八年级数学下册 讲义（北师大版）第五章第04讲 解题技巧专题：分式的混合运算及规律和新定义问题(7类热点题型讲练)（解析版）

第04讲解题技巧专题：分式的混合运算及规律和新定义问题(7类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一分式的混合运算问题】 1【考点二分式的混合运算错解复原问题】 6【考点三分式的混合运算先化简求值问题】 11【考点四分式的混合运算规律探究问题】 14【考点五分式的混合运算“倒数法”求值问题】 17【考点六分式的混合运算新定义型问题】 19【考点七分式的混合运算假分数问题】 24【考点一分式的混合运算问题】例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；（1）根据分式的减法及乘法可进行求解；（2）根据分式的混合运算可进行求解．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式训练】1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的化简；（1）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的运算，同时把除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可；（2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的运算，然后把除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则；（1）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．（2）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【详解】（1）（2）．3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(7)；(8)．【答案】(1)0(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．（1）先化简然后运用同分母分式的运算法则解题即可；（2）先把除法转化为乘法，然后约分解题即可；（3）先运算括号，然后运算除法解题即可；（4）先利用记得乘方，然后运用同底数幂的乘法计算，最后利用负整数指数的运算解题即可；（5）先把看成整体通分解题即可；（6）先运算分式的除法和分式的约分，然后进行同分母的分式的加减解题即可；（7）先约分，然后通分，最后运算除法解题即可；（8）先把除法转化为乘法，利用乘法分配律解题即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【考点二分式的混合运算错解复原问题】例题：（23-24八年级上·河南商丘·期末）以下是某同学化简分式的部分运算过程：解：原式①②③……解：(1)上面的运算过程中第步出现了错误；(2)选择一个你喜欢的x的值代入求值．【答案】(1)③；(2)；【分析】本题考查了分式的混合计算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．（1）根据上述解题步骤分析解答即可．（2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简．【详解】（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为∶③；（2）原式当时，．故答案为：；．【变式训练】1．（2023·贵州遵义·一模）以下是小明化简分式的过程．解：原式第一步第二步第三步第四步(1)小明的解答过程在第______步开始出错；(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)二(2)．【分析】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．（1）直接利用分式的混合运算法则判断得出答案；（2）直接利用分式的混合运算法则化简，进而得出答案．【详解】（1）解：原式第一步，第二步，∴小明的解答过程在第二步开始出错；（2）解：原式．2．（2023·贵州遵义·一模）下列是某同学化简分式的部分过程：解：原式第一步；第二步；第三步；(1)上面的化简过程从第______步开始出现错误；(2)请你写出完整的解答过程．【答案】(1)二(2)见解析【分析】（1）根据分式混合运算的法则可知第二步出现错误；（2）先算括号里面的，再算除法即可．本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．【详解】（1）第二步出现错误．故答案为：二；（2）原式．3．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下面是亮亮进行分式化简的过程：解：原式

第一步

第二步

第三步

第四步

第五步．

第六步(1)第二步的依据是______；(2)亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；(3)请写出正确的化简过程；(4)在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．【答案】(1)分式的基本性质(2)四；括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号(3)(4)在分式化简的过程中，还需要注意的事项有：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）【分析】本题考查分式的混合运算，（1）根据分式的基本性质，即可解答；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；（3）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；（4）根据分式的混合运算以及化简，即可解答；掌握分式的基本性质及运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：第二步的依据是分式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；（2）亮亮从第四步开始出现错误，该步错误的原因是括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号，故答案为：四；括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号；（3）；（4）在分式化简的过程中，还需要注意的事项有：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）．4．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．……第一步……第二步……第三步……第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【答案】任务一：①一，分式的基本性质；②二，去括号没有变号；任务二：．【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．任务一：①根据通分的定义判断即可；②根据去括号法则判断即可；任务二：根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的基本性质，故答案为：一，分式的基本性质；②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号，故答案为：二，去括号没有变号；任务二：．【考点三分式的混合运算先化简求值问题】例题：（23-24八年级上·四川广元·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、通分、分式混合运算、约分、负整数指数幂、零指数幂等知识，先利用分式混合运算化简，再将运算后的代入求值即可得到答案，熟练掌握分式的化简求值是解决问题的关键．【详解】解：，，原式．【变式训练】1．（2024·新疆克孜勒苏·二模）先化简再求值：，其中．【答案】，3【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．【详解】解：，当，原式．2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）先化简，再从四个数中，选取一个恰当的数进行求值．【答案】，当时，原式．【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再把代入到化简后的式子进行计算即可求解，掌握分式的性质及运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，，，，，当时，原式．3．（23-24八年级上·山东德州·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．先根据分式的混合运算将式子化简，再将计算出的x的值代入计算即可．【详解】解：原式，

，，当时，原式．4．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）先化简，再求值，，其中满足．【答案】，．【分析】本题考查了分式的化简求值及整体代入求值，首先根据分式的混合运算进行运算，得到最简分式，再由代入即可求解，准确化简分式是解题的关键．【详解】解：原式，，，，∵，∴，∴原式．【考点四分式的混合运算规律探究问题】例题：（2023七年级上·福建·专题练习）观察下列计算，，，，(1)第5个式子是；第个式子是．(2)从计算结果中找规律，利用规律计算．(3)计算．【答案】(1)；(2)(3)【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可；（2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果；（3）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果．【详解】（1）解：第5个式子是；第个式子是；故答案为：；；（2）解：原式；（3）解：原式．【变式训练】1．（22-23九年级上·安徽·开学考试）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：_________；(2)写出你猜想的第个等式：_________用含的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）通过前4个等式的规律可得此题结果；（2）结合（1）题结果进行证明．【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为，故答案为：；（2）由（1）题规律可得，第个等式为，证明:，，故答案为：．【点睛】此题考查了解决数式变化规律问题的能力，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律．2．（2023·安徽合肥·三模）观察以下等式：第1个等式：，第2－个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：__________________；(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)，见解析【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可．【详解】（1）解：（2）左边右边∴左边右边．【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．3．（2023·安徽·一模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________________(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)；证明见解析【分析】（1）根据已知等式括号外的分数和括号内的分数的规律得第六个等式；（2）根据（1）的规律列等式，再由分式的化简证明；【详解】（1）解：；（2）；证明：左边右边，所以原等式成立；【点睛】本题考查了数字的规律变化，分式的化简；找到等式中分数的变化规律是解题关键．【考点五分式的混合运算“倒数法”求值问题】例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读与理解阅读下列材料，完成后面的任务．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：若，求代数式的值．解：∵，∴，∴，∴．任务：已知．(1)求的值．(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的混合运算；（1）把式子变成其倒数形式，然后约分即可；（2）对取倒数为，由（1）求出，然后计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）对取倒数为，由（1）得，∴，∴，∴．【变式训练】1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求的值．解：由知，所以，即．因此，所以的值为．该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值．【答案】【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据题意求出的值，再求出代数式倒数的值，进而得出结论．【详解】解：由知，即，．【考点六分式的混合运算新定义型问题】例题：（23-24八年级上·山东德州·期末）定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即，则称分式P与分式Q互为“关联分式”．如与，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．(1)请通过计算判断分式是不是分式的“关联分式”．(2)求分式的“关联分式”．【答案】(1)见解析(2)或【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础；（1）根据“关联分式”的定义判断即可；（2）①设分式为P，则其关联式为Q，则有，计算Q即可；②设为Q，则其关联式为P，则有，计算P即可；【详解】（1）解：证明：若和为关联分式，则必须满足，故：，，∴，故分式是分式的“关联分式”；（2）已知题意：，①设为P，则其关联式为Q，，，，，故其关联式为．②设为Q，则其关联式为P，，，，，故其关联式为．综上，分式的“关联分式”为或．【变式训练】1．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”．(1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由；(2)已知分式，且E是F的“最友好分式”．①求P（用含x的式子表示）；②若为定值，求m与n之间的数量关系．【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由见解析(2)①，②【分析】本题主要考查新定义下分式的混合运算和解一元一次方程，（1）根据“最友好分式”的定义，计算的值即可；（2）①根据题意得，结合E是F的“最友好分式”可求得；②当时，化简得，设，可得，结合定值得且，即可求得m和n之间的关系．【详解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由：∵∴C是D的“最友好分式”；（2）①∵分式，且E是F的“最友好分式”，∴，解得；②当时，，设，∴，∴，∵为定值，∴且，由解得，把代入，得∴．2．（23-24八年级上·河南信阳·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①；②；③．(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)应用：先化简，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？【答案】(1)①③(2)(3)时，该式的值为整数【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解题的关键．（1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答；（2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答；（3）将原式化简为，再变形为，从而可得当或时，分式的值为整数，进而可得，，或1，然后根据分式有意义时，，，，，即可解答．【详解】（1）解：①；②；③；上列分式中，属于“和谐分式”的是①③，故答案为：①③；（2）解：．（3）解：，当或时，分式的值为整数，，0，或，分式有意义时，，，，，，时，该式的值为整数．3．（23-24八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”．(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）①；

②；

③；

④．(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由．【答案】(1)①③④；(2)；(3)是美好分式，理由见解析．【分析】本题主要考查了分式的混合运算、新定义等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．（1）根据“美好分式”的意义逐个判断即可；（2）依先对分子进而变形，然后根据题意化简即可；（3）首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据“美好分式”的定义判断即可．【详解】（1）解：①由，则①属于“美好分式”；②分式分子的次数低于分母次数，不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则②不属于“美好分式”；由，则③属于“美好分式”；④则④属于“美好分式”；故答案为：①③④；（2）解：．（3）解：的化简结果是“美好分式”，理由如下：∵，∴的化简结果是“美好分式”．【考点七分式的混合运算假分数问题】例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）如：；解决下列问题：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式化为带分式；(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】(1)真(2)(3)或【分析】本题考查了分式的混合运算；（1）根据材料中“真分式”和“假分式”的定义进行判断即可；（2）根据题中所给方法，利用分式的性质计算即可；（3）先将分式化为带分式，再根据题意得出，然后分别计算即可．【详解】（1）解：∵分式中分子的次数小于分母的次数，∴分式是真分式，故答案为：真；（2）；（3），∵x为整数，分式的值为整数，∴，∴或．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：．解决下列问题：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式化为带分式；(3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数．【答案】(1)真；(2)；(3)．【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键．（1）根据“真分