八年级数学下册 讲义（北师大版）第六章第6讲 解题技巧专题：平行四边形中线段和最值之将军饮马模型(2类热点题型讲练)（原卷版）

第6讲解题技巧专题：平行四边形中线段和最值之将军饮马模型(2类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一两条线段和的最小值】 1【考点二多条线段和（周长）最小值】 10【考点一两条线段和的最小值】模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。上图中A’是A关于直线m的对称点。例题：（2024·江苏南通·一模）如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为．【变式训练】1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，是边长为6的等边三角形，点D在边上，且，线段在边上运动，，则的最小值为．2．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为．3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，对角线于点O，若，，则的最小值为．

4．（22-23八年级下·贵州黔东南·期末）如图，平行四边形中，，E是边上一点，且是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是．

5．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过点D作的垂线，F为垂线上任意一点，连接，G为的中点，连接，则的最小值是．6．（22-23八年级下·四川成都·期中）在中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为．

【考点二多条线段和（周长）最小值】模型2.求多条线段和（周长）最小值【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）台球两次碰壁模型1）已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.2）已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.【最值原理】两点之间线段最短。例题：（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，，．连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点P在点的左侧）在线段上运动，，连、，则的最小值为．【变式训练】1．（23-24九年级上·山东临沂·期末）已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为.2．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为．

3．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，中，，，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为．4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为．

5．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是