河南省南阳市内乡县实验高级中学2025届高三上学期学习效果检测数学试题（解析版）

45届高三学习效果检测——数学试题命题人：审核人：时长：120分钟总分：150分难度系数0.6第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每题5分，共8题）1.下列关系中正确的个数为（）①，②，③④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得.【详解】对于①，显然正确；对于②，是无理数，故②正确；对于③，是自然数，故③正确；对于④，是无理数，故④错误.故正确个数为3.故选：C.2.设集合，，若，则（）．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.3.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】由题意可知函数定义域为，即，故，则的定义域为，则对于，需满足，即的定义域为，故选：C4.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.5.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围．【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；③当时，,的区间长度大于3，若,的区间长度，即．若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，，此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，故，即，结合可得．综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．故选：D．【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解.6.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D7.函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解.【详解】因为对任意，都有成立，可得在上是单调递减的，则，解得.故选：A8.已知且，若集合，且﹐则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合M，再由给定条件，对集合N分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答.【详解】依题意，，，令，当时，函数在上单调递增，而，则，使得，当时，，当时，，此时，因此，，当时，若，，则恒成立，，满足，于是当时，，当且仅当，即不等式对成立，，由得，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，，于是得，即，变形得，解得，从而得当时，恒成立，，满足，所以实数a的取值范围是或.故选：D【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.二、多选题（每题6分，共3题）9.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A.三项比赛都参加的有2人 B.只参加100米比赛的有3人C.只参加400米比赛的有3人 D.只参加1500米比赛的有1人【答案】ABD【解析】【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}，{是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}，则且则，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.故选：ABD10.关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的值可以为（）A.﹣2 B.1 C.﹣1 D.【答案】CD【解析】【分析】分类讨论a的符号解不等式，结合题意分析解集中恰有3个整数为：或，分别列式求解【详解】当时，则，即，解集中必有无数个整数，不合题意，即不成立当时，令，则∴原不等式解集为，且由题意可得：若，则，解得a=-1若，则，解得即a=-1或当时，开口向上∴原不等式解集中必有无数个整数，不合题意，则不成立综上所述：a=-1或故选：CD.11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共3题）12.若函数的定义域为，则实数的范围为________．【答案】【解析】【分析】由已知可将问题转化为不等式对任意的恒成立，满足方程没有实数根，求解即可.【详解】由题意，知不等式对任意的恒成立，所以方程没有实数根，所以，解得，所以实数取值范围是.故答案：.13.已知定义在R上的偶函数满足当时，则________．【答案】1【解析】【分析】先由偶函数，推出，再根据分段函数的不同区间依次求得，.【详解】因是在R上的偶函数，则，故.故答案为：1.14.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．函数的值域为，则与y是“同域函数”的一个解析式为___________________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，先求出的定义域，再写出跟其相同定义域、值域的函数即可.【详解】因为，所以，解得，所以函数的定义域为．又由题意可知的值域为，与之定义域、值域相同的函数，如，，等等．故答案为：（答案不唯一）.四、解答题（第15题13分，第16和17题每题15分，第18和19题每题17分）15.已知集合，集合.（1）若，求实数的取值范围（2）若，求实数的值【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用判别式计算即可；（2）直接代入1计算即可.【小问1详解】若，则，即实数的取值范围为；【小问2详解】若，则即实数值为2.16.（1）已知，求；（2）已知为二次函数，且，求；（3）已知函数对于任意的x都有，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用换元法或配凑法求解即可；（2）利用待定系数法，令，然后结合已知条件化简列方程组可求出，从而可求出；（3）将已知等式中的用替换，得到另一个式子，与已知等式联立可求出.【详解】（1）方法一（换元法）：令，则，，所以，所以的解析式为．方法二（配凑法）：．因为，所以的解析式为．（2）设，则，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到关于与的方程组，解得．17.已知函数，图象经过点，且.（1）求的值；（2）用定义法证明函数y=f(x)【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件得到方程组，可求出答案；（2），且，变形判断符号可得结论.【小问1详解】由题意得，解得【小问2详解】由（1）可知，，且，，因，所以，又，所以，所以，即，所以，所以函数y=fx在区间18.设数集A由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，则A中至少还有几个元素？（2）集合A是否为双元素集合？请说明理由；（3）若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素.【答案】（1）两个；（2）不是，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得.（2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可.（3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得.【小问1详解】由，得，则，因此所以A中至少还有两个元素为，.【小问2详解】不是双元素集合．理由如下：由，得，则，而且，，即，，于是，由，得，则，因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合．【小问3详解】由（2）知A中有三个元素为、、（且），且，依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为，则，，且，于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为，由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或．此时，，，依题意，，整理得，即，解得或或，所以集合A中的元素为.19.已知函数且.（1）求的解析式;（2）已知的定义域为.（ⅰ）求的定义域；（ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ），或.【解析】【分析】（1）利用换元法以及，即可求解的解析式；（2）（ⅰ）解不等式，即可得出的定义域；（ⅱ）结合函数的解析式将方程化为，利用换元法得出，讨论的值，结合二次函数的性质即可得出实数的取值范围.【小问1详解】令，则，所以，因为，所以，所以；【小问2详解】（ⅰ）因为的定义域为，所以，解得，所以的定义域为.（ⅱ）因为，所以，化简得，

令，则在有唯一实数根，令，当时，令，则，所以，得符合题意，所以；当时，，所以只需，解得，因为，所以此时无解；当时，，即，或，，符合