在集合中或3个都在集合中，集合所有可能情况为：，，，，，，．故答案为：，，，，，，．【变式1-3】（1）已知集合，则集合的子集依次是．（2）已知集合，则集合的真子集依次是．【答案】，，，，，，，，，【详解】解：（1）集合子集依次是：，，，，，，，；故答案为：，，，，，，，；（2）集合的真子集依次：，，；故答案为：，，．【变式7】（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知⫋的集合M的个数是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】依题意且且至少有一个属于集合，再一一列举出来即可.【详解】因为⫋，所以且且至少有一个属于集合，可能为，，，，，，共个，故选：A.【变式8】（多选）（21-22高一上·广东·期末）以下满足{0,2,4}⊆A⫋{1,2,3,4}的集合A有（

）A． B．{0,1,3,4} C．{0,1,2,4} D．【答案】AC【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，则所有符合条件的集合A为,{0,1,2,4},{0,2,3,4}.选项BD均不符合要求，排除.故选：AC【变式9】（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足⫋的集合有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案.【详解】因为，即有⫋，所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D．故选：AC.【变式10】（23-24高一上·江苏盐城·期中）集合满足⫋，则满足条件的集合的个数为.【答案】7【分析】据子集和真子集的定义即可写出所有满足条件的集合，从而求出满足题意的集合的个数．【详解】根据题意，集合至少含有0,2两个元素，但集合，所以满足条件的集合为，共7个，所以满足条件的集合的个数为7，故答案为：7.【变式11】（22-23高一上·北京西城·阶段练习）⫋⫋，这样的共有个.【答案】6【分析】根据真子集的概念写出所有真子集即可得解.【详解】由真子集的定义可知，可取，，，，，，共6个.故答案为：6【变式12】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）满足{1，2，3}⫋M⫋{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】根据条件，列举出满足条件的集合，即可求解.【详解】由题意可知，,,,,,，共有6个集合满足条件.故选：C【变式13】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）满足关系⫋⫋的集合的个数是（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】根据对真子集概念的理解，列举集合的情况即可.【详解】由⫋⫋，得，且三个元素至少一个属于，且至多两个属于.法一：故或或或或或，满足题意的集合共个.法二：问题等价于集合的非空真子集的个数，则共有个.故选：B.要点三、包含关系与属于关系之间的关系问题：包含关系a⊆A与属于关系a∈注：包含关系刻画的是集合与集合间的关系；而属于关系刻画的是元素与集合间的关系要点三：根据集合间的基本关系求参数的取值或取值范围利用集合间的关系求参数的关注点(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值．(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集．易错点：忽视对空集的讨论而致错例一：（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合，，若，则实数（

）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或4【答案】C【分析】根据集合的包含关系即得.【详解】因，，且，故，且，则有或.故选：C【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合A=0,2，B=-1,0,a+3，且A⊆【答案】【分析】由已知，可以得出，就可以求出的值．【详解】解：，集合的元素都属于集合，，必有，．故答案为：故答案为：或或【变式2】已知集合，．若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，满足，此时，解得：；当时，由得：，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故选：C.【变式3】已知集合，．(1)若，求m的取值范围．(2)若，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）若，如图所示，

则，解得，所以m的取值范围为；（2）若，有和两种情况，当时，，解得，当时，如图所示，

则，解得，综上，m的取值范围为．例一：（23-24高一上·吉林·阶段练习）设集合，若是的真子集，则的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别解出集合，利用是的真子集逐个元素判断即可.【详解】因为集合，，当时，，是的真子集，当时，，因为是的真子集，所以或，解得或，故选：B【变式1】（22-23高一上·北京·阶段练习）设，若，则的值为.【答案】或或【分析】先求解出一元二次方程的解，即可得到，再根据考虑是否为，分类讨论的可取值.【详解】因为，所以或，所以，当时，，此时满足，当时，因为，所以，又因为，所以或，所以或.所以的取值为：或或.【变式2】若集合A=-13,12.【思路分析】根据集合中的方程，可得中至多有一个元素，再由集合中的元素可得或或因此分三种情况讨论，分别解方程，即可得到实数的值.【解析】①②③综上所述，的值为0或-3或2【变式3】设集合，集合，若且，则实数.【答案】0或或1【详解】，且，或或．当时，且，解得.则；当时，且，解得.则当时，有，解得.则；所以或或1.故答案为：0或或1【变式4】（22-23高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：(1)；(2)恰有一个元素.【答案】(1)(2)【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围．若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解，则，且，所以，实数m的取值范围是；（2）若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：当时，，满足题意；当时，，所以．综上所述，m的取值范围为知识点总结知识点总结知识点1：Venn图在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(1)表示集合的Venn图边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线;(2)用Venn图表示集合的方法叫图示法,其优点是能直观地表示出集合间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显知识点2：子集定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C知识点3：集合相等一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.知识点4：真子集定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集记法与读法记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示性质：(1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.知识点5：空集的含义(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．注意点：(1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}．要点1：子集、真子集个数的确定假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．求集合的子集的两个关注点(1)要注意两个特殊的子集：∅和自身．(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．要点2：根据集合间的基本关系求参数的取值或取值范围利用集合间的关系求参数的关注点(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值．(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集．易错点：忽视对空集的讨论而致错课后练习课后练习一、单选题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列写法中正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】正确利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系，判断选项即可．【详解】A．，故选项不正确，不符合题意；B．是没有元素的，故，故选项不正确，不符合题意；C．空集是任何集合的子集，故选项正确，符合题意；D．，是集合与集合之间的关系，故选项不正确，不符合题意；故选：C．2．（21-22高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）若集合，则集合A的真子集个数是（

）A．3个 B．4个 C．7个 D．15个【答案】A【分析】根据集合元素个数与真子集个数的关系求出答案.【详解】集合A中有2个元素，则真子集个数为.故选：A3．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知集合，下列式子错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解.【详解】，，故ABD正确；而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误.故选：C4．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可.【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.5.（2022高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合,根据借助于数轴表示，得到不等式组，解之即得.【详解】由题，,由，可得，解得.故选：A6．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据集合的定义求得，再根据集合的包含关系，即可求得.【详解】，又，，故集合为包含元素和，且为的子集，故集合可以为：，则集合的个数是个.故选：B.7．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合，则的子集个数为（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】先确定出集合中元素个数，然后可求子集个数.【详解】因为，集合中有个元素，所以子集个数为个，故选：C.8．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断.【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误；选项，中没有任何元素，即，则错误；选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误；选项，元素为集合中的元素，即，则正确；故选：D.二、多选题9．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的有（

）A．集合的所有真子集为B．若（其中），则C．是等边三角形是等腰三角形D．【答案】BC【分析】根据真子集的定义即可判断A；根据等集的定义即可判断B；根据子集的定义即可判断CD.【详解】集合真子集是，共3个，所以A为假命题；由，知，，则，则B为真命题；等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题；，所以，所以D为假命题．故选：BC.10．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据元