八年级数学下册 讲义（北师大版）第一章第01讲 等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)（原卷版）

第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在中，AB＝AC，知识点02等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为和，则第三边的长为．【变式训练】1．（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）一个等腰三角形有两边分别为和，则周长是．2．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为．题型02根据等腰三角形等边对等角求角的度数【例题】等腰三角形的底角等于，则它的顶角是．【变式训练】1．一个等腰三角形的两条边长分别为和，则第三边的长为．2．已知等腰三角形一个内角的度数为．则这个等腰三角形底角的度数为．题型03根据等腰三角形三线合一进行求解【例题】如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为．

【变式训练】1．如图，在中，，平分并交于点，则．

2．两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，为中点，已知．(1)求的长．(2)求的长．题型04根据等腰三角形三线合一进行证明【例题】如图，点，在的边上，，

(1)若求的度数；(2)求证：【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知，点F是的中点，连接，请判断与的位置关系．2．如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．(1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由；(2)求的度数．题型05根据等角对等边证明等腰三角形【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点在的延长线上，已知平分，．求证：是等腰三角形．【变式训练】1．（2023上·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）如图，平分，，且，请确定的形状并说明理由．2．（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在四边形中，是的平分线，，且．求证：是等腰三角形．

题型06等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E．(1)若，求的度数；(2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形．(3)若平分的周长，的周长为15，求的周长．【变式训练】1．如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．

(1)求证：是等腰三角形(2)若，求线段的长．2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，，(1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由．(2)求重叠部分的面积．一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为（

）．A． B． C． D．或2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在中，为边上的中线，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（

）A．， B．C． D．三个角的度数之比是4．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）一个等腰三角形的周长为，只知其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长为（

）A． B． C． D．或5．（2023上·山东济宁·八年级统考期中）如图，等腰直角三角形中，，D是的中点，于点E，交的延长线于点F，若，则的面积为（

）A．16 B．20 C．48 D．32二、填空题6．（2024下·全国·七年级假期作业）等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是．7．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件：．8．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）“三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成．两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、在槽中滑动，若，则．9．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在中，，，延长至D，使，延长至E，使，连接和，则的度数为．10．（2023上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图，的顶点A，C在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当是等腰三角形时，的度数是．三、解答题11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长．12．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）如图，在和中，，，，与交于点P，点C在上．(1)求证：；(2)若，，求的度数．13．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，在中，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，(1)求的长．(2)求的长．14．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且，(1)求证：是等腰三角形；(2)连接，当，，的周长为时，求的周长．15．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）在中，是的中线，是的平分线，交的延长线于F．(1)若，求的度数；(2)求证：是等腰三角形．16．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，点D、E在的边上，，．

(1)求证：；(2)若，，求的度数．17．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是三角形；（2）如图2，平分，，，则．（3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则．（4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为．（5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是．18．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小