山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题（解析版）

2023~2024学年怀仁一中高二年级下学期期中考试数学试题（时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若可导函数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义计算可得.【详解】因为可导函数满足，所以.故选：D2.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（）A.在上单调递减 B.在上单调递增C.在R上单调递减 D.在R上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据导函数的符号确定单调性.【详解】∵导函数图象在x轴及x轴上方，则，函数为增函数,∴在R上递增.故选：D.3.曲线上的点到直线距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设切点，根据导数的几何意义计算即可求解.【详解】令，则，设该曲线在点处切线为，需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2，所以，解得，则切点为，故切线的方程为，即，所以直线到直线距离为，即该曲线上的点到直线的最小距离为.故选：C4.从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（）A.140种 B.44种 C.70种 D.252种【答案】C【解析】【分析】根据组合数的计算，结合间接法求解即可.【详解】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为.故选：C.5.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得在上恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案.【详解】因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，即，又当时，函数，在时取得最大值4，所以，所以的最小值为4.故选：D．6.被除所得的余数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，而的展开式中除最后一项外，其它项均能被8整除，所以将其最后一项加上10，再除以8可得结果详解】，其中所有含有的项都能被整除，只剩下，被除所得的余数是，故选：A.7.，则等于（）A.180 B. C.45 D.【答案】C【解析】【分析】求出二项式通项公式，赋值后代入求解即可.【详解】，展开式的通项为，令，解得，故.故选：C.8.已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】令，则，所以在上单调递增，不等式，即，即，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列有关排列数、组合数的等式中，其中，正确的是（）A. B.C.（） D.【答案】ACD【解析】【分析】利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用排列数公式推理判断C；利用组合数性质计算判断D.【详解】对于A，由组合数性质知，，A正确；对于B，当时，，B错误；对于C，当时，，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD10.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，则下列说法正确的是（）A.若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法B.若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法C.若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法D.若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法【答案】ABD【解析】【分析】全排列可得A正确；先将人员分组为2,1,1，再将三组人员送到三个地方可得B正确；全排中除去甲去区，乙去区，再加上多减的即可判断C错误；隔板法，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，再计算后可得D正确.【详解】A：若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，故A正确；B：若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法，故B正确；C：若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法，故C错误；D：若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，则共有种不同的安排方法，故D正确；故选：ABD.11.定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（）A.，B.函数有三个零点C.过可以作两条直线与图像相切D.若函数在区间上有最大值，则【答案】ACD【解析】【分析】由对称中心是，结合题中“拐点”的定义，求出和的值，再通过求导画出函数的图象，结合图象，判断各选项即可.【详解】对于A中，由，可得，则，因为点是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知，且，解得，所以A正确；对于B中，由，可知，则，令，可得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，则函数图象如图所示，由图象可知，函数只有一个零点，所以B错误；对于C中，因为，所以点恰好在的图象上，画出函数的切线，如图所示，由图象可知过点可作函数的两条切线，所以C正确；对于D中，若在区间上有最大值，由上图可知，最大值只能是，所以且，解得，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有__________种站法.【答案】【解析】【分析】利用捆绑法先对A、C、D三位同学进行排列，再对其余同学进行全排列可得结果.【详解】根据题意先将A、C、D三位同学看成一个整体，A只能在C与D的中间，共有种排法，再将其他三位同学与A、C、D三位同学组成的整体进行全排列，共有种排法，因此共有种.故答案为：13.的展开式中的系数为____________.【答案】【解析】【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.【详解】对，有，当时，有，当时，有，则的展开式中的系数为.故答案为：.14.已知，，若，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先令，并构造函数表示，利用导数判断函数的单调性，即可求解.【详解】由已知，则，得，，则，设，，令，得，当时，h'x<0，hx单调递减，当时，h'所以当时，函数取得最小值，，所以的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的图象经过点，且是的极值点.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间和最值.【答案】（1）（2）增区间为，减区间为，最小值为，无最大值【解析】【分析】（1）求得，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）由（1）知，求得函数的单调区间，进而求得其最值.【小问1详解】解：由函数，可得，因为函数过点，且是的极值点，可得，解得，经检验符合题意；所以函数的解析式为.【小问2详解】解：由（1）知，令f'x>0，解；令f'所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值.即函数的增区间为，减区间为，最小值为，无最大值.16.某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．（1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？（2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？【答案】（1）540种；（2）65种.【解析】【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加；（2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得.【小问1详解】若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．【小问2详解】若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；所以总共有种不同的参赛方案．17.已知在的展开式中，第4项与第6项的二项式系数相等．（1）求n的值；（2）求展开式中的有理项；（3）若其展开式中项的系数为，求其展开式中系数的绝对值最大的项．【答案】（1）（2）（3）和【解析】【分析】（1）根据二项式系数的性质求解即可；（2）求出展开式的通项，再令的指数为整数，即可得解；（3）先根据项的系数求出，再利用不等式组法求解即可.【小问1详解】由题意可得，所以；【小问2详解】展开式的通项为，当为整数时，，所以展开式中的有理项为；【小问3详解】令，则，所以展开式中项的系数为，得，又，所以，所以二项式的展开式的通项公式为，设第项为系数绝对值最大项，则，解得，又且，所以或，所以展开式中系数的绝对值最大的项为和.18.某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成．经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米．设米，游乐场的面积为平方米．（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；（2）求面积关于的函数解析式；（3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大．（结果精确到0.1米）（参考数据：，）【答案】（1）（2）（3）当时，即点到距离为米时，游乐场面积最大.【解析】【分析】（1）先以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；（2）根据（1）求出，求出矩形面积；（3）利用导数判断单调性，根据单调性求出最大值.【小问1详解】以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设曲线所在的抛物线方程为，，点在抛物线上，则，解得，，所以曲线段所在的抛物线方程为.【小问2详解】因为点在曲线段上，，，所以，，.【小问3详解】，，令，解得，当时，f'x>0，当时，f所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，因此，当时，是极大值也是最大值，由，米，即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大.19.设函数.（Ⅰ）讨论f(x)（Ⅱ）证明：当时.【答案】（Ⅰ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（Ⅱ）见解析【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在