人教版高中数学必修四教案全集

（2）设不超戋，点P在0、A、B所在的平面内，且求证：A、

B、P三点共线

例5已知a=2e-3a,ZF2a+3@,其中&,8不共线，向量城台-%，问是

否存在这样的〃，使d=4a+曲及C

四、课堂练a

1.设8、8是同T面内的两个向量，贝惰（）

A.8、8一定平彳丁

Re、&陶目等

C.同TW内的任一向量a者隋a=几e+〃£R）

D.若a、&不^域，则同T2面内的任一向量a都有a=Xe+ua（几、代

R）

2.已知a=8-2&,6=2e+8,其中&、e>^^,贝!J/6及c=68—28

的关M

A.岁啜△堤|C.mD.无法^定

3.已知向量&、a不提戋，实数x、y满足（3x4协e+（2尸3协改=6G+38,则

小y的值等于（）

A.3R-3C.01）,2

4.已知a、b不去嘤,且c-4济儿亦（儿，4£R）,若。及6型贝I4尸.

5.已知儿>0,几2>0,6、员是一组基底，且&=儿6+儿8,则a及6,

a及a（堤域或不爆.

五、〃嶂(略

第5课时

§2.3.2-§2.3.3

群目的：

(1)理解平面向量的坐标的概念；

(2)掌握平面向量的坐标期；

(3)会不臃坐标，判断向爵甜m

教学重点：平面向量的坐标硝

勃学准点：向量标表示的理解及运算的准确।生

授果辎

教具：多媒体、实物投影仪

一、引入

1.平面向量基本定理：如果［,砥是同一平面内的两个不蟋向量，那么

对于这-中面内的任一向量方，有且只有一对入1,入2使M=入£+入21

⑴我ff肥不麒向量162叫故表示这一平面内所有向量的一组M底；

⑵基底不H关键是科噬

⑶由定理可将任一向量a在给出基底“e2的条件下进行分解；

⑷基超合定时，分解形式X猫，入2是被第［,［唯一确定的数量

二、ww®

1.

如图，在直角坐标系内，我彳I'吩另瞰及X轴、)，轴方向相同的两个单位向

量/♦、J作为基底任作一个向量”，由平面向量基本定理知，有且只有一对

期一，使得

点Aim置由a唯一确定

设方=xi+”，则向量3的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐

标(x,y)也就是向量苏的坐标因此在平面直角坐标系内，每一个平面向

量都是可以用一对溺唯一

2.

(1)若a=(xl,yi),b=(x2,y2),贝!ja+h=(内+々，%+为)，

a-b=&-%2,y,-y2)

两个向量和及差的坐标分另愕于这两个向量相应坐标的和及差

设、j，则a+b=(xti+yj)+(x2i+y2j)=(再+x2)i+(%+y2)j

即。+/?=(匹+x2,yt+%)，同理可得。一。=3-％2，%-%)

(2)若A(X|,y),B(x2,y2),则一司,内一必)

一个向量的坐商量示lEL向鼬有向线段白於，黑曲词法始点的坐标

AB=OB04=(x2,y2)(XI,yi)=(&Xi,y2y)

(3)若a=(x,y)和^^4,则々/=(Ax,Ay).

娱吸向量的积的坐标等于用这个蟠乘原来向量的相应坐标

设基底为i、j,则九r=4(xi+历)=Axi+Ayj,即

Aa=(Ax,Ay)

三、獭箱例：

例1已知A(x”yi),B(X2,丫2),求AB的坐标

例2已知a=(2,1),/?=(-3,4),求a+/?,af,3a+4〃

的坐标

例3已知平面上三点［触标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4),

求点D的坐标使这四点构成平行四配四个顶点

解：当平行四边形为ABCD时，由通=比得*⑵2)

当平行四边形为ACDB口寸，得匕(4,6),当平行四边形为DACB时，得

DF(6,0)

例4已知三个力耳(3,4),耳(2,5),豆(x,y)的合力1+豆+元=6,

求元的坐标

解：由题设M+E+瓦=6得(3,4)+(2,5)+(x,y)=(0,0)

即“3+2+x=0...尸=-5...瓦(5,1)

4-5+y=0[y=l

四、课1练a

1.若M(3,-2)N(-5,-1)且而」而，求P点的坐标

2

2.若A(0,1),B(l,2),C(3,4),则而2於二.

3.已知：四点A(5,1),B(3,4),C(L3),D(5,-3),求证:

四边形ABCD是梯

五、d弊(略)

第6课时

§2.3.4

目的：

(1)理解平面向量的坐标的概念；

(2)裳屋平面向量的坐标运算；

(3)会根据向量的坐标，判断向量睇原

瓣重点：平面向量的坐前第

向鼬坐木^^的的蹦性

授舞鲤

教具多媒体、实物投影仪

一、复习引入

1.

分另瞰及x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、/作为基底任作一个

向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、门外

使得a=xi+yj-------/

把(x,y)叫做向量。的(直角)坐标，记作a=(x,y)——

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，檄।她i=(1,0),

j=(0,1),0=(0,0).

2.

若a=(x”y),b=(x2,y2),

则a+8=(X|+%2，y+/2)，。一8=(的一彳2，丹一为)，Aa=(Ax,Ay).

M

若A(X]，),B(x2,y2),则48=(%2-X],%-凹)

二、

a//b(B6)的充^条(牛是Xiy2-X2yi=O

设值二(xi,yj,B=(X2,yj其中Ba.

由五二入坂得(xi,y,)=X(X2,yj消去入，Xiy2-x2yi=0

〔M=仪

探究：⑴消去人时不能两式相除，•・％,y2有可能为0,,：b6.\x2,

y2中至少有一个不为0

(2)充要条件不能写成&=区Vx.,次有可能为0

x}x2

⑶从而向量共线的充要条件有两种形式：五〃B

(b6)。］疝

玉%-々y=0

三、喉脚

例1已知5=(4,2),B=(6,y),^a//b,求y.

例2已知A(T,-1),B(b3),C⑵5),试判断A,B,C三点之间的

例3设点P是线段PH上的一点，B、P2的坐标分别是(X”y),但，yj.

(1)当点P是线段PE的中点时，求点P的坐标；

(2)当点P是线段PH的一个三等分点时，求点P的坐标

例4若向量,=(T,x)及B=(-x,2)招蛆方向相同，求x

解：,.,五二(-1,x)及B=(~x,2):•(T)X2-犬(-㈤=0

.,.X=±V2及B方向相同/.X=V2

例5已知A(-1,-1),B(l,3),C(l,5),D(2,7),向量丽及丽平

行吗？直线AB及平行于直线CD吗？

解：•・•丽=(1—(―1),3—(—1))X2,4),而二(2—1,7—5)=(1,2)

又V2X2-4X1=O：.AB//CD

又•・•元=(1一(一1),5-(-1))=(2,6),AB=(2,4),2X4-2X60

二.就及而不平行

:.A,B,C和嘤」.AB及CD不重合.•.AB〃CD

1.若无⑵3),ZF(4,-l+y),且H〃8,则产()

A.6笈5C.7D.8

2.若/(x,-1),B(l,3),。(2,5)三点爆，则x的值为()

A.-3B.-\C.1D.3

3.若而=i+2j,~DC=(3-另i+(4-y)j(其中i、j的方向分另吸x、y轴正方

向相同且为朝立向量).髓及皮沸，则x、y的直可能分别为()

A.1,262,2C.3,2D.2,4

4.已知京(4,2),ZF(6,y),豆allb,贝!)产______.

5.已知a=(l,2),ZF(X,1),若济26及2n6平行，贝壮的值^9.

6.已知口加6四个顶点的坐标为4(5,7),8(3,x),02,3),以4,劭，

则产.

五、〃弗(略)

§2.4平面礴镯朝

第7课时

_、背＞2^含义

目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向的孽［40^算律；

3.了解用平面向量白徽量积可以姐i有矫度、角度和垂直的问题;

4.掌握向量垂直的彼

教学重点：向鼬义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应

用

新触

教具：实物股影仪

内容分析：

本节学习的却是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义

之后便可引导学生推导数量积的软律然后通过概念辨析题加深学生对

于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意

义平面向量数I积的5个重要T蝴；平面向量数量积的运算律

过程：

一、复习引入：

1.向向量B及蟀向量，麒的愧：有且只有一个

非^^（入，使k入五.

2.平面向量基本定理：如果［是同一平面内的两个不麒向量，那么

对于这一平面内的任一向量M，有且只有一对入1,入2使。=入g+入21

3.平面向量的坐标表示

分另瞰及X轴、y轴方向相同的两个单位向量i、J作为基底任作一个向

量”，由平面向量基本定理知，有且只有一对鳏h、y,使得a=xi+切

把(x,y)叫做向量”的(直角)坐标，记作a=(x,y)

4.平面向量^^标i磅

若a=(再,y)，b=(x2,y2),贝以+。=(百+x2,y}+%)，a-b=(xt-x2,yi-y2),

Aa=(Ax,Ay).

若A(X］，M),B(x2,y2),则AB=(%2-西，力一州)

5.a//b(b6)的充要条件是Xiy2-X2yi=0

6.线段的定比分点及人

Pl,P2是直线/上的两点，P是/上不同于P”，存在鳏设,

使肝二人短，人叫做点P分质所成的比，有三种情况：

-pjp,p??-P*~

入>0(内分)(夕h9-)A<0(X<-1)(夕入<0(_1<X<0)

7.定比分点坐标公式：

若点H(x”yi),尸2(x2,yj,几为鳏且肝=4短，则点〃的

坐标为(士毕，出学),我何尔4为点〃分而所成的比

1+21+2

8.点产的位置及4的范围的关系：

①当》>0时，呼及短同向堤这时称点〃为根的内分点.

②当几<0(丸。一1)时，耳?及短反向^这0惭点户为根的夕吩点

9.线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点0,设丽=a，西

=b,

可得而二a+劝a+-^b.

1+21+21+2

10.力做的功：W=㈤|s|cos,是尸及s的夹角.

二、^讲解新课:

1.两个三号向量夹角的概念

已知三凄向量a及8,作况=a,OB—b,则(0W

JW")叫a及8的夹角.

说明:(1)当。=0时,a及6同向;

(2)当。="时，a及8反向；

(3)当。=工时，a及6垂直，记a_L8；

2

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0W

W180

2.平面向量数S积(内积)的定义：已知两个向量a及6,它们的夹

角是优则数量|a|61cos叫a及6的数量积，记作ab,即有ab二

㈤161cos,

(0W咤").翔定。及任(可向量懒氢联JQ

探究：两个向量的数量积及向量同娜积有很大区^

(1)两个向量的数量积是一个舞L不是向量，符号由cos的符号所决

定

⑵两个向量的数量树尔为内积，写成a氏今后要学到胸个向量的外积

aXS,而a6是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“•”在

向量运算中不是乘号既^能省略，也不育卵“X”代替.

(3)在诩中，若a0,且aZFO,贝！J/FO；但是在数量积中，若a0,

且aLFO,不能推出ZF〃因为其中COS有可能为0.

(4)已知b、c(b0),贝a=c.{ab-

ba-c

如右图：ab=\a\|Z?|cos=|Z?||0A|,bc=

\b\|c|cos=|Z?||0A|

ab-b(?{Hac

(5)在鳏好也有(aB)c=a(bc),但是(a6)ca(bc)

显然，这是因为左端是及c磨戋的向量，而右端是及&案戋的向量，而

-毅a及c袂戋

3.“投影”的概念：作图

定义：|Z?|cosnL］做向量6在a方向上的微幺

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时

投影为负值;当为直角时投影为0;当=0时投影为国；当=180

时投影为\b\.

4.向量的稣积的几何意义:

数量Rab等于a的长度及b在a方向上投影14cos的乘积

5.两个向量雌蜀喇颤：

设a、8为两个非零向量，e是及b同向的单位向量

1ea-ae=|a|cos

2abab=Q

3当a及6同向时，a6=⑷18；当口及6反向时，ab=\a\\b\.

特别的aa=Ia「或a|='«

5\ab|W|a||b|

三、讲解范例：

例1已知|a|=5,|Z?|=4,a及6的夹角。=120°,求

例2已知|a|=6,|Z?|=4,a及6的夹角为60"求(a+2b)•(a-3b).

例3已知|a|=3,|引=4,且a及b不抡k为何值时，向量a+kb及a-kb

互相垂直

例4判断正误，并简要说明理由.

①a*0=0；(2X)•a=0；(3)0—AB=BA®\a•b\=\a\\

bI；⑤aWO,贝时任一三曜8有a•b丰0；⑥a•b—0,则a及

8中至少有一个为0；⑦对任意向量a,b,c都有(a・8)c=aQb・c)；

⑧a及8是两个单位向量，则a2=81

解：上述8个命题中只有③@正确；

对于①：两个向量的数量积是一个鳏应有0•a=0；对于②：应

有0•a=0；

对于④：由数量淀义有Ia•b\=\aI•IbI,Icos。IWI

a\\b\,这里。是a及8的夹角，只有。=0或。=加时，才有|

a*b\=\a\*\b\\

对于⑤若三凄向量a、6垂直，有a•8=0；

对于⑥由a•b=0可知aJ_8可以都非零；

对于⑦：若a及c报t记a=4c.

则a・b=(入c)•b=A(c•Z?)=4(b,c),

(a•Z>)•c—A(Z>•c)c—(/)•(?)Ac—(/)•(?)a

若a及c移啜，则(a・8)cW(8・c)a.

评述：这一频题，要求学生确实小襟1积的定义、性质、运算

律

例6已知|a|=3,||=6,当①a〃b,②a_L6,③a及8的

夹角是60°时，分另悚a•b.

解：①当a〃8时，若a及8同向，则它们的夹角。=0°,

/.a•b—\a\•|b\cos0°=3X6X1=18；

若a及8反向，则它们的夹角。=180。，

a•b=\a\\b\cos180°=3X6X(-1)=—18；

②当aJ_6时，它们的夹角。=90°,

a,8=0；

③当a及方的夹^是60°时，有

a•b=\a\\b\cos60°=3X6x1=9

2

评述：两个向量的数量积及它们的夹角有关，其范围是[0°,180°],

因此，当a〃训寸，有0°或180°两种可能

四、课堂练习：

1.已知|a|=l,|〃=痣，且（才6）及a垂直，则a及6的夹角是（）

A.60°R30°C.135°D.45°

2.已知|4|=2,出|=1,a及8之间的夹角为?，那么向量而用4b的模为（）

A.2B.26C.61）.12

3.已知a、6是三曙向量，则|a|=仿|是但百及36）垂直的（）

A.充分但不必要条件R必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量a、6的夹角为与，|a|=2,|力|=1,则|附•匠4=.

5.已知外ZF27-8J,a-b=-8i+16j,其中i、J是直角坐标系中x轴、p轴正

方向上的单位向量，那么a•ZF.

6.已知a_LAc及a、6的夹角均为60°,且|a|=l,|8=2,|c|=3,则（卅2Zrc）

2—

7.已知㈤=1,|6|二血，⑴若a〃，求a•氏⑵若a、6的夹角为60°,

求/6|；⑶若夕8及a垂直，求a及6的夹角.

8.设勿、n是两个单位向量，其夹角为60°,求向量声2研〃及tr2n~3m

的夹角，

9.对于两个三摩向量a、b,求使:界洞最小时的t值，并求此时b及拉tb

的夹角.

五、力绍（略）

第8课时

二、平面向律

目的:

i.掌握平面向量数量积运算规律；

2.能^用数1积的5个重要性质及数量积运算规幽缺有关问题；

3.掌握两个向量裁、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能

解决一些简单问题

教学重点：平面向规律

教教俶点：平面向®的质

授果鲤

教具：本、实物投影仪

内析：

启发学生在理辘国只的运算特点的基础±,逐步拇载置积的运算

律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练顾用数量积的

性质.

过程：

一、复习引入:

1「两向量夹角的概念

已知m曜向量a及8,作苏=a,OB—b,则N/。/=。（0W

30n）叫a及6的夹角.

2.平面向殿濯积（内积）的定义：已知两个三臂向量a及8,它们的夹

角是仇则数量Ia||61cos叫a及8的娄圜只，记作ab,即有ab二

Ia\IZ?|cos,

（owew8）.并规定。及任何向量的数量积为。

3.“搦T的概念：作图

定义：㈤cosnL］做向量6在a方向上的微幺

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时

投影为负值;当为直角时投影为0;当=0时投影为国；当=180

时投影为\b\.

4.向量的稣积的几何意义:

数量Rab等于a的长度及b在a方向上投影14cos的乘积

5.两个向量雌蜀喇颤：

设a、8为两个非零向量，e是及b同向的单位向量

1ea-ae=|a|cos；2abab-0

3当a及6同向时，a6=㈤|6|；当a及6反向时，ab=\a\\b\.

特别的aa,-|.a『或।a|=7aa

4cos；5|a6|W|a||6|

|aIS|

二、新课：

平面向量数量积的运算律

1.聿：ab=ba

证：设a,6夹角为，则ab-|a||61cos,ba-\b\\a\cos

'.ab-ba

2.吉合律：(入a)b=X(a6)=a(入方

证：若九>0,(>46二九|a||61cos,入(aIJ)-k\a\|Z?|cos,a(几近

二九Ia|Ib|cos,

若入〈0,(九a)b二|九a|[61cos()=X|a||Z?|(cos)

=A,\a\|Z?|cos,A.(aA=X\a\|Z?|cos,

a(入方=\a\|XZ?|cos()=X|,a|[Z?|(cos)

=A,\a\|Z?|cos

3.分配律：(a+0c-ac+bc

在平面内取一点〃作苏二a,~AB-b,OC-c,,:a+b（即厢）

在c方向上的投影等于a、6在c方向上的投黔口，即|a+b|cos=\a\

cosi+|b|cos2

/.|c|\a+b\cos=|c\\a\cosi+|<?|)b\cos2,Ac(a+

ID)-ca+cb即：(&+〃c-ac+bc

说明：(1)也，(a•b)c丰a(b•c)

(2)a•c=b•c,a=b

(3)有如下常用性质：a2=।&12,

(a+6)(c+d)=a•c+a•d+b•<?+

b•d

(a+8)2=a2+2a•8+62

三、讲角锢列:

例1已知a、6都是三凄向量，且a+3b及7a56垂直，a4b及7a

2b垂直，求a及8的夹角.

解：由(a+36)(7a50=07a+16ab156=0①

(a4A(7a26)=07a30a8+84=0②

两掰腻：2ab-ID

RMMgW：J=6

设a、6的夹角为，则cos.・.二60

例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.

解：如I图：平行四边形ABCD中，AB=DC,而=反，AC=AB+AD

..\AC\=\AB+AD\2=AB+AD+2ABAD2___

而______________

mBD^AB-AD,'/

AB

..BD|=|AB-AD]1=AB+AD-2ABAD

?.|AC|+BD|=2AB'+2AD'^\AB\2+\BC{1+\DC\2+\AD^

例3四边形ABCD中，~AB=a,~BC=b,CD—c,DA—d,且"b

—b•c—c•d—d•a,试问四边形4如是什么图形？

分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算

该四边形的边角量

解：四边形的跳形，这是因为：

一■方面：a+8+c+d=0,a+8=—(c+d),.，.(a+8)

2=(6+3)2

即IaI2+2&,6+|6|2=।c^+2c.d+\d\^

由于a•b=c•d,|a|?+|b\2=\cI2+|d|?①

同理有|a|2+||2二||2+|812②

由①®可得lal=ll,且Ul=ldl即四边形的两组对

别相等

四边形板9是平行四边形

另一方面，由a-b=b•c,有8(a—<?)=0,而由平行四边

形^7?可得a=—c,fVvhs'C得6•(2a)=0,即a•b=0,'.a

_L8也即能L/

四邂的

评述：⑴在四边形中，而，丽，丽，丽剧I页次首尾相^向量，则

其和向量是零向量，即a+8+c+d=0,应注意这一隐含条件应用；

⑵由已知条件产生数量积的卷是构造数I积，因檄1积的定义式

中含有边、角陶铁系

四、课堂练习：

1.下列树不正确的是()

A.向量缄量稠前足殛律B.向量懒量积满足分配律

C向D.a・b—个四

2.已知|a|=6,㈤=4,a及Z?的夹角为60°,贝ij(附26)•(a-36)等于()

A.725-72C.36D.-36

3.|a|=3,|6|=4,向量/36及卅36的位置关系为()

44

A.平行员垂直C.夹角为工D.不平行也不垂直

3

4.已知|a|=3,|〃=4,且a及Z?的夹角为150°,贝!!(9/?)?=.

5.已知|a|二2,|6|=5,a,ZF-3,贝1J|卅〃=,\a-b\-.

6.设|a|二3,|6|=5,且/几6及a—垂直，贝.

五、〃彝（略）

第9课时

三、玉丽11数翻雌屐展模蝴

目的：

（1度求学生翼g平面向量数量积的坐标表示

⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式

⑶育卵所学知识解决俞粽合问题

教学重点：平面向®W只的坐木;iW

修点：平面向量数量积的坐标表示蹒合运用

授麋锂：

教具：多媒体、实物投影仪

过程：

一、复习引入：

1.两个三臂向量夹角的概念

已知三凄向量a及8,作E=a,OB—b,则N/。衣=夕（0W

JW"）叫a及6的夹角.

2.平面向野量积（内积）的定义：已知两个三臂向量a及8,它们的夹

角是优则数量Iall61cos叫a及6的数圜只，记作ab,即有ab二

Ia|161cos,

（0WJW%）.。及用可向量

3.向量的数量积的几何意义：

数期只ab等于a的长度及b在a方向上投影14cos的乘积

4.两个向量雌蜀喇颤：

设a、8为两个非零向量，e是及b同向的单位向量

1ea-ae=|a|cos；2abab-Q

3当a及6同向时,a6二|a||6|；当a及6反向时,ab=\a\\b\.

特的3.a.—|a『或a|=Ja•a

4cos=a"；5|a6|W|a||8|yt普d

14ISI/

8(不以

5.平面向量数量把唯J运算律

为雉：ab=ba

多乘吉合律：aa)b=X(,a垃二a

己律：（a+Ac-ac+bc

L平面两向量数量积的坐标表示

已知两个向量a=(x”M)，匕=(%2，%)，试用。和b的坐标表示a.b.

设i是X轴上的单位向量，/是y轴上的单位向量，那么。=卬+刈，

b=x2i+y2j

22

所以a•>=(%"+yj)(x2i+y2j)=xix2i+xty2i-j+x2yti-j+yiy2j

又=j•j=1,i-j=j-i=0,所以。/=匹％2+必必

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即

a-b=+y1y2

2.平面内两点间的距离公式

一、设a=(x,y),则|a『=骨+y?或a|=6+,2.

(2)如果表示向量。的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x”y)、

(乙,%)，那么Ia|=八内一%)2+3-%产(平面内两点间的距离公式)

二、向量垂直的判定

设。=(用,以)，b=(x2,y2),则

ox/2+%%=°

三、两向量夹角的余弦(0<”乃)

COS=aM

|a|-|Z>l4x；+y；&2+%2

四、讲用锚例：

五、设a=(5,7),6=(6,4),求a•b及a、6间的夹角。(精

确到1°)

例2已知1(1,2),M2,3),(X2,5),•鼎U断△板的形状，并给出

证明.

例3已知a=(3,1),6=(1,2),求茜足xa=9及xb=4

的向量x

解:设矛=(6解

3t—s=9t=2

由=><二(2,3)

x-b=-4/+2s=-4s=-3

例4已知,3=(1,73),b=(73+1,V3—1),贝!ja及6的夹角是多

分析：为求a及6夹角，需先求a•8及IaI•\b\,再结合夹角。的范

围确定其值.

解：由a=(1,V3),b—(V3+1,V3—1)

有a・b=8+l+G(g—1)=4,|a|—2,|6|=2&.

记a及6的夹角为仇则c。s仁二也

~T

丈：0&9&JI,：.

4

评述：已矢后角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.

例5如图，以原点和/(5,2)为顶点作等腰直角△延使8=90，求

点8和向量通的坐标

解：设8点坐标(x,y),则无=(x,切，而=(x5,y2)

'.'OBAB*.x{x5)+y(y2)=0即：x+y5x2y=0

又;|而I=IABI：.x+y=(x5)2+(y2>即：lOx+4y=29

3

7-

X2-

x,=一2

厂+y~-5x—2y=0

由v?3或7

-

y=

1Ox+4y-2922

%二一2

.・.夕点坐标g）或（勺；

例6在△位'中，通=⑵3),AC=(1,拉,且AW的一个内角为直角,

求4值.

解：当力=90时，ABAC=0,.•.2X1+3XA=O：.k

2

当6=90时，~ABBC=0,BC=AC(12,43)=(1,

k3)

.\2X(1)+3X(43)=0：.k

3

当。=90时，ACBC=0,1+k{k3)=0：.k=2i2^

2

六、课堂练习：

1.若于(一4,3),ZF⑸6),贝!131al2-4a•6=()

A.23R57C.63D.83

2.已知4(1,2),M2,3),。(-2,5),则A4况为()

A.直角三角形〃锐角三角形C.钝角三角形I).不等边三角形

3.已知声(4,3),向量直a的单位向量，则6等于()

令或专,I)人(|令或(-|,告

。(|,-$或(-2|)口(|,-$或(4$

4.才(2,3),ZF(-2,4),则(界〃,(3~垃=.

5.已知/(3,2),以-1,-1),若点〃为二)在线段金的中垂线上,则朽.

2

6.已知力(1,0),8(3,1),。(2,0),且手前，LFCA,则a及6的夹角

为.

七、小结（略）

第12课时

复习课

一、教学目标

1.理解向量零向量向量的模单位向量.平行向量.反向量相等向量

两向量的夹角等概念。

2.了解平面向量基本

3.向量恸函的平行四边形法（共起点）和三角形法则（首尾相^）。

4.了解向瓢桐各粹等式：||ZHMC±XZ|+|B|（试

问：取等号的条件是什么?）和向量形式的平行四边形定理：

2（|a12+12|2）=|a—b|2+1a|2.

5.了解诩及向量的乘去（即数乘的意义）：

6.向量的坐标概念和坐标表示法

7.向量的坐标运算（加减鳏娴向量去.数翻D

8.数量积（点内积）的概念，a•Z=1WI11|cos6=X|X?+丫］丫2注意

区别“娱吸向量的乘法；向量及向量的乘法”

二、

向量知识，向量观点在数学.物理等翔的很多分支有着广泛的应用，

而它具有曦形式和几何形式的“双重身份”能艘购T本，能及中学

数译学内容的许多主干知识综合，形成知诚汇点所以高考中应引起

足够的重视数量积的主要应用：CM模长；（W夹角；爵曜直

三、典型例题

例1.对于任意m回向量"及求证：IIZ1-I/IW：土BIWI

aI+IAI

证明：⑴两个三臂向量3及1快戋时，Z+B的方向及入右的方向者B

不同，并且13I-1/<1々±51<|3I+IBI

⑶两个三臂向量Z及B案戋时，&及3同向，则々+b的方向及].b相

同且IW+BI=IZI+IgI.②，及B异向时，则"+B的方向及期大的

向量方向相同，^\a\>\b\,则|KB|=|ZHV.同理可证另一种情况也

啦。

例2已知。为△ABC内部一点,NA0B=150°,NB0C=90°,设5X=Z,而与，

OC=c,

且|Z|N|%|=1,Ic|=3,用)及%表充ij

解:如图建立平面直角坐标系xoy,其中;，j是单位正交基底向量则BS,

1),C(-3,0),设A(x,y),则和豚口x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°

_90°),即A(1,-出),—43j,b-j,c=~3i所以

-3a=373&+cI即c-3a—373b

例3.下面5个命题：①|Z-ft|=|«|•历|②G・1)2=”.>③■_]_(1

―c),则a*c=b,c④a,b=0,则|a+g|=|a—b|(§)a•fe=0,则a=6

或g=6,其中真命题是()

A(D©5)B(3X4)CCD®

三、巩固训练

1.下面5个命题中正确的<()

A..(D©5)B.(D@5)C.(2X3®D.(D®

2.下列命题中，正确命题的个数为(A)

例Z及3是非零向量，且Z及♦感戋时，贝脑及3如反a或刃中之一方向相

同；例展为朝的量，且々〃测入③>・々・々=|小M及

B域，［及匕爆，则1及2峻；⑤^平面内四点A.B.C.D,必有

AC+BD=BC+AD

A1B2C3D4

3.下列5个命题中正确的是

CM于蟠(P,q和向量Z,若pZ=q"则回四对于向量々及Z,若|Z|3=|g|1

则)=h③对于两个单位向量Z及5，若|3+♦|=2则Z=h◎寸于两个单位向量

a及1,若k"与，则Z=b

4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1),B⑸4),C(2,7),D(T,4),求证:

四边形ABCD为正方形。

三角恒锄^

一、晰要求

本章学习的主要内容是两角和及差的正弦、余弦、和正切公式，以及

运用这些烟进行简单的恒

三角恒于三角函数及数学期他吉合点上通过本章学习，要

使学生在学习三角恒级换的基本思想和方法的过程中，发展艇!能力和

运算能力，使学生体会三角恒的工具性作用，学会它6」在数学中的

~，些应用.

1.了解用向量的数量树t导出两角差的余弦公式的过程，蛇步体会向

量方如勺作用;

2.理解以两角差的余弦公式导出两角和及差的正弦、余弦、正切公式，

二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3.运用上述公式进行简单的恒翎^以引导学辘导半角公式，积化

和差、和差化积公式（不要求记忆）作辘本训练，使学生『步提高运

用转化的观点去处理问题的自觉性，体会r圾物的思想,换元的思想,

方程的思想辍学思想在三角恒^^中的应用.

二、编写意甑特色

i.本章的内容分为两节：“两角和及差的正弦、余弦和正切公式”，“简单

的三角恒例^”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者

的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，

降低了难度，使学生容易凝

2.本章是以两角差的余弦公式作辘础5雕导其它的公式；

3.本章在内容的待让有明暗两级，明线包立公式，学会变兔暗线

是发展廨和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，糊胜意附

恰点糠出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、姻纲题,

强化运用数学思想方法指导设计蝴思潞的意识；

4.本章在内容的舜F上贯彻“删峭负的计算、人雌巧化的难野蹴分

强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒其应用的繁、

难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作的依

据，而只把夔蚣处摊导作会^的基榴习.

三内容及课时帮健议

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3.1两角和及差的正弦、余弦、和正切公式约3课时

3.2简单的恒聚嫩约3课时

复习约2课时

§3.1两角和及差的咏融眦切公式

一、晰要求

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用,

体会和认识公式槌征及作用.

二、编写意甑特fe

本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明

及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明

及初步应用

三、教学

1.重点引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的

一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒藜

换打好基础；

2.难点：两角差的余弦公式的糅及证明.

3.1.1两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用向量方崩立两角差的余弦公式通过简单运用，使学生初步理

解公喇钠及其功能，为建立其它和（差）公式打好基砒

二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得至1俩角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组绷殖当引导这里不仅有学习积极性的问

题，确探索过程必用的基础知识是否坐具备的问题，运用已学知识和

方渊能力问题，等等

三、学法及教学用具

1.学法：启发式教学

2.教学用具：多媒体

四、陲：

（一）导入：我们在初中时布口道cos45=也，cos30=无，由此我们

22

能否得至（Jcos15=cos（45-30）=?可以猜想，是不于cos45-cos30

呢？

根据我H应第一章所学的知识瞅娥们蹒想是错廓勺！TWM僦

一酶讨两角差的余弦公式cos伍-力）=?

（二）蝌懈：

在第一章三角函数的学习当中我fl'御道,在设角a的终边及单位圆的交

点为％cosa等于角a及单位圆交点的横坐标，也可以用角a的余弓越来

表示，大家思考：怎样构造角£和角a-力？（注意：要及它们的搬、

余族联M起来)

展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索

cos(«-/?)及cssa、cosp、sintz、sin/7之间的关系，由此得到

cos(a-0)=cosacos尸+sinasin(3,认识两角差余弦公式的结构.

思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦

公雌们能否用向量的知识来证明？

提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

2、厨羊利用向量磁遑积的险断十算公式霜膝索结果？

展示体课件

比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用及

便禾吃处

思考：cos(«+/?)=?->cos(«+/7)=cos[a-(-/?)],再利用两角差的余弦公式

得出

㈢例醐解

例1、利用和、差角余弦公式求cos75>COS15的值.

解：分析：把75、15构造成两个翩确的和、差

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，

例如：cos15=cos(60-45),要学会灵活运用.

例2、已知sine=g,a€仁,乃卜05£=-',小是第三象限角,求cos(a-⑶

的^1.

解：因为aefy，sina=一由止t^cosa=-V1--

又因为cos/?=-A^是第三象限角，所以

sin（3=--Jl-cos2/3=12

B

1233

所以cos（a一尸）=cosacos夕+sinasin0=

65

点评：注意角a、0的象限，也就是符号问题

（四）d冷：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的

特征，了解公式怫导过程，熟知由此衍^的两角和的余弦公式在解m

程中注意角a、P的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.

㈤作业；之）.「（

§3.1.2两角和及差的豉1、余弦、正切公式

一、教学目标

理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的

方法，体会三角恒点的过程，频隹导过程，期其应用

二、教学重、难点

i.教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

2.教学难点两角和及差正弦、余弦和正切公式的灵活运用

三、学法及瓣用具

学法：研讨式教学

四、罐：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和及差的余弦公式：

这是两角和及差的余弦公式，下面大家思考一下两角和及差的正弦公

式是怎样的呢？

提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，

运峨们解决今天的问题有帮助吗？

让学生动手完成两角和及差正弦和正切公式

sin（a-尸）=sin[a+（一4）]=sin