八年级数学下册 讲义（北师大版）第六章第04讲 多边形的内角和与外角和(7类热点题型讲练)（解析版）

第04讲多边形的内角和与外角和(7类热点题型讲练)1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；(重点)2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点)知识点01多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．凸多边形凹多边形凸多边形凹多边形3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：特别说明：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．知识点02多边形内角和n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．特别说明：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；知识点03多边形的外角和多边形的外角和为360°．特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．题型01多边形内角和问题【例题】（2024·辽宁·模拟预测）一个八边形的内角和是．【答案】【分析】本题考查了多边形内角和定理，直接套用多边形的内角和进行计算可求八边形的内角和，【详解】解：内角和：．故答案为：【变式训练】1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一个多边形的内角和是，则这个多边形是边形．【答案】18【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式列方程求解即可．【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得，∴．故答案为：18．2．（2024·河北邯郸·一模）已知一个正边形的内角和与外角和的差为，则．【答案】【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解一元一次方程，根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键．【详解】解：由题知，正边形的内角和为，正边形的外角和为，又∵正边形的内角和与外角和的差为，∴，解得：，故答案为：．题型02多边形对角线的条数问题【例题】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画条．【答案】/七【分析】此题主要考查了多边形对角线，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线进行计算即可，解题的关键是熟练掌握计算公式．【详解】解：从十边形一个顶点画对角线能画（条），故答案为：．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）六边形的内角和为，外角和为，它共有条对角线．【答案】/720度/360度9【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，外角和定理，多边形对角线条数问题，对于n边形，其内角和为，外角和为，对角线条数为，据此求解即可．【详解】解；六边形的内角和为，外角和为，它有条对角线故答案为：；；9．2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则．【答案】11【分析】本题考查了多边形的对角线的条数与边数的关系，代数式求值，根据多边形的边数与对角线的条数的关系求出a，b的值，代入求解即可．【详解】解：由题意可知：，，，故答案为：11．题型03多边形截角后的边数问题【例题】（22-23八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是．【答案】3或4或5【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变．【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形．故答案为：3或4或5．【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况．【变式训练】1．（21-22八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为．【答案】14或15或16【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，∴此时原多边形的边数为；如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，∴此时原多边形的边数为15；如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，∴此时原多边形的边数为；综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．故答案为：14或15或16．【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．2．（22-23八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是边形．【答案】六或七或八【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得：，解得：，如图，剪切有下列三种情况：①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形；②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形；③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。故答案为：六或七或八。【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键．题型04多边形截角后的内角和问题【例题】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题．【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或，其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为，得到的多边形的内角和是或或，故选：D．【变式训练】1．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）小明将一个五边形用剪刀沿直线剪去一个角，将这个五边形分成两个多边形，那么关于这两个多边形所有的内角的和与原五边形的内角和相比，下列说法中不可能的是（

）A．减少180° B．不变 C．增加180° D．增加360°【答案】A【分析】按照题意画出图形逐一判断即可解题．【详解】如图，减去一个角，变为一个三角形和一个六边形，内角和增加；如图，减去一个角，变为一个三角形和一个五边形，内角和增加；

如图，减去一个角，变为一个三角形和一个四边形，内角和，内角和不变；

综上所述内角和不会减少180°，故选A．【点睛】本题考查多边形截角后的内角和问题，分情况画图讨论是解题的关键．2．（22-23八年级下·浙江·单元测试）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（）A．增加 B．减少C．不变 D．不变或增加或减少【答案】D【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．【详解】解：四边形，截一刀后得到的新多边形可能是四边形，五边形，三角形，新多边形的内角和将不变或增加或减少．故选：D．【点睛】本题考查了多边形．能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．题型05多边形外角和的实际应用【例题】（22-23八年级下·浙江杭州·期末）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了多边形的外角和定理，邻补角的性质，由多边形的外角和定理可得，进而根据邻补角性质即可求出的度数，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．【详解】解：由多边形的外角和定理可得，，∵，∴，∴，故选：．【变式训练】1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键．【详解】解：等边三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正五边形的每个内角为，如图，

∵的外角和等于，∴，即，∴，∵，，∴，故选：．2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了多边形的外角和，任意多边形的外角和均为，延长交于点，可得据此即可求解．【详解】解：延长交于点，如图所示：∵任意多边形的外角和均为，且的和为，∴即：∴故选：D题型06多边形内角和与外角和综合【例题】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中，(1)若，请求的度数；(2)试求出及五边形外角和的度数．【答案】(1)(2)，五边形外角和的度数是【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质可进行求解；（2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：五边形中，，∵，，，∴；五边形外角和的度数是．【变式训练】1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．

(1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______．(2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：．(3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______．【答案】(1)，；(2)见解析；(3)．【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）．（1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案；（2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论；（3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案．【详解】（1）解：∵，，∴；∵，，∴故答案为：，；（2）证明：∵，，∴，∴．（3）解：∵n边形的某一个外角的度数是，∴与这个外角相邻的内角是，∵与这个外角不相邻的所有内角的和是，∴，整理得：，故答案为：．2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空：（1），；（2）______；【应用】（3）如图②．求的度数；【拓展】（4）如图③，若，则的大小为度．

【答案】（1），；（2）；；（3）；（4）【分析】本题考查了多边形的外角和以及外角和的求法，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键．（1）利用三角形外角性质即可求出；（2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可；（3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果；（4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果．【详解】解：（1）∵是三角形的外角，∴，∵是三角形的外角，∴．故答案为：，．（2）∵，，∴，故答案为：；．（3）∵，，∴；（4）如图，连接并延长，

根据三角形外角性质可得：，同理可得：，∵，∴，故答案为：．题型07平面镶嵌【例题】（2023·山东青岛·模拟预测）如图是一种特殊的五边形，3个这样的五边形可以密铺拼成一个正六边形．若，则．

【答案】/95度【分析】本题考查了多边形的内角和定理．根据多边形的内角和定理分别求得和的度数，进一步计算即可求解．【详解】解：根据正六边形的性质得，∴3个这样的五边形可以密铺，∴，∵五边形的内角和为，∵，∴，故答案为：．【变式训练】1．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是．【答案】【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的每一个内角都相等，根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，∴，∴这块正多边形地砖的边数是：，解得：，故答案为：．2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）．(1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）；(2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数．【答案】(1)②或④，(2)．【分析】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．（1）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可；（2）求出正五边形的三个内角和，再用减掉即可．【详解】（1）解：正三角形一个内角是，正方形的一个内角是，正五边形的一个内角是，正六边形的一个内角是，∴可以进行地面的镶嵌是②或④．（2）解：正五边形的每个内角度数为．所以，．一、单选题1．（2024·北京东城·一模）正八边形每个内角的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系．根据正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，根据多边形的外角和为，进而求得一个外角的度数，即可求得正八边形每个内角度数．【详解】解：∵正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，一个外角等于：，∴内角为，故选：B．2．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（

）边形A．六 B．五 C．四 D．三【答案】C【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，多边形的外角和，解题的关键是要能列出一元一次方程．根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多边形的边数．【详解】解：设这个多边形的边数是n，则，解得，即这个多边形是四边形．故选：C．3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和公式的应用是解题关键．根据多边形的内角和公式为列出方程，求出边数，再根据外角和定理求出这个多边形的一个外角．【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意列方程：解得，，故选：A．4．（2024·河北保定·一模）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（

）A．外角和减少 B．外角和增加 C．内角和减少 D．内角和增加【答案】D【分析】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．根据n边形的内角和公式，多边形外角和都是，求解即可．【详解】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则五边形的内角和为：六边形的内角和为：，，五边形六边形的外角和都是，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，内角和增加，外角和不变，故选：D．5．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的性质、多边形的内角和，根据四边形的内角和为求得，再根据角平分线的性质及邻补角得得度数，进而可求解，熟练掌握四边形的内角和为是解题的关键．【详解】解：∵，，．又的角平分线与的外角平分线相交于点P，，，故选B．二、填空题6．（2024·广东潮州·一模）图（1）是一张六角発，其俯视图为正六边形[图（2）]，则该六边形的每个内角为．

【答案】120【分析】本题主要考查了多边形的内角和，先求出正六边形的内角和，然后求出每个内角的度数即可．【详解】解：该六边形的每个内角为：．故答案为：120．7．（2024·陕西咸阳·二模）已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线．【答案】9【分析】此题主要考查了多边形的外角和以及内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．首先根据多边形外角和求出内角和的度数，再利用内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．【详解】解：多边形的外角和都是，内角和等于，设这个多边形有条边，，解得：，从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线．故答案为：9．8．（2024·陕西榆林·二模）某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为°．【答案】【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数．先算出正五边形的每个内角的度数，让减去个内角的度数和的差除以即可．【详解】正五边形内角和为，正五边形每个内角是，∴．故答案为．9．（2024·广东江门·模拟预测）春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的（不重叠，无缝隙），则的度数是．【答案】/15度【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）和正多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正六边形的每个内角为，即可求，正方形每个内角为，即可求，进而求的大小，根据即可求的度数．【详解】解：∵正六边形的每个内角为，正方形每个内角为，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．10．（2024·河北邢台·一模）如图，在正六边形中，P、Q点分别是、的中点，点M从点P出发，沿向终点Q运动，在运动过程中，若（1）点M在边上；（2）若，则．【答案】3【分析】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理：（1）根据点的移动路线，结合正六边形的特点，即可得出答案；（2）过点作，利用三线合一和含30度角的直角三角形，求出的长，再过点作，利用三线合一和含30度角的直角三角形，求出的长，即可．【详解】解：当时，点为的中点，理由如下：当点为的中点时，∵正六边形，∴，，∵P、Q点分别是、的中点，点为的中点，∴，∴，∴；故答案为：；（2）过点作，点作，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，同法可得：；故答案为：3．三、解答题11．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数；（2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数．【答案】（1）9（2）11【分析】本题主要考查了求多边形的边数，多边形内角和和外角和定理以及一元一次方程的应用．（1）设这个多边形的边数为n，利用一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多列一元一次方程求解即可得出答案．（2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为，根据题意，列一元一次方程求解出x，再利用多边形外角为即可求出答案．【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n，根据题意，得，解得，所以这个多边形的边数为9．（2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为，根据题意，得，解得．∴，所以这个多边形的边数为11．12．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在五边形中，．(1)求的度数；(2)试说明：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为以及平行线的判定．（1）利用n边形的内角和定理得到，再把已知角代入得到，而，即可求出的度数；（2）易得，根据平行线的判定即可得到．【详解】（1）解：∵，∴，而，且，∴，∵．∴；（2）解：．理由如下：∵，∴，∴．13．（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，

(1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由．(2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和．【答案】(1)能，小东一共走了(2)正六边形，正六边形的内角和为【分析】本题考查的是多边形的外角和定理应用，内角和定理的应用，理解题意是解本题的关键；（1）由每次向左转，结合回到出发点共转过可得答案；（2）由形成的六边形的每一条边都相等，每一个角都相等，可得多边形的形状，再求解内角和即可．【详解】（1）解：∵从点出发，每走向左转，，小东一共走了：（）；（2）∵由（1）得多边形有六条边，且每一条边都相等，由每个外角都为，可得六边形的每一个角都相等，∴走过的路径是一个边长为的正六边形；∴正六边形的内角和为：．14．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知：如图，四边形中，，平分，交于点E，，交于点F．(1)求的度数；(2)写出图中与相等的角并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】