八年级数学下册 讲义（北师大版）第五章第05讲 分式方程(7类热点题型讲练)（解析版）

第05讲分式方程(7类热点题型讲练)1.理解分式方程的概念，并会熟练解分式方程；2.理解增根的概念，会检验分式方程的根；3.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用.知识点01分式方程的概念分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．知识点02分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．知识点03分式方程的增根增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．知识点04分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．题型01分式方程的定义【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）下列方程不是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．【详解】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程，不符合题意；B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程，不符合题意；C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程，符合题意；D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程，不符合题意；故选：C．【变式训练】1．已知方程：，，，这四个方程中，分式方程的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，即可．【详解】解：是分式方程；，是分式方程；，是分式方程；，不是分式方程；∴上述分式方程的个数是：个．故选：B．【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的定义，学会判断分式方程．2．（2023下·上海·八年级专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．【详解】解：①，是分式方程；②，是整式方程；③，是分式方程；④，是整式方程，则分式方程的个数是2．故选：C．【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．题型02解分式方程【例题】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】本题考查了解分式方程：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：，去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解；（2）解：，去分母得：，即，解得：，当时，，经检验是增根，分式方程无解．【变式训练】1．（2023上·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键；（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；【详解】（1）解：，去分母得：，整理得：，解得：，检验：当时，，∴是原方程的根；（2），∴，去分母得：，整理得：，解得：，检验：当时，，∴是方程的增根，原方程无解．2．（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)无解【分析】本题主要考查了解分式方程，对于（1），根据去分母，移项，合并同类项，求出解，并检验；对于（2），根据去分母，去括号，移项合并同类项，求出解，并检验．【详解】（1）去分母得：，移项，合并同类项，得，解得：，经检验：是分式方程的解；（2）去分母得：，去括号得：，移项合并得：，解得，.经检验：是增根，分式方程无解.题型03已知分式方程的增根求参数【例题】（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．【答案】【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【变式训练】1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程有增根，则m的值是_____．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：去分母得：，解得，由分式方程有增根，得到，即，∴，解得：．故答案为：．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的分式方程有增根，则的值为___________．【答案】或【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【详解】解：，当，即或时，分式方程有增根，当时，，解得；当时，，解得；故m的值是或，故答案为：或．【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键．题型04已知分式方程的无解求参数【例题】（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）如果关于x的方程无解，则a的值为___．【答案】1或2【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．【详解】解：将方程两边同时乘以，得：，整理得：，∵该分式方程无解，∴或，∴或，故答案为：1或2．【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．【变式训练】1．（2023春·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于的方程有增根，则增根是______．②若关于的方程无解，则的值为______．【答案】42或3【分析】根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可；分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出a的值即可．【详解】解：①∵分式方程有增根，∴，∴，故答案为：4；②去分母得：，移项得：，合并同类项得：，当，即时，无解，分式方程无解；当时，系数化为1得：，∵分式方程有增根，∴，即，∴，解得，经检验，是的解，∴，综上可知，或，故答案为：2或3；【点睛】本题主要考查了分式方程有增根的情况，熟知分式方程有增根的情况是分式方程分母为0．2．（2023·安徽滁州·校联考二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为______．【答案】或或【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．【详解】解：去分母得：，可得：，当时，一元一次方程无解，此时；当，时，分式方程无解，解得：或；故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论不要漏解是解题关键．题型05根据分式方程解的情况求值【例题】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）若关于x的分式方程的解是正数．则m的取值范围是________．【答案】且【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，即可确定出m的范围．【详解】解：去分母得：，解得：，∵分式方程解为正数，∴，且，解得：且，故答案为：且．【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．【变式训练】1．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．【答案】且【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答．【详解】解：解，可得，的方程的解为非负数，，解得，，，即，的取值范围是且，故答案为：且．【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值是_____．【答案】6或9【分析】先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，∵，即，∴，∴，∵分式方程有正整数解，∴正数m的值是6或9．故答案为：6或9．【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出方程的解为是解题的关键．题型06列分式方程【例题】（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧吨煤，则根据题意列方程为___________．【答案】【分析】设甲厂每天烧吨煤，则乙厂每天烧吨煤，根据甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同列出方程即可．【详解】解：设甲厂每天烧吨煤，则乙厂每天烧吨煤，根据题意得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系式，并用未知数表示出等量关系式．【变式训练】1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______．【答案】【分析】设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，根据“实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同”列出分式方程即可．【详解】解：设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，根据题意，得．故答案为：．【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______．【答案】【分析】根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可．【详解】解：设规定的时间为天，则慢马送的时间为天，快马送的时间为天，根据题意，得，故答案为：．【点睛】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键．题型07分式方程的实际应用【例题】（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【答案】该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，根据题意可得等量关系：4G下载960兆所用时间-5G下载960兆所用时间秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，由题意得：，解得：，经检验：是原分式方程的解，且符合题意，则，答：该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆．【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，再根据题意找出下载960兆的公益片所用时间的等量关系．【变式训练】1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．【答案】今年龙虾的平均亩产量．【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，由题意得，，解得，经检验，是分式方程的解且符合题意，答：今年龙虾的平均亩产量．【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

(1)甲、乙两公司各有多少人？(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人(2)有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．【详解】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人，由题意得，解得．经检验，是原方程的解．∴．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）解：设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得，整理得．又因为，且、为正整数，所以，．答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资．【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．一、单选题1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）分式方程的解是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．【详解】解：原方程去分母得：，去括号得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：，检验：将代入得，故原方程的解为，故选：C．2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；根据分式方程的定义逐个分析判断即可．【详解】分母中含有未知数，故是分式方程；分母中不含有未知数，故不是分式方程；关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程；综上所述：是分式方程的有1个；故选：A．3．（22-23八年级上·山东威海·期末）解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的知识，理解并掌握解分式方程的方法是解题关键．等式两边同时乘以，即可获得答案．【详解】解：解分式方程时，去分母后得到的整式方程是．故选：A．4．（23-24九年级上·山东淄博·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是令最简公分母为0，求出增根．首先分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，确定x的值，把x的值代入整式方程计算即可．【详解】整理得：，去分母，得：，即，原分式方程有增根，，即，当时，，，故选：A5．（23-24九年级下·福建福州·开学考试）学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米／时，那么满足的分式方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，可得比赛时小亮平均速度为千米/时，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟即小时，列出方程即可．【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，小亮训练前的平均速度为x千米/时，∴比赛时小亮平均速度为千米/时，根据题意可得，故选：A．二、填空题6．（23-24九年级下·北京·阶段练习）方程的解是．【答案】【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验．【详解】解：，，经检验：是原方程的解，∴原方程的解为．故答案为：．7．（2023·山东菏泽·二模）若关于的分式方程无解，则的值是．【答案】1或/或1【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确求解分式方程是解题关键．【详解】解：方程两边同时乘以得：，解得：∵分式方程无解，∴或或解得：1或故答案为：1或8．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查了解分式方程以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算分式方程得出且，结合解是非负数，列式，即可作答．【详解】解：原方程去分母得：，解得：，∵，∴，∴，∴，∵关于x的分式方程的解是非负数，∴，即，解得：，又∵，∴m的取值范围是且故答案为：且9．（2023·四川内江·二模）对于实数，，定义运算“”如下：，例如．若，则的值为．【答案】【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．已知等式利用题中的新定义化简，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：已知等式变形得：，即，解得：，经检验是分式方程的解，则的值为．故答案为：．10．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）若关于的一元一次不等式组有且仅有个奇数解，且关于的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数的值之和为．【答案】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，先求出一元一次不等式组的解，得到，根据一元一次不等式组有且仅有个奇数解，得到，即可得到，又根据分式方程的解是整数，可得到整数的值，相加即可求解，由分式方程的解确定出的值是解题的关键．【详解】解：解不等式组得，，∵一元一次不等式组有且仅有个奇数解，∴这个奇数解为和，∴，解得，由分式方程得，，∵分式方程的解是整数，∴，∵，∴，∴，∴，∴满足条件的所有整数的值之和为，故答案为：．三、解答题11．（23-24八年级下·全国·课后作业）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)(2)无解【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．（1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．（2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】（1）方程两边乘，得，解得．检验：当时，，所以原分式方程的解为．（2），方程两边乘，得，解得．检验：当时，．因此不是原分式方程的解，所以原分式方程无解．12．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）解下列分式方程(1)(2)【答案】(1)(2)无解【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．（1）方程两边同乘，然后可求解方程；（2）方程两边同乘，然后可求解方程．【详解】（1）解得检验：将代入∴原方程的解为；（2）解得检验：将代入∴是原方程的增根∴原方程无解．13．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程无解，求a的值．【答案】3或或【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，分两种情况求解是解答本题的关键．①去分母后所得整式方程无解；②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原方程化为整式方程，求出未知数的值代入该整式即可的到k的值．【详解】解：方程两边都乘，得，整理，得．①当，，即时，方程①无解，则原方程无解；当，即时，∵原分式方程无解，∴，即或．把代入①，得，把代入①，得．综上，a的值为或3或．14．（23-24八年级·全国·随堂练习）阅读下列材料：方程的解为，方程的解为x=2，方程的解为，……(1)根据上述规律，可知解为的方程为_________；(2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查根据分式方程的特点与解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征．（1）由具体的分式方程发现左右两边分母之差为1，再结合方程的解构建方程即可；（2）先把方程的左右两边通分计算减法运算，再去分母解方程并检验即可．【详解】（1）解：∵方程的解为，方程的解为，方程的解为，∴解为的方程为：（2）方程可变形为，∴，∴，∴，解得．检验：当时，，∴是原分式方程的解．15．（2023·云南红河·一模）“母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束元、元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的倍，若消费者用元购买百合的数量比用元购买康乃馨的数量少束．(1)求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；(2)花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低元，康乃馨的售价每束降低元．求花店应如何进货才能获得最大利润．（假设购进的两种鲜花全部销售完）【答案】(1)康乃馨的售价为每束元，百合的售价为每束元