江西省南昌市新建区第一中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题理含解析

PAGE1-江西省南昌市新建区第一中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）说明：1.书写整齐无大面积涂改且主观题基本完成的得5分2.书写有涂改或主观题未完成的，依据状况扣（1—5）分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.1.下列命题中为真命题的是()A.命题“若，则”的逆命题B.命题“，则”的否命题C.命题“若，则”的否命题D.命题“若，则”的逆否命题【答案】A【解析】命题“若,则”的逆命题为“若,则”，所以为真命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为-2,但，所以为假命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为当时，所以为假命题；命题“若,则”为假命题，所以其逆否命题为假命题，因此选A2.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的除运算化简复数，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【详解】复数纯虚数,则所以且所以故选：D【点睛】本题考查了复数代数形式的除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3.已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以命题为真；命题为假，所以为真，选B.4.若抛物线：（）的焦点在直线上，则等于（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】依据题意，由抛物线的方程分析可得抛物线的焦点坐标为，将抛物线的焦点代入直线的方程，可得答案.【详解】由抛物线C的方程为（），其抛物线的焦点在轴的正半轴上，则焦点坐标为.又由抛物线的焦点在直线上，则有，解得.故选：C【点睛】本题考查抛物线的几何性质，留意分析抛物线的开口方向，进而确定抛物线的焦点坐标．属于基础题.5.若圆的半径为2，则点到原点的距离为（）A.2 B. C.1 D.4【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程为：，结合条件和两点间的距离公式可得答案.【详解】由圆得,又圆的半径为2，则则点到原点的距离为：故选：A【点睛】本题考查圆的一般方程化为标准方程和两点间的距离，考查整体代换，属于基础题.6.“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：两直线平行，则有，故为充分不必要条件.考点：两条直线的位置关系，充要条件.7.如图，已知双曲线E：，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的长求出，由通径公式以及的长得到，再由，联立方程求出，即可得到双曲线的离心率.【详解】因为，所以.因为，所以.又，所以，解得或(舍去)故该双曲线的离心率故选：B【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.8.若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立．解出即可．【详解】由函数，则.函数在区间单调递增.所以在区间上恒成立.即在区间上恒成立.又当时，所以，即故选：C【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数范围的问题,转化为恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．9.若函数，最小值为0，则的最大值为()A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出,得出函数的单调区间,从而得到函数的最大值,可求出的值，从而得到答案.【详解】由函数,得当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增.

所以函数在上单调递减,在上单调递增.所以当时,函数有最小值,解得.又.则，依据函数的单调性可得，在的最大值为：故选:D【点睛】本题考查利用函数导数求的单调区间，从而求函数的最值,属于基础题.10.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】由的图象分析在各区间的正负，从而得的增减性，即可区分出函数的图象.【详解】由的图象可知，当时，，是增函数，当时，，是减函数，4个图象中只有C满意条件，故选：C【点睛】本题主要考查了通过函数的导数的正负可以确定函数的增减，属于中档题.11.由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为t∈(0,1)，所以由，所以阴影部分的面积为=．考点：定积分．点评：在平常做题中，许多同学认为面积就是定积分，定积分就是面积．从而导致此题出错．事实上，我们是用定积分来求面积，但并不等于定积分就是面积．12.定义在R上的函数满意，且对随意都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据条件有，从而得出函数在上为减函数，并可得出，这样依据不等式可得到，从而依据和对数函数的单调性即可得出不等式的解集，即得出原不等式的解集．【详解】设，则由，则，所以在上为减函数.又，则.由可得到,即所以,即.故选:B【点睛】考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及构造函数解决问题的方法，以及依据函数单调性解不等式的方法，对数函数的单调性．属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13._________.【答案】π【解析】【详解】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.∴dx＝×4π＝π，故答案为.14.已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】依据函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，可确定函数g（x）=x2+f（x）的切点坐标与斜率，从而可求切线方程．【详解】由题意，f（2）=2×2﹣1=3，∴g（2）=4+3=7∵g′（x）=2x+f′（x），f′（2）=2，∴g′（2）=2×2+2=6∴函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）即6x﹣y﹣5=0故答案为6x﹣y﹣5=0【点睛】(1)本题考查导数的几何意义，考查切线方程，确定切点坐标与斜率是关键．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是15.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．【答案】15.【解析】【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.【详解】由椭圆方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(−3,0),F2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a−|PF2|=10+(|PM|−|PF2|)⩽10+|MF2|==15，则|PM|+|PF1|的最大值为15.故答案为15.【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.16.关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是__．【答案】【解析】分析：首先将方程转化，分别参数，化为，将问题转化为函数图像与直线的交点个数来解决，之后构造函数，求导，利用导数探讨函数单调性，从而得到函数图像的大致走向以及相应的最值，最终求得结果.详解：关于的方程，即：，令函数，若方程在区间上有两个不等实根，即函数与在区间上有两个不同的交点，，令可得，当时，，函数是减函数，当时，，函数是增函数，所以函数的最小值为，，所以函数的最大值为，所以关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是.点睛：该题考查的是有关方程的解的个数对应的参数的范围问题，该题转化为函数与在区间上有两个不同的交点，结合函数图像的走向以及最值求得结果，还可以将方程转化为，即曲线和直线在相应区间上有两个交点，也可以求得结果.三、解答题：（共6小题；共65分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.求下列函数的导数.（1）y＝；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用和与积的导数运算法则结合常见函数的导数可求出答案.

（2）将函数的解析式通分变形为，再利用商的导数的求导法则可求出答案.【详解】（1）（2），所以.【点睛】本题考查导数的运算，敏捷应用导数的运算公式是解本题的关键，属于基础题．18.已知指数函数在R上单调递减，关于x方程的两个实根均大于0.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】【分析】求出，a＞2，由“p或q”为真命题，“p且q为假命题，得p真q假，或p假q真，由此能求出实数a的取值范围．【详解】若真，则在R上单调递减.所以，即若真，令，则应满意，解得因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以p真q假或者p假q真.①若p真q假，则所以.②若p假q真，则，所以综上，实数a的取值范围为.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、一元二次方程的性质等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．19.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，直线的方程为（为参数）.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线的一般方程；（Ⅱ）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极坐标为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值.【答案】（1）.（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）依据极坐标与直角坐标的互化公式转化，直线过定点，斜率是，写出直线方程；（Ⅱ）点，得到中点坐标，代入点到直线的距离公式求最大值.试题解析：解:(1)由.（2）直角坐标为，，，从而最大值为20.设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点.（1）确定a的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）增区间是，减区间是.【解析】【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数，再依据导数的几何意义求出切线的斜率，最终由曲线在点处的切线与轴相交于点列出方程求的值即可；

（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，推断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间．【详解】(1)因为，所以令，得，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得.(2)由(1)知，，.令，解得或.当或时，；当时，，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【点睛】本小题主要考查利用导数探讨曲线上某点切线方程、利用导数探讨函数的单调性及其几何意义等基础学问，考查运算求解实力，考查分类探讨思想、化归与转化思想．属于中档题．21.已知椭圆C：（）过点，短轴一个端点到右焦点的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设过定点的直线1与椭圆交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆上，求直线l的斜率k．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离为2可知，且椭圆过点，得到方程组，解得；（2）设直线方程为，通过以线段为直径的圆过坐标原点可知，通过联立直线与椭圆方程、利用韦达定理化简，进而计算可得结论；【详解】解：（1）由题意可得，解得：，，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设过的直线方程为，联立，消去、整理得：，因为直线与椭圆有两个交点，解得或设，，，，则，以线段为直径的圆过坐标原点，，即，，即，解得：满意条件，故【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解实力，留意解题方法的积累，属于中档题．22.已知函数，.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若实数为整数，且对随意的时，都有恒成立，求实数的最小值.【答案】（Ⅰ）极大值为，无微小值；（Ⅱ）1.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号探讨原函数的单调性，从而可确定函数的极值；(Ⅱ)结合题意分别参数