八年级数学下册 讲义（北师大版）第三章第04讲 难点探究专题：旋转中的常见类型(5类热点题型讲练)（原卷版）

第04讲难点探究专题：旋转中的常见类型(5类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【类型一线段绕某点旋转综合问题】 1【类型二直角三角形绕点旋转综合问题】 14【类型三等腰直角三角形绕点旋转综合问题】 22【类型四等边三角形绕点旋转综合问题】 37【类型一线段绕某点旋转综合问题】例题：（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接．(1)求证：．(2)若，求四边形的面积．【变式训练】1．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，等边三角形内一点D，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接．(1)请判断的形状__________，并写出判断的依据__________；(2)若，求的度数．2．（23-24八年级上·四川成都·期末）（1）【问题】如下图，中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则线段，之间满足的数量关系式为______；直线，相交所夹的锐角的度数为______；（2）【探索】如图2，中，，，D为外一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长，交于点F．试问：（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）【应用】在（2）的条件下，，．求四边形的面积．3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）实践与探究点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题开展数学学习活动．在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．(1)操作发现①当点D在线段上时，如图1．请你直接写出与的位置关系______；②请写出线段、、的数量关系，并进行证明．(2)猜想论证当点D在直线上运动时，如图2，点D在射线上．请写出线段、、的数量关系______；(3)拓展延伸如图3，点D在射线上．若，，请求出的面积．4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在中，，，D在边上运动（点D不与B，C重合），连接，把线段绕点A顺时针旋转后得到，连接，交于点F．(1)如图1，求证：；(2)如图1，当时，请用等式表示线段，，三者之间的数量关系，并加以证明；(3)如图2，若，G为中点，连接，四边形的面积是否会改变？若会改变请说明理由，若不会改变，请求出它的面积．5．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）在中，，以为斜边作，，再将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于点，点．(1)如图1，在右侧，，，求的面积；(2)如图2，在右侧，点是的中点，求证：；(3)如图3，在左侧，的延长线过的中点，当点在的中垂线上时，交于点，直接写出的值．【类型二直角三角形绕点旋转综合问题】例题：（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，交于点．若，求：(1)的长；(2)的面积．【变式训练】1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上．(1)求的值；(2)若，求的长度．2．（22-23九年级上·四川德阳·期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．(1)求证：平分；(2)试判断与的位置关系，并说明理由；(3)若，，求的面积．3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为，，分别交于点F，G，连接．

(1)求证：；(2)若，，．①求的长；②连接，，，求四边形的面积．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，把两个完全相同且有一个角为的直角三角板重合在一起，将固定，将绕直角顶点C顺时针方向旋转．

(1)如图2，当B，D，E三点在同一条直线上时，求旋转角α的度数；(2)在（1）的条件下，连接，请判断和的面积的数量关系，并说明理由．5．（23-24九年级上·天津河北·期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，把绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为，记旋转角为．

(1)如图①，当时，求的长；(2)如图②，当时，求点的坐标；(3)K为线段上一点，且，S为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）．【类型三等腰直角三角形绕点旋转综合问题】例题：（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图1，把两个大小不同的等腰直角三角形，如图所示摆放，使得点D、A、B在同一直线上，连结，．

(1)求证：；(2)如图2，将绕着点A顺时针旋转某个角度后，使得点B、C、E在同一直线上，与交于点O．①求证：；②求证：；③连结，如图3，若，求的面积．【变式训练】1．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）把两个等腰直角三角形和按图1所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为．

(1)如图1，与的数量关系是______，与的位置关系是______；(2)如图2，（1）中与的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)当旋转角______填度数时，的面积最大．2．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，，分别为，的中点，将绕点逆时针方向旋转得到（如图），使直线恰好过点，连接．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)求的长；(3)若将绕点逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值．3．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践将一块含角的大直角三角板和一块含角的小直角三角板按如图1所示的方式摆放．如图2，将绕点逆时针旋转，连结．

(1)求证：．(2)在旋转的过程中，如图3，当三点共线时，设与交于点．①试判断的形状，并说明理由；②若是的中点，请直接写出和的面积关系．4．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）．(1)当为_________度时，，并在图3中画出相应的图形；(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系；(3)当旋转速度为秒时．且它的一边与平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒．(1)当秒时，；(2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值；(3)当边与边、分别交于点M、N时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说明理由．6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点重合，，，．(1)用数学的眼光观察．如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由；(2)用数学的思维思考．如图2，连接，，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由；(3)用数学的语言表达．如图3，延长至点，满足，然后连接，，当，，绕点旋转得到，，三点共线时，求线段的长．【类型四等边三角形绕点旋转综合问题】例题：（23-24九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边中，点D是等边内一点，连结，，将绕点A逆时针旋转得到，连结，观察发现：与的数量关系为，度；【尝试应用】：如图2，在等腰中，，，点D是内一点，连结，，，，，，求面积．【拓展创新】：如图3，在等腰中，，，点D为平面内一点，且，，则的值为．

【变式训练】1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、．(1)在图①中证明；(2)如图②，当时，连接，求的面积；(3)在的旋转过程中，直接写出的面积S的取值范围．2．（20-21九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F．(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______．(2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．(3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围．3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，和都为等边三角形，点、分别为、的中点．(1)当点、分别在、上时（如图），求证：；为等边三角形；(2)绕点逆时针方向旋转，当点、、共线时（如图），（）中的结论是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转，当点在上时（如图），（）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．4．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践【模型感知】手拉手