线性代数习题解答(王中良)

线性代数习题解答（王中良）

线性代数习题解答

习题一

1.计算下列行列式。

(1)37

24=12+14=26123

(2)231=123213321111222333183618

312

OxyOxyOxy

(3)xOzxOz(1)3xOzD0yzOyzOyzO

allal2al3

(4)a21a220al3a22a31

a3100

2.解三元线性方程组：

xl2x2x32

2x1x23x

31

xlx2x30

解：

121221D2131623415,DI1135,

111011121122D221310,D32115

101110

xl1,x22,x31.

3.求下列排列的逆序数，并指出奇偶性。

(1)354612解：T=4+4+1=9奇排列

(2)7563421解：T+6+5+3+3+1+1=19奇排列1

(3)345„n21工=nT+n-2=2n-3奇排列

(n1)(n2)(4)(nT)(n-2),,21nT=(n-2)+(n-3)+„+l=2

当n=4m时,排列为奇排列；当n=4m+l时,排列为偶排列；当n=4m+2时,排列为偶排

列；当n=4m+3时,排列为奇排列。

4.求i、j使

(1)2i68j431为奇排列解：i=5,j=7.

(2)162i54j8为偶排列解：i=7,j=3.

5.在5阶行列式中，下列各项的前面应带什麽符号？

(1)al3a24a31a42a55

解:因为T(34125)=2+2=4,所以此项前面的符号为“+”。

(2)a31a24a53al2a45al2a24a31a45a53

解:因为T(24153)=2+2=4,所以此项前面的符号为“+”。

6.写出4阶行列式展开式中所有带负号且含元素a32的项。解：

alla23a32a44;al3a24a32a41;al4a21a32a43.

7.按定义计算行列式：all00al4

(l)Oa22a230

0a32a330alla22a33a44alla23a32a44al4a23a32a41al4a22a33a41a4100a44

0001010000020n(n1)00200

(2)(l)2n!(3)(l)nIn!

On100000OnInOOOnOO0000010

00200(n1)(n2)

(4)(l)2n!

n10000

0000n2

8.由行列式定义证明：allal2al3al4al5

a21a22

a23000

a24000

a25

0000

a31a32

a41a42a51a52

证：展开式中任意一项为alJla2j2a3j3a4j4a5j5,而j3,j4,j5中至少有一个取到3、

4、5中的一个，所以

a3j3,a4j4,a5j5中至少有一个数为零。故行列式的所有项均为零一--即行列式为零。

9.由定义计算

2x

xl2

x

21x

131

xl111

f(x)二中x4与x3的系数，并说明理由。解：x4项必在2xxxx中出现，故系

数为2；x3项必在al2a21a33a44x1xxx3中出现，系数为-1。10.计

算行列式：

5

12

32

52

12

32

524

123

3281

(1)2

341

(2)3

211

1

203199200420032001

1

13331147

6(31)3485325(47);(3)

1131444

1422

1113

131

3111

x

yxyx

xyxy

2(xy)

y

xyxy

1

2(xy)0

yx

xyyx

(4)yxy=2(xy)xy2(xy)x

Oxy

=2(xy)(x2xyy2)2(xy)(x2xyy2)2(x3y3)

x

11xll

111yl

1111y

1xxlO

1xlO

101yy

101y

xy

1xllOO

10

001

001

(5)

111

01yl

=xyxyx2y23

a2(a1)2(a2)2(a3)2a22a14a46a9

(6)b2(bl)2(b2)2(b3)22b14b46b9

c2(cl)2(c2)2(c3)2b2c22c14c46c90

d2(dl)2(d2)2(d3)2d22d14d46d9

11.计算行列式

mi

(1)4321

16941(34)(24)(14)(23)(13)(12)12

642781

23000

14000120

(2)21812023034[1(2)]22

96503414102

37102

12.用行列式按一行（列）展开公式计算行列式:

12041000

2513111111

(1)4126211

4921007109=(399327)726

3271347130357

10321032

(2)0121121121

32420

02540922221270143022

222222242

(3)254254294245011001

(1)24

29(1)(21110)(1)2(10)

272232212

(4)182182142

2143022001(1)(269)(1)(3)24

13.计算下列n阶行列式：

abOO00

abOOOOab00

OabOOOOOab00a000a00

0000ab(1)

n1

bO00b

ab00

00abn1

(1)

000abbOOOa

0000Oan1

an(l)nIbn

aall010101

11(2)

11a2

1ala200

al

0a301

1

1analOO

anlll111

1aOOOalaalaO0al2

=aaala2

00112031

03

0=ala2an

101aO

al

0an

1

an

1

11ala1112aaal20n

n

=aO

n

la2an

+ala2an=ala2an(1

1)ilai

1

方法二：

al

101000OallO0D101aO00100210

a2

n

0a3001a3

10

10

1a

n

anOl

an

laOn

0ala2a3

15

alO0

0

0a200

000

alO0

00

00

a3

a2

an

111

1)ala2an

a2a3anala3anala2an1ala2anala2an(

n

ala2an(l

1

ia)1

i

方法三：

1111111101all1lalOODn0

11a2110a2

0

111an(n1)100

anl

1

In

laa

1

llaa111

02n

i1

aaaOOi

1102la2an1010ala2an

0011

1

122210002222222222320

010(2)[(n2)!]

222n

00n2

2100012100(4)D012OOn

2Dn2Dn2

0002100012

DnDn1Dn1Dn2又DI2,D23,D34

laOn

n

0ala2aln(1

i1

a)i

1

6(3)

说明Dn是一个等差数列，Dnn1.

albl

(5)

alb2

albn

a2bl

a2b2a2bn

anblanb2anbn

n2时，解：

albla2bl

alb2a2b2

(albl)(a2b2)(alb2)(a2bl)(ala2)(blb2)

al

n3时，Dn

a2an

blb2b2

b3bnb3bn

b3bn

bl

al

alala2a2

anan

000

bla2blan

注：将Dn的第一列拆分后，得到两个相应的行列式，将左边行列式的第一列乘（1）再

分别加到后面各列上去；将右边行列式的第一列加到后面的各列上去即得到上面右边的两

个式子。

方法二：

将Dn第一行乘（1）加到其他各行上去，得

albl

Dn

a2al

alb2albn

a2ala2al

n1albl

(ala2)(blb2)n2

On3anal

analanal

注：显然，当n3时，Dn从第二行起任意两行都是成比例的。

14.试证:aOl(11

1

lalO0

100

10

0ala2an(aO

1

)ilai

n

a2(其中ai0,i1,2,n)

an

证明：从第二列起，各列提出因子ai(i1,2,,n),得

aOl

Dala2anl

1

lai

la2

lan

100

01

0ala2an

aOal

000

i1

n

i

lai2a2

Ian

100

01

0

1

(aaa)(a)12n0a0i1

i

n

01

017

abab

labab

(2)an1bn1

lababab

lab

证明：用数学归纳法证

当n2时

Db)2aba3b3

2(aab

假设当行列式的阶数不大于n时，上述结论成立

)Danbnan1bn1

由于Dn(abn1abDn2(ab)ababab

an1abnanbbn1anbabnan1bn1

abab

由数学归纳法知，上述结论成立。

x1000

Ox100

(3)00x00n

xa1

Ixnanlxan

000x1

ananlan2a2alx

证明：由数学归纳法

n2时•

D12

2x

a2aalxa2

1xx

假设行列式的阶数不大于n时，命题成立

1

XDnxDn1(l)n1xanxDn1anx(xn1a2

Ixnan2xan1)an

xn1

xnan1

lxa2

n2xanlxan

命题得证。

8

cos100012cos100

(4)012cos00cosn00012cos

证明：用数学归纳法n2时D2cos1

12cos2cos21cos2

假设阶数n1时命题成立

对Dn按最后一行展开，得

Dn2cosDn1Dn2(2cos)cos(n1)cos(n2)cosn

15.计算n阶行列式：

111

ala2an

1

an2

lan2n2

2an

an

lan

2an

n

解：造n1阶范德蒙行列式

111

ala2an1

n

D

n1

an2

lan2n2

2an1(an1ai)i11(aiaj)jinan1

lan1

2an1

n1

an

lan

2an

n1

111

ala2an

将Dn1

n1按最后一列展开，其中有一项为an1

an2

lan2an2

2n

an

Ian

2an

n

且只有这一项含有an1

n1

而Dn(an1

n1[an11a2an)an1

1(aiaj)jin

比较之，原式(ala2an)

1(aiaj)jin9(

abbb

cabb

(2)Dnccab

ccca

abbb

cabbabbabb

解：原式ccabcabcab

0cOcOc(ab)bOOabccbacbc0

(ab)DOac0

n1(ab)D1

n1(ac)nb

ccb

b、c的对称性，还可以得到Dn(ac)Dn1(ab)n1c,与上式联立，消去Dn1,

解出Dn得Db(ac)nc(ab)n

nbc

注：显然，b<:时:我们会有另一种解法将各列都加到第一列上

(16)用克莱姆法则解下列线性放程组：

xlx22x3x43

(1)

4x1x22x32

5x1x32x40

xlx2x3x42

11211121

41205041541

解：D5012501203131

11112032232

31213121

D21201041141

1

0012001201231

21115032532

1321

D4220

250120,类似有D331,D462

1211

xl1,x20,x3I,x4210由

5x16x21

x5x6x32

⑵12

x5x2

236x4

x35x46x52

x45x54

解：56000

15600

D01560665,DI665,D2665,D3665,D4665,D5665

00156

00015

xl1,x21,x31,x41,x51

(17).Fibonaci数列Fn:l,2,3,5,8,满足递推关系:

Fl1,F22,F3Fn1Fn2,n3.试证：

110000

111000

F011100

n

000011

0000U(n阶)

110000

111000

证：F11100

n0

Fn1(1)Fn2Fn1Fn2000000

000011

(18).设Ml(xl,yl),M2(x2,y2)是平面上两个不同的点,试证过Ml,M2的直线方程是xy

xlyl0

x2y2

证：平面上的直线方程为abxcy0

abxcy0

cyabx

110

abx2cy20

a,b,c不全为零应有系数行列式11

xy

yl0

y2xlx2

(19).已知对称轴平行于y轴的抛物线过三点：(1,1),(2,1),(1,7).试求该抛物线

方程。解：设抛物线方程为tyax2bxc

tyax2

bxcax2

bycty0

由abct0

t4a2bc得abc

ct0

4a2b

7tabcabc7t0

x2xly

a,b,c,t不全为零1111

42110

1117

将上述行列式按第一行展开，得

111111111111

211x2411x421421y

117117117111

12x224x66yy2x24x1即为所求。

(20).已知平面上一个圆过三点：(6,1),(4,3),(3,2),求该圆的方程。

解：设圆的方程为a(x2y2)bxcyd0

a(x2y2)bxcyd0

37a6xyd0

25a4x3yd0a,b,c,d不全为零

13a3x2yd0

x2y2xy1371137637616

25430(x2y2)43x2531y254

133232132113330(x2y2)60x60y6900x2y22x2y230既为

所求。

习题二

376254133302121111123140A,B.求

AB,AB,ATB203012

202解:

AB215426AB21112314AT

B10211

23

318

314

652

2.计算

(1).310010000

34

004)0051060156

11012

(2).224102

48

13

38

351161079

1231

3.设A212

,B11

101求(1)AB;(2)ATBBTA.

321010

112(1)301(1)20311121301

解：

(l)AB211(1)202(1)10212111202

10

312(1)103(1)101131211012

123111110123012

(2)ATbBTA212101101212105

321010110321250

4.计算

1259

(1)35(2)430134

11

1424

717

917261062

⑶Oil

4326

102643(4)1

00

03

07

0400

22431223

⑸1H

1212

124

29

00

00

(6)12

3361321158

00

22

(6)123

121

1

243

29232300

292900

580033

513

allal2al3x

5,计算xlx2x

3a21aa12

2223x2a2

llxlal2xlx2al3xlx3a21x2xla22x2a31x3xla32x3x

a31a32a33x32

a33x2

aijxixj

i1J1

6.已知两个线性替换xl2yly3

xyl3zlz2

22yl3y2y

23y22zz3求从xl,x2,x3到zl,z2,z3的线性替换

x34yly25y31y3z23z3

1ylyl

解：已知xl20

2

y

2y310zl

2201

x3415y3z

2则有

y3oz3

xl201310zl613

x

2232201

zzl

21249z2

x3415013z310116z3

7.设A,B为同阶方阵，且A1

2(BE);试证A2A当且仅当B2E

证:A21(B22BE)1(BE)1B2111111

2B4E2B2E4B2

4244EB2E

8,设A12

10

13B12，问⑴ABBA吗?(2)(AB)22ABB2吗？

(3).(AB)(AB)A2B2吗？解：AB121010

1212

131246,BA1213

38

ABBA(1),(2),(3)均不成立。

9计算:

22

(1).01

1001

10

01

1010

01(2).11

00

11

00

n

(3).10

10

11nl(4).由归纳法可证cossinnsinn

sincoscosn

sinncosn14

nnnln(n1)2n2(5).由归纳法可证

10010nnn1

00

00n

21151310.⑴设A312,f(x)x2x1,则

f(A)A2AE803

110212(2)设A2122

0033,f(x)x5x3,则f(A)A5A3E00

11.已知(DA1101;(2)12100

11

；(3)012求所有与A可交换的矩阵.312

a

解：设Babcd则由11101ac

abcdabcd1101

bdab

d

cdc0adBab

0a

(2).与上同理，设BabcdBa

2cca2c

0(3).同上,Ba

03b3ab2c2b

3c3bcbe12.举反例说明下列命题是借误的。

⑴若A20,则A0；反例A11112

.(2)若AA,则A0或AE;反例A1000

(3).若ABAC,且A0,则BC;反例

A1111,B1234,C01

23

有ABAC,但BC.

13.按指定分块,用矩阵分块乘法求F列矩阵的乘积:

(1)10110设AAA121

301A

3A其中Al2,A0

4

112130315B201，其中

B,B1120,B30,B41B4

21ABABABAB11231224则ABABABABAB12

4332443132

Al(2)AA2其中

Al102,A2213,A3420BlA3

124A1B1其中Bl01,B22则

ABA2B1230AB31

(14).用矩阵分块乘法计算AB,其中

12101200

A312000030000

24200240

624000030006

相同。B1A42;BB3

B2A1B2544A2B24146A3B26204020000

002000A102E302A10000200

03E2OBI03B1000011300023000

注：当矩阵分块后成为准对角形时，其乘法规则与对角矩阵39

15.设A是n阶方阵，证明存在一个n阶非零矩阵B,使AB0的充分必要条件是A0.

证：ABAB1,B2,,BnABI,

故命题得证。

16.试证：任意一个n阶矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。证：

设A为一个任意的n阶矩阵，则A11(AAT)(AAT)。显然22

AB2,,ABn0ABi0(i1,2,,n)Bi为线性方程组AX0的解。若Bi不全为

零，则充分必要条件为方程组的系数行列式A0.11(AAT)是一个对称矩阵，而(AAT)

是一个反对称矩阵。命题得证。22

17.试证：如果A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则ABBA是反对称矩阵。

证：(ABBA)T(AB)T(BA)TBTATATBTBAAB(ABBA)

故命题得证。

16

18.试证：如果A是实对称矩阵，且A20,则A0.

n

a2

1j**

j1

证：A2AAT*n

a2

2j*

n

j1a2ij（其中i1,2,,n）

0

J1

n

**

a2nj

j1

aij0A0

19.试证：如果A与B都是n阶对称矩阵，那么AB也对称的充分必要条件是A与B可交

换。证：已知ATA,BTB.假设AB对称，则有AB(AB)TBTATBA;反之假设

ABBABTAT(AB)T,则有(AB)TAB.故命题得证。

20.试证：若A是n阶矩阵，且满足AATE,A1,则EA0.

EAAATAAATEA(AE)TAAEEAEA0.

21.试证：若A是n阶矩阵，n是奇数，且满足AATE,A1,则EA0.

EAAATAAATE(AE)TAE(l)nEAEAEA0

22.判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求它的逆矩阵：

(1)ab

cd,adbe0

ab1

解：

cd1

adbedb

ca

12

121523

53453414

313

12sin1

36不可逆;(4)cossin

sincoscos

sincos

12112131111

⑸

345543

53(6)

221012214

225111101112

23.设A为n阶方阵，Ak0(k2为正整数)，求EA1.

解：有Ak0AkEkEkEEkAk(EA)(EAA2Ak1)

(EA)1(EAAk1).

17

24.设方阵A满足A2A3E0,证明AE和A2E都可逆，并求它们的逆矩阵。证:

A2A3E(AE)(A2E)E0(AE)1(A2E)

A2A3E(A2E)(A3E)3E0(A2E)11

3(A3E)

25.设A为n阶矩阵，AE为可逆矩阵，如果f(A)(EA)(AE)1,证明：

(1)[Ef(A)](EA)2E;

(2)f[f(A)]A.

证：(1).[EfA)](EA)[E(EA)(EA)1](EA)EAEA2E.

(2).f[f(A)][Ef(A)][f(A)E]1[E(EA)(AE)1]1

2(EA)

1

2(EA)1

2(EA)A

26.试证：如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并求A*及(A*)1.

证：AA*AE,两边取行列式A*An10A*可逆。

又由AA*AE1AA*EA*

A11

AA.

又由(A1)(AD*AIE(A1)*1A(A*)1(A1)*

A»

27.设A为3阶矩阵，且A1

2,求(3A)12A*(3A)12A*1

3A12A*2

3A*2A*4

3A*(4116

3)3(2)3127.

28.试证：如果A是可逆对称(反对称)矩阵，那麽A1也是对称(反对称)矩阵。

证：⑴由ATAA1(AT)1(A1)TA1为对称矩阵。

(2)由ATA(AT)1A1(A1)TA1A1为反对称矩阵。

29.试证：设B0B

1

B0，其中B1,B2均为可逆矩阵，则B也可逆，并且

2

BOB1

12

B1

10.

证：0B

10B10

B20

2

10E

Bl0EE.故命题得证。

30.求下列矩阵的逆矩阵：

1

5600035104

(1)4500

047

56000

450003

00118

00563007500.0067;(2)0

00768

006511400

430018

31.用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵：

12313100123100

⑴00

212010

12

034210011101134001011101001513

1001123121

21

0106142121

614

001513134

513

1200100010000001

(2)20120100

010000

1101001001011230

100000010001

01

1

12000001

2012

001101

1123

100001

32.设A为n阶可逆矩阵，Al为n1矩阵，为常数，记分块矩阵

PE0AA

AT

1A*A,Q

1

AT

lb;

其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。

(1)计算并简化PQ;

⑵证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是AT

1A1A1b.

解：(l)PQEOAAA

1Al

AT

1A*A

AT

lbAT*T

1AAAA1AT*A

1AA1b

AA

1

OA(bATA1

1A1)

⑵由P可逆，故Q可逆PQ可逆PQA2(bAT1

1AA1)0bAT

1A1A1

1111

33.设A1111

1

0011用分块法及不分块的方式求A.

0011

解：仅就分块法给出过程。

令ABC

111111111B1B1CD10D，则

B211,D211，由A0D1191111

11111

20011

011

34.求下列矩阵方程

(1)23

35X12

34

1

解：X2312

531242

3534323432

(2)X111

022213

045

110

1111

解：X213

045

0221

11064716

2142

11110

(3)0111

H'OX11210

1

100012211

11111100111324

解：X110110112112

100211012402

221

35.设矩阵A102，求矩阵X,使AXAX.

271

157

解：由AXAXAXXA(AE)XAX(AE)1A41

53

111

36.矩阵AOil2X.

，求矩阵X,使A*XA1

OOI

解：由A*XA12X(A*2E)XA1两边同时左乘A(AA*2A)XE

X(AE2A)11110

4011

101

3102011137.设矩阵AOil

，求矩阵X,使A2AXE.

001

021

解：由A2AXEA(AX)EAXA1XAA1000

000

38.计算下列矩阵的秩：

12

41312413124

1(1).A37

61501644

640111105701644

00004112800318121200

00R(A)2

01

11211011(2).A022200111R(A)4

01111

011011000100404

39.试确定参数的值使矩阵A的秩最小112A215

11061

1121

106111061

解：A2150105101

12

11106102112321010517

110

126

101

1

5)(213)7

33时,R(A)2为最小。

00217

xl

x2x3140.判断下述线性方程组有无解：

xl2x2

3x34xl4x29x316xl8x227x364

1

111解：A

12

341

4

9

10

0,R(A)4,但R(A)3,方程组无解。

182764

3

4

0

0

21

41.用消元法求解下列线性方程组:

3x2xl2x5x2(1).1

3x17x2

x2xl7x32x33x32x310124

710137101325210111621解：(用第四

行乘(3)加到第二行上去)

0162432373211244560

137101001101130101唯一

解为X

1.00480012204500006

2315610113xl3x3x4(2).31245

01114一般解为x24x3x412311100000

2315812(3).A3124507

12311100

1533961(4).132510

263103031117730方程组无解。

0023053x33x20101一般解为1x3100005x4

131202351(5).A1743041579

0

注：求解方程组时，对增广矩阵只能做初等行变换。1xx413210

一般解为x2x4301x1x0003430022

42.试证：线性方程组xlx2x3x4x5

x2x3x4x5xl

ala2a3a4a5

001lOal

00110a2

00110a301100a400000a5

ala2a3

方程组有解a45aii1

有解的充分必要条件是ai0,在有解时，求出一般解。

i15

00110

11000

证：A00110

00110

00110

a

i1

5

i

0

1

0

0

00

000laia2a3a4

xl

100la2a3a4x

一般解为2010la3a4

x3

001la4

x400000

ala2

a2

a3a3a3

a4a4a4a4

x5x5x5x5

x5为自由未知量。

43.当a和b取什麽值时，线性方程组有解？在有解时，求它的一般解。xlx2

x2

3x12x25x14x21

0

解：

35

x32x3x33x3111

x42x4x43x4

1

x56x53x5x5

13ab

11

122630

1226a30

1226b50

x3x45x52x3

2x4

6x5

1

1

1

1

0115100

200

200

600

2

3ab2

11

122630

02113a0433lbn5xl2

a0,b2时有解，一般解为

x2323

44.当a取何值时，齐次线性方程组

2x2(a2)x1(a5)x22x12x4x21

a2

A22a52x34x3(a5)x324a22000有非零解，并求出它的一

般解。2a524a2(a1)222a222a54(a1)2a94

24a50alaOil

(al)a22

2a9(al)2(a10)

当a1且a10时，方程组只有零解。

12222

a1时A2441

00

0一般解为xl2x22x3

000000

8220

a10时A1541

1

0一般解为xl

11x3

245000x2

2x3

45.取何值口寸，方程组2x1x2x31

XX

1x232

4x15x25x31

无解，有唯一解或无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的一般解。

21210

A1111(54)(1)

4555400

211

1且4

5时，方程组有唯一解。4

5时，112

4551

104

55

45510

10455

4551R(A)RO,方程组无解。

45510009

1时，2111

111211121001

03330111

455103330000

00124(按最后一行展开)(A)R(23,方程组有无穷多解，一般解为

xl1

x21x3

习题三

1.坐标平面上和坐标轴上的点的坐标各有什麽特点？指出下列各点的位置：

A(1,3,0),B(0,2,5),C(4,0,0),D(0,2,0).

解：xy平面上的点：(x,y,0);yz平面上的点：(0,y,z);xz平面上的点：(x,0,z);

x轴上的点；(x,0,0);y轴上的点：(0,y,o);z轴上的点：(0,0,z)

A在xy平面上;B在yz平面上;C摘x轴上;D在y轴上。

2.求点P(x,y,z)关于(1)各坐标平面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。

解：(1)关于xy平面：(X,y,z);⑵关于x轴：(x,y,z);(3)关于原

点：(x,y,z)

3.求点P(3,4,5)与原点及各坐标平面间的距离。

P09425252

P与x轴的距离PA5242;P与y轴的距离PB325241;P与z轴PC5

4.在yoz平面上，求与三个已知点A(3,1,2),B(4,2,2)及C(0,5,1)等距离的点.

解:设点为P(0,y,z),则有

PAPBPC(03)2(y1)2(z2)2(04)2(y2)2

(z2)202(y5)2(z1)26y8z10

14y6z2yl,z2;点P(0,x,y)(0,1,2)

5.在y轴上,求与点A94,2,1)和B(3,5,1)等距离的点。

解：设点P(O,y,O),由已知

(04)2(y2)2(01)2(03)2(y5)2(01)2

y1,P(0,y,0)P(0,1,