2020高考真题数学（文理）

新高考全国卷I

本试卷共150分.考试时长120分钟.

一、选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.设集合A={x|lWxW3},B=[x\2<x<A},贝ijAUB=()

A.{x[2<xW3}B.{x|2WxW3}

C.{x|lWx<4}D.{x|l<r<4)

解析选C.AUB={x|lWxW3}U{x[2<x<4}={x|lWx<4}.故选C.

2—i

2-l+2i=()

A.1B.

C.iD.

铲用/c2-i(2—i)(l—2i)—5i

D-L

解析-1+2i(l+2i)(l-2i)-5-

3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名,

乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种

C.60种D.30种

解析选C.先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C&种选法，再从剩余的5名同学中

选2名安排到乙场馆，有Cg种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C3种选法,

由分步乘法计数原理知，共有Cl<3G=60（种）不同的安排方法.

4.日唇是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的辱针投

射到屠面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一

点4的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过

点A且与04垂直的平面，在点A处放置一个日唇，若唇面与赤道所在平

面平行，点A处的纬度为北纬40。，则唇针与点A处的水平面所成角为（

A.20°B.40°

C.50°D.90°

解析选B.如图所示，。。为赤道平面，为A点处的日屋的

署面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40。可知/OAOi=40。，又

点A处的水平面与04垂直，遇针AC与。01所在的面垂直，则悬•针

AC与水平面所成角为40。.故选B.

5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜

欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的

比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

解析选C.用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生

所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生82%^^

占该中学学生总数的比例为x,贝！|(60%-x)+(82%-x)+x=

96%,解得x=46%.故选C.

6.基本再生数品与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感

染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶

段，可以用指数模型：&)=e”描述累计感染病例数/⑺随时间/(单位：天)的变化规律，指数

增长率r与Ro,T近似满足Ro=l+”.有学者基于已有数据估计出Ro=3.28,7=6.据此，在

新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2、0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

解析选B.由Ro=l+rT,Ro=3.28,T=6,

得一早3.28—1

-6-=0.38.

由题意，累计感染病例数增加1倍，则/⑹=2/9)，即eO.38f2=2e0.38力,所以e0.38«2

—“)=2,即0.38“2—八)=出2,；，2一九=915::::：11:：5::1.8.故选8.

7.已知P是边长为2的正六边形ABCQEF内的一点，则成的取值范围是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

解析选A.如图，取A为坐标原点，A8所在直线为x轴建立平面直斗

角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(3,小)，F(-l,小).设P(x,y),则寿

=(x,y),赢=(2,0),且一la<3.所以能•矗=(x,y>(2,0)=2xd(—2,6).故~~T

选A.

8.若定义在R的奇函数人x)在(一8,0)单调递减，且人2)=0,则满足求x—1)20的x

的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,ll

C.[-l,0]U[L+°o)D.[-l,0]U[l,3]

解析选D.因为函数ZU)为定义在R上的奇函数，则式0)=0.又兀v)在(-8,0)单调递减，

且式2)=0,画出函数於)的大致图象如图(1)所示，则函数yu-l)的大致图象如图(2)所示.

(1)(2)

当xWO时，要满足求工-1)>0,则人X-1)WO,

得一1WxWO.

当x>0时，要满足求X—1)》0,则兀V—1)》0,

得1WXW3.

故满足求x—1)20的x的取值范围是故选D.

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9.已知曲线C：mx2+ny2=\.()

A.若则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若小=〃>0,则C是圆，其半径为⑴

c.若〃?〃<o,则c是双曲线，其渐近线方程为>=±寸?

D.若〃?=0,n>0,则C是两条直线

11f

解析选ACD.对于A,当心心0时，有/方>0，方程化为1+宁=1,表示焦点在y轴

mn

上的椭圆，故A正确.对于B,当〃2=〃>0时，方程化为f+y2=,表示半径为端的圆，

?2

故B错误.对于C,当机>0,〃<0时，方程化为十一上［■=］，表示焦点在x轴上的双曲线，

tnn

其中a=\^，b=渐近线方程为y-±、「受x'当胆<°，时，方程化为十一

n

任1=1,表示焦点在)，轴上的双曲线，其中b=-\J渐近线方程为y=±yj-彳

m

X,故C正确.对于D,当机=0,〃>0时，方程化为y=t、址,表示两条平行于x轴的直线,

故D正确.综上可知，正确的选项为ACD.

10.右图是函数y=sin(<yx+0)的部分图象，则sin(cox+9)=()

解析选BC.由图象知科=空一看=看得7=兀,所以0=率=2.又图象过点。0),由“五

点法”，结合图象可得夕+方=兀，即0=空，

,故A错误;

由sin(2x+^)=sin[Le_2,]=sin停一2文)知in(2x+芟)=sin(：

B正确；由si陵+“

cos(2九+5)知C正确;

由si

co｛兀+(2x—普)]=-cos管-2x)知D错误.

11.已知。＞0,比＞0,且o+b=l,则()

A.片+扶》；B.2f7

C.log2〃+log2b2D.y[a+y[b^：y[2

解析选ABD.因为〃＞0,比＞0,a+b=l,所以当且仅当〃=/?=义时，等

号成立，即有

对于A,a2+b2：=(a+b)2—2ab=1-2ab^1—2X^=^,故A正确；对于B,2a^b=22a^]

=^X226r,因为。＞0,所以2犯＞1,即2。一吗，故B正确；对于C,log2a+log2〃=log2abWk＞g2；

=—2,故C错误；对于D,由(W+$)2=a+b+2g^=l+2/^W2,得g+福W啦，故

D正确.综上可知，正确的选项为ABD.

12.信息嫡是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…，”，

且尸(X=i)=p,＞0(i=l,2,…,n),£p,=l,定义X的信息嫡，(X)=—£p,log2P,.()

A.若”=1,则&X)=0

B.若”=2,则H(X)随着pj的增大而增大

C.若2=%i=l,2,…，ri),则，(X)随着〃的增大而增大

D.若〃=2相，随机变量y所有可能的取值为1,2,…，m,且P(y=/)=°j+p2,.+i-X/=

1,2,m),则”(X)WH(y)

解析选AC.对于A,当〃=1时，pi=l,/7(X)=-lXlog2l=0,故A正确.对于B,

当”=2时，有pi+p2=l,此时，若〃1=；或土都有"(*)=—(5og2：+llog2g,故B错误.对

1"1111

于C,当~=芹=1,2,…，〃)时，H(X)=-E-log2-=—nX-log2-=log2W,显然，(X)随〃的

增大而增大，故C正确.对于D,方法1：当〃=2机时，

"(X)=—(Pllog2Pl+p210g2P2H----b/72〃L110g2,2,〃-1+，2〃Jog2P2〃J

=­[(pilog2pi+p2〃Jog2P2〃J+(〃210g2〃2+〃25一1.log2P2"[-1)H-----H(〃“Jog2〃〃？+〃加+[log2〃m+

3，

H(Y)=­[Q)l+P2切)log2(P1+〃2切)+(P2+Pim-|)-log2(/?2+”2〃L1)H-----H(〃〃?+P"什1)10g2(R〃+

P〃?+l)],由于pilOg呐+p2〃j0g2P2〃j=10g2(PlP「〃P2〃2%)V10g2[(Pl+p2m)p\'(p\+〃疝⑵J

=10g2(〃1+P2w)0+〃2,"=S+p2"?)10g2(Pl+〃2切)，

同理可证P210g2〃2+p2〃Lll0g2P2"Ll<3+p2"Ll>10g2(〃2+p2〃Ll),…，

P，〃10g2〃〃？+pm+110g2〃,〃+1<(pfn+pm+1)】Og2s川+〃”1+1),

所以“(x)>//(y),故D错误.

方法2(特值法)：令加=1,则〃=2,"2=*

p(r=i)=i,w(y)=-iog2i=o,

H(x)=_@og2；+jog2§>0,

：.H(X)>H(Y),故D错误.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.斜率为小的直线过抛物线C：V=4x的焦点，且与C交于4,B两点，则|A8|=

解析由题意得，抛物线焦点为9（1,0）,设直线AB的方程为），=小（尤

-1）.

产书(x—1)，.

由得3/-10x+3=0.

y=4x,

设A(X1,>,1),B(X2,丫2),

则x\+x2=y,

所以|A8|=X1+X2+2=丁.

答案号

14.将数列｛2〃-1｝与｛3〃-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛如｝,则｛”“｝的前n项和

为.

解析方法1（观察归纳法）:数列｛2〃-1｝的各项为1,3,5,7,9,11,13,…；数列｛3〃-2｝的

各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13,是首项为1,公差为

6的等差数列，则斯=1+6（〃-1）=6〃-5.

士…斗垢/，〃（幼+%）〃（1+6〃-5）2c

故刖〃项和为S〃-2—2—3〃一2〃.

==

方法2（引入参变量法）：令。〃=2〃一1,c,n3m—2,hncmf贝！I2M—1—3m—2,即3加=

2H+1,必为奇数.令"?=2，-1,则〃=3，-2Q=1,2,3,…）.

at=b3t-2=C2t-1=6r—5,即an=6n—5.

以下同方法1.

答案3/12〃

15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图

所示.。为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧A8与直线

AG的切点，3是圆弧43与直线的切点，四边形OEEG为矩形，

3

BCA.DG,垂足C,lan/OOC=5,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,

4到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为

__________cm2.

解析如图所示，连接。4,过A作分别交£/，DG,

。”于点P,Q,R.

由题意知AP=EP=7,

又DE=2,EF=]2,

所以AQ=QG=5,所以NAHO=NAGQ=j.

因为OA_LA”，所以NAO”=?ZAOB=^.

设则OH=x,RQ=5—x.

35—x3

因为tan/ODC=w，所以lanNODC=G---=7,

37—x3

解得x=2,则。4=2也.

所以S=S扇形AOB+SZMOH—S小半圆

=卜竽X（2啦）2+94乂2—5XI2

=（j+4）cm2.

答案爵+,

16.己知直四棱柱ABC。-AiBiGOi的棱长均为2,/班。=60。.以。।为球心，小为半

径的球面与侧面BCCiBi的交线长为.

解析如图所示，设81G的中点为E,球面与棱8囱，CG的交点分别为P,。.连接。8,

D\B\,DiP,D\E,EP,EQ,由N8A£）=60°,AB=AD,知△ABD为等边三角形，=

DB=2,为等边三角形，则GE=/且。iE_L平面BCGS,为球面截侧面

BCGBi所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r,则厂=#2d—£>|面=小=5=41

又由题可得EP=EQ=让，二球面与侧面BCGB,的交线为以E为圆心的圆弧PQ.

2

又。1尸=小，.•.B1P=^/DIP-DIBT=1,同理CQ=1,。分别为BBl,CG的中

TT

点、,AZPEQ=y

知质■的长为3又也=冬.

答案与

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）在①℃=小，②csinA=3,③。=小。这三个条件中任选一个，补充在下面问

题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△4BC,它的内角A,B,C的对边分别为小b,c,且$皿4=小sinB,

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解析方案一：选条件①.

,*.八》+〃一/S

由C=d和余弦75.理仔2ab=2"

由sin4=^sin8及正弦定理得“=小。

222

丁H3b+b-c小

于无2小〃=2，

由此可得b=c.

由①ac=q5,解得b~c—1.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=l.

方案二：选条件②.

由C=和余弦定理得西嘉4=坐

由sinA=4§sinB及正弦定理得a=y[3h.

„3h2+b2—c2

于无2小。2=2，

由此可得6=小B=C算,A=乌.

05

由②csinA=3,所以c=b=2小,a=6.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2小.

方案三：选条件③.

由eg和余弦定理得四器=坐

由sinA—y[3sinB及正弦定理得a--^>b.

丁3/>2+/>2—c2y[3,,

于7HZ2y[3b2=2'由此可付6=c.

由③。=小6,与6=c>矛盾.

因此，选条件③时问题中的三角形不存在.

18.（12分）已知公比大于1的等比数列｛““｝满足42+。4=20,43=8.

（1）求｛斯｝的通项公式;

（2）记儿，为｛&｝在区间（0,MOMWN*）中的项的个数,求数列｛猥｝的前100项和$00.

解析（1）解：设｛〃“）的公比为多

由题设得aq+aiq3=20,aiq2=S.

解得q=T（舍去），4=2.

由题设得0=2.

所以｛斯｝的通项公式为斯=2".

（2）解：由题设及（1）知61=0,且当2”Wm〈2"+i时,历„=〃.所以Sioo=bi+（历+3）+（仇+

岳+匕6+①）+…+（832+833+…+如）+（如+〃65+…+"（x））=0+1X2+2X22+3X23+4X24

+5X25+6X（100—63）=480.

19.（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，

随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO?浓度（单位：/zg/m3）,得下表：

so

2[0.50J(50,150](150,475]

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且S02浓度不超过150”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2义2列联表：

SO2

[0,150](150,475]

10,75]

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与S02

浓度有关?

”(ad-Z>c)2

附：心=

(a+i>)(c+(/)(“+c)(〃+i/)'

P(K2^k)0.0500.01()0.001

k3.8416.63510.828

解析(1)解：根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度

不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且

64

SO2浓度不超过150的概率的估计值为而=0.64.

(2)解：根据抽查数据，可得2X2列联表：

SO2

[0,150](150,475]

PM2.5\^^

[0,75]6416

(75,115]1010

(3)解：根据(2)的列联表得

,100X(64X10-16X10)2

r2=-----------------------—484

80X20X74X26

由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SCh浓度有关.

20.(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形,底面ABCD.

设平面PAD与平面PBC的交线为I.

(1)证明：41平面PDC；

(2)已知P£>=AO=1,Q为/上的点，求PB与平面QCD所成角的

正弦值的最大值.

解析(1)证明：因为底面ABC。，所以POLAD

又底面ABC。为正方形，所以ADLDC,

所以AQ_L平面PDC.

因为AO〃BC,AQC平面PBC,

所以AD〃平面PBC.

由已知得/〃A。，因此/，平面POC.

(2)解：以。为坐标原点，扇的方向为x轴正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系。-“Z.

则。(0,0,0),C(0,l,0),B(1,1,0),P(0,0,l),

诙=(0,1,0),丽=(1,1,-1).

由(1)可设

则曲=(4,0,1).

设"=(x,y,z)是平面QCD的法向量,

n-DQ=0,[ax+z=0

则〈即

ji-DC=0,〔尸°,

可取〃=(—1,0,a).

nPB—1一〃

所以cos〈〃,PB)

|n|-|PB|小71+4

设PB与平面QCD所成角为0,

V3l^+l|

贝ljsinf)=3XVT+P-3

因为理\巧言《孝，当且仅当。=1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的

正弦值的最大值为芋.

21.(12分)已知函数y(x)=aeLi—lnx+lna.

(1)当〃=e时，求曲线y=/(x)在点(1,11))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若兀》》1,求a的取值范围.

解析兀v)的定义域为(0,+°°),f(x)=ae'i一

(1)解：当a=e时，人力=廿一也x+1,/'(l)=e-l,曲线y=/(x)在点(1,41))处的切线

方程为y-(e+l)=(e-l)(x-l),即)，=(e-l)x+2.

直线y=(e—l)x+2在x轴，y轴上的截距分别为了；，2.

2

因此所求三角形的面积为二

⑵解:当0<a<l时，/(l)=a+lna<l.

当a=l时，4犬)=。「1—Inx,f(x)=e*r—

当xG(O,l)时,f(x)<0；

当xC(l,+8)时，f(x)>o.

所以当x=l时，式x)取得最小值，最小值为火1)=1,从而负x)》l.

当4>1时，-力=。2一一lnx+lna》exr—lnxel.

综上，。的取值范围是[1,+8).

22.(12分)已知椭圆C：，+方=13>比>0)的离心率为乎，且过点A(2,l).

(1)求C的方程；

(2)点M,N在C上，且AMJ_AN,AD1MN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。。|

为定值.

41CT—左1

解析(1)解：由题设得了+/=1,42=2,

解得4=6,〃=3.

所以C的方程为获+9=1.

(2)证明：设M(xi,yi),Ng,丁2).

若直线MN与x轴不垂直，

设直线MN的方程为>=丘+加，代入不+，=晨

得(1+2^2)%2++2/7?2—6=0.

2

二日.4km2m-6个

于正见+M=-]+2后，X1X2=]+2,・①

由AMJ_AN,得刀认病=0,

故(为-2)(X2—2)+(了1-1)。2—1)=0,

整理得伙2+1)%1%2+{km~k~2)(xi+%2)+(^—1)2+4=0.

2〃?2—6

将①代入上式，可得(R+1)立而■一(h〃-4—2)yrm3+(，”-1)2+4=0,

整理得(2%+3w?+1)(2%+，〃-1)=0.

因为4(2,1)不在直线MN上，

所以2%+，"-1W0,所以2/+3加+1=0,kWl.

所以直线MN的方程为y=4x—；(女#1).

所以直线MN过点啰，一；).

若直线MN与x轴垂直，可得Mxi,-yi).

由痴•病=0,

得(X]—2)(X1—2)+Qi—1)(—yi—1)=0.

又费+g=l,所以3x?—8xi+4=0.

2

解得制=2(舍去)，X\=y

此时直线MN过点瞪，一§.

令Q为A尸的中点，即Q(*1}

若。与P不重合，则由题设知AP是RtZXA。尸的斜边，故|DQ|=%AP|=平.

当。与P重合，则|£>Q=3AP|.

综上，存在点。(*；),使得IQQI为定值.

新高考全国卷n

【注：本试题、答案及解析仅供参考】

本试卷共150分.考试时长120分钟.

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.设集合A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},则ACB=()

A.{1,8}B.{2,5}

C.{2,3,5}D.{123,5,8}

解析选C.4CB={2,3,5,7}C{1,2,358}={2,3,5},故选C.

2.(l+2i)(2+i)=()

A.-5iB.5i

C.-5D.5

解析选B.(l+2i)(2+i)=2+i+4i—2=5i.故选B.

3.若。为AABC的边AB的中点，则无=()

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2CD+CAD.2CA+CD

解析选A.如图所示，为△ABC的边AB的中点，，近+无=

2CD,.•.在二2诙一位.故选A.

4.日展是中国古代用来测定时间的仪器，利用与劈面垂直的唇针

投射到号面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球

上一点A的纬度是指OA与地球赤道所成平面所成角，点A处的水平面是

指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日唇，若唇面与赤道所

在平面平行，点A处的纬度为北纬40。，则唇针与点A处的水平面所成角

为()

A.20°B.40°

C.50°D.90°

解析选B.如图所示，。。所在平面为地球赤道所在平面，。01

为点A处的日唇的唇面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40。可知

/。4。1=40。，又点A处的水平面与0A垂直，署针AC与。Oi所在

的平面垂直，则/C4B=/OAOi=40。，故唇针AC与点A处的水平

面所成角为40。.故选B.

5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜

欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的

比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

解析选C.如图，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳

足球游泳、

的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳尘8羡-J

的学生占该中学学生总数的比例为x,贝iJ(60%-x)+(82%-x)+x=96%,解得x=46%.故选

C.

6.3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少

1人，则不同的分配方案共有()

A.4种B.5种

C.6种D.8种

解析选C.先将3名大学生分成2组有C%G种分法，再分配到2个村有A3种分法，则

不同的分配方案共有CFC%A9=6种.故选C.

7.已知函数./«=31一4x—5)在(a,+8)单调递增，则。的取值范围是()

A.(一8,—I]B.(—8,2]

C.[2,+8)D.[5,+8)

解析选D.由x2—4x—5>0,得x<—1或x>5.

令4x—5,则函数f=『一4x—5在(-8,一])单调递减，在⑸+8)单调递增，

函数y=lgf为增函数，故要使函数_/(x)=lg(/—4x—5)在(a,+8)单调递增，则有(“，+<»)

£(5,+8),即.故选D.

8.若定义在R的奇函数;U)在(-8,0)单调递减，且12)=0,则满足求x—1)20的x

的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[一3,-l]U[0,ll

C.[-l,0JU[l,+8)D.[-l,0]U[l,3J

解析选D.因为函数火x)为定义在R上的奇函数，所以/(0)=0.又_/(x)在(-8,0)单调递

减，且贝2)=0,画出函数/(x)的大致图象如图(1)所示，则函数於一1)的大致图象如图(2)所示.

rty

(1)(2)

当xWO时，要满足必1)>0,则火x—1)WO,

得TWxWO.

当x>0时，要满足就x—1)20,则/(x—1)20,

得1WxW3.

故满足欢x-l)20的x的取值范围是故选D.

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9.我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天

复工复产指数折线图，下列说法正确的是()

A.这II天复工指数和复产指数均逐日增加

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量

C.第3天至第11天复工复产指数均增大都超过80%

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

解析选CD.

10.已知曲线C：mx2+/iy2=1.()

A.若则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若〃2=〃>0,则C是圆，其半径为加

C.若〃?”<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=T^x

D.若m=0,n>0,则C是两条直线

11//

解析选ACD.对于A,当心心0时，有/>五>。，方程化为丁十T=1,表示焦点在y轴

mn

上的椭圆，故A正确.

对于B,当机=">0时，方程化为表示半径为情的圆，故B错误.

对于C,当,">0,〃<0时，方程化为十一」不=1,表示焦点在x轴上的双曲线，其中

mn

渐近线方程为y=±寸V；当〃2<0,〃>0时，方程化为『一j~=l.表

nm

示焦点在y轴上的双曲线.其中b=q-占,渐近线方程为y=±-彳x,故C

正确.

对于D,当〃?=0,〃>0时，方程化为丫=士、/二，表示两条平行于x轴的直线，故D正

确.

综上可知，正确的选项为ACD.

II.右图是函数y=sin(s+p)的部分图象，则sin(<ox+e)=(）

T27rIT7T

解析选BC.由图象知菱=3'一5=2，得7=兀,

所以。=半=2.又图象过点仁，0),由“五点法”，结合图象可得夕+；=兀，即°鸟,

,故A错误;

由sin（2x+^）=sin［兀-g-2x）］=$山仔_2%）知B正确；由sin(2x+引.（..n.n

=sinl2x+2'

=cos（2x+y知

C正确;

sin（2x+争）=cos（2x+*）=(太一=_8S管-2x)知

由=cos兀+D错误.综上可知,

正确的选项为BC.

）

12.己知。>0,b>0f且。+力=1,贝心

A.a2+/?2^1

B.2ab百

C.Iog2a+log2b2一2D.y[a+y[b^：啦

解析选ABD.因为〃>0,Z?>0,a+h=l,所以〃+当且仅当〃=b=/时，等

号成立，即有

对于A,a2+〃=5+勿2—2M=1-2">1一2X；=£,故A正确；对于B,2fl_fc=22a

=]X22",因为

”>0,所以22">1,即2"一吗，故B正确；对于C,log2a+log2b=log246Wlog2：=—2,

故C错误；对于D,由(、£+$)2=。+%+2/石=l+2g^W2,得、£+也・啦，故D正确.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.棱长为2的正方形ABC。-4BC0I中，M,N分别为棱88”4B的中点，则三棱

锥Ai-DiMN的体积为.

解析如图所示，由正方体棱长为2,得SZ\4MN=2X2-2X；D,r.

X2Xl-|xiXl=|,又易知DA为三棱锥。-AiMN的高，且。A=

2,：.VAi-DiMN=VDi-AiMN+'W_1/

ANB

113

=7SZ\AiMM£Mi=qX?X2=1.

答案1

14.斜率为S的直线过抛物线C：/=4x的焦点，且与C交于A,B两点，则|AB|=

解析由题意得，抛物线焦点为尸(1,0),设直线A3的方程为y=，5(x"

—1).

y=V3(x-l),

y=4x,

得3/一10x+3=0.

设4(制，》),8(x2,>2),

则汨+乂2=¥，所以|AB|=XI+X2+2=号.

15.将数列｛2〃-1｝与(3〃-2)的公共项从小到大排列得到数列｛〃“｝,则｛斯｝的前n项和为

解析方法1(观察归纳法):数列｛2〃-1｝的各项为1,3,5,7,9,11,13,-；数列｛3〃一2｝的

各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13,是首项为1,公差为

6的等差数列，则斯=1+6(〃-1)=6〃-5.

〃(1+6〃-5)

故前n项和为Sn—=3"一2几

=

方法2(引入参变量法)：令b“=2〃-1,Cm=3m—2,bncm,则2〃-1=3,%—2,即3m=

2n+1,机必为奇数.令m=2/—1,则〃=3/—2"=1,2,3,…).

所以4=①,-2=。2,-1=6「-5,即an=6n—5.

以下同方法1.

答案3"2—2〃

16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图

所示.。为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线

AG的切点，B是圆弧与直线BC的切点，四边形QEFG为矩形，

3

BCLDG,垂足C,tan/O£>C=WBH//DG,EF=12cm,D£=2cm,

A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为

_________cm2.

解析如图所示，连接0A,过A作分别交EF,DG,

0H于点P,Q,R.

由题意知AP=EP=7,

又DE=2,或心⑵

TT

所以AQ=QG=5,所以NA”O=NAGQ=a.

因为O4_LA"，所以NAO”=：,所以N40B=

设AR=x,贝ij0R=冗，RQ=5~x.

35—x3

因为tan40DC=w，所以tanZODC=~--=T»

57—x5

解得x=2,则。4=2，1

所以5=5晶彩AOB+SZMOH—S小半圆

=；乂,又（26）？+；X4><2—3兀义I2

=l^~+41cm-.

答案（竽+4）

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）在①ac=小，②csinA=3,③,=小人这三个条件中任选一个，补充在下面问

题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=/sin8,

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解析方案一：选条件①.

由C4和余弦定理得上家=坐

由sinA=，§sin8及正弦定理得〃=小6.

生士Q二近

于无2小/22-2)

由此可得b=c.

由①ac=小，解得a=小，b=c=\.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=L

方案二：选条