高考数学专题知识点系列复习训练题及答案解析(珍藏版)：01数列真题汇编与预赛典型例题

专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为 .2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。则的所有可能值为___________。3．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________.4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________.5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______.7．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中Sn表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.10．【2018年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数n≥1，an+1是与互素，且不等于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现.11．【2017年全国联赛】设数列定义为求满足的正整数r的个数。12．【2016年全国联赛】设p与p+2均为素数，p>3.定义数列，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对，均有.13．【2014年全国联赛】已知数列满足.求正整数m使得.14．【2013年全国联赛】给定正数数列满足，，其中，.证明：存在常数，使得.15．【2013年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数，.记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.16．【2012年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有.(1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列.(2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.17．【2011年全国联赛】已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小.18．【2011年全国联赛】证明：对任意整数，存在一个次多项式具体如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意的正整数及任意个互不相同的正整数，均有.19．【2011年全国联赛】设是给定的正实数，.对任意正实数，满足的三元数组的个数记为.证明：.20．【2010年全国联赛】证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.21．【2010年全国联赛】给定整数，设正实数满足，记.求证：.22．【2009年全国联赛】已知是实数，方程有两个实根，数列满足）．（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）若，求的前项和．23．【2009年全国联赛】在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列）均存在某个使得．①求证：（1）最小值）一定去自数表的不同列；（2）存在数表中唯一的一列）使得数表仍然具有性质（）．1．【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.2．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．则数列的通项公式为________.3．【2016年上海预赛】数列定义如下:，则___________。4．【2016年上海预赛】设为正整数1，2，···，2014的一个排列。记。则中奇数个数的最大值为___________。5．【2016年浙江预赛】已知数列满足。则__________。6．【2018年甘肃预赛】已知数列满足，则数列的通项公式是______．7．【2018年吉林预赛】在数列中，若，则称为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①数列是等方差数列；②若是等方差数列，则是等差数列；③若是等方差数列，则，k为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确的命题序号为________.（将所有正确的命题序号填在横线上）8．【2018年河北预赛】欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.9．【2018年浙江预赛】设数列满足，(n=1，2，…），则________.10．【2018年江西预赛】正整数数列满足满足．在中两数列的公共项的个数是______．11．【2018年浙江预赛】设实数x1，x2，…，x2018满足(n=1，2，…，2016)和，证明：.12．【2018年山西预赛】已知在正整数n的各位数字中，共含有个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．13．【2018年浙江预赛】将2n()个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明：14．【2018年贵州预赛】证明：（1）（k≥2，k∈N）；（2）分别以1，，……，，……为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为的正方形内．15．【2018年广西预赛】设，数列满足，求数列的前n项和.16．【2016年河南预赛】定义数列.证明：（1）为整数数列；（2）为完全平方数。17．【2016年甘肃预赛】设数列的前n项和为，点的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）求，且对任意的正整数n，均有.证明：对任意，总有.18．【2016年福建预赛】已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2(n∈Z+).（1）求通项公式an；（2）设为数列｛bn｝的前n项和，求正整数k，使得对任意的n∈Z+，均有T4≥Tn；（3）设，Rn为数列{cn}的前n项和，若对任意的n∈Z+，均有Rn<λ，求λ的最小值.19．【2016年山东预赛】已知数列满足.证明：在中，最少可以找到672个无理数.20．【2016年安徽预赛】已知数列满足用数学归纳法证明：.

专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为 .【答案】80【解析】设，则有，①.②用t表示中值为2的项数.由②知t也是中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}.因此的取法数为.取定后，任意指定的值，有22=4种方式.最后由①知，应取使得为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列唯一对应一个满足条件的数列.综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.

2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。则的所有可能值为___________。【答案】13、20【解析】由条件，知均为正整数，且。由于，故.反复运用数列的递推关系知，。而，故①注意到，则②当时，式①②分别化为无解。当时，式①②分别化为得到唯一的正整数，此时。当时，式①②分别化为：，得到唯一的正整数此时综上，的所有可能值为13、20。故答案为：13、20

3．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________.【答案】40【解析】由柯西不等式知，等号成立的充分必要条件为:，即成等比数列.于是，问题等价于计算满足的等比数列的个数.设等比数列的公比，且.记，其中，m、n为互素的正整数，且.先考虑的情形.此时，.注意到，互素，故.相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以q为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数l的个数，即.由于，故仅需考虑的情形，相应的等比数列的个数之和为.当时，由对称性，知亦有20个满足条件的等比数列.综上，共有40个满足条件的有序数组4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________.【答案】【解析】由题意知记数列的前n项和为.则.上面两式相减得故.5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.【答案】491【解析】令.则对每个符合条件的数列，满足条件，且.反之，由符合上述条件的八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列.记符合条件的数列的个数为.显然，中有；从而，有个2，个1.当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0、1、2，故.因此，由对应原理，知符合条件的数列的个数为491.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______.【答案】15【解析】注意到.要使为整数，必有均为整数，即.当时，均为非负整数.所以，为整数，共有14个.当时，，在中，中因数2的个数为.同理，可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110.故中因数2的个数为.从而，是整数.当时，.同理，中因数2的个数小于10.从而，不是整数.因此，整数项的个数为.故答案为：157．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.【答案】【解析】设的公差为的公比为.则解得.从而对一切正整数都成立.于是，.解得.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.【答案】答案见解析【解析】取最小值时.每个或1，.设中，n有个.则任意.令，则.由隔板法的解数为.因此所求有个，最小值.

9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中Sn表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）约定.由条件知，对任意正整数n，有.从而，即（当n=0时亦成立）.显然，.（2）仅需考虑同号的情况.不失一般性，可设均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则，故必有，此时，从而.

10．【2018年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数n≥1，an+1是与互素，且不等于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现.【答案】证明见解析【解析】显然a1=1或a2=1.下面考虑整数m>1，设m有k个不同素因子，我们对k归纳证明m在中出现.记.k=1时，m是素数方幂，设，其中，p是素数.假设m不在中出现.由于各项互不相同，因此存在正整数N，当n≥N时，都有.若对某个n≥N，，那么与Sn互素，又中无一项是，故由数列定义知，但是，矛盾！因此对每个n≥N，都有.但由及知，从而an+1与Sn不互素，这与an+1的定义矛盾.假设k≥2，且结论对k-1成立.设m的标准分解为.假设m不在中出现，于是存在正整数N'，当n≥N'时，都有.取充分大的正整数，使得.我们证明，对n≥N'，有.对任意n≥N'，若Sn与互素，则m与Sn互素，又m在中均未出现，而，这与数列的定义矛盾.因此我们推出：对任意n≥N'，Sn与不互素.（*）情形1.若存在，使得，因，故，从而（因）.情形2.若对每个，均有，则由（*）知必有.于是，进而，即.故由（*）知，存在，使得，再由及前面的假设，可知，故.因此对n≥N'+1，均有，而，故M不在中出现，这与归纳假设矛盾.因此，若m有k个不同素因子，则m一定在中出现.由数学归纳法知，所有正整数均在中出现.11．【2017年全国联赛】设数列定义为求满足的正整数r的个数。【答案】【解析】由数列的定义，知，假设对某个整数，有，只需证明对，有①对t归纳证明。当t=1时，由于，结合定义得结论①成立。设对某个，结论①成立，则由定义即结论①对t+1也成立。由数学归纳法，知结论①对所有成立，特别的，当时，有。从而，若将所有满足的正整数r从小到大记为则由上面的结论知故，从而，注意到,于是,在中满足的数r共有2018个:。由结论①,知对每个中恰有一半满足。又均为奇数,而在中，奇数均满足,偶数均满足其中的偶数比奇数少1个.因此,满足的正整数r的个数为

12．【2016年全国联赛】设p与p+2均为素数，p>3.定义数列，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对，均有.【答案】见解析【解析】首先注意，为整数数列.对n用数学归纳法.当时，由条件知.因为p与p+2均为素数，且，所以.因此，，即时结论成立.当时，设对，均有，此时，.故.从而，对，有，.又为整数，故.①因为（p为素数），所以，.又p+2为大于n的素数，故，从而，n与互素.于是，由式①知.由数学归纳法知本题得证.13．【2014年全国联赛】已知数列满足.求正整数m使得.【答案】3333【解析】由题意，知对任意正整数n有，且.①由于，则.由式①得.则.故（利用式①）.由.

14．【2013年全国联赛】给定正数数列满足，，其中，.证明：存在常数，使得.【答案】见解析【解析】当时，.①对常数，接下来用数学归纳法证明：②当时，结论显然成立.又.对，假设.则由式①知.于是，由数学归纳法，知式②成立.

15．【2013年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数，.记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.【答案】见解析【解析】对正整数.故设.取，其中，为满足的任意正整数.此时，.注意到，为奇数.故.于是，是完全平方数.由于有无穷多个，从而，数列中有无穷多项是完全平方数.

16．【2012年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有.(1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列.(2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.【答案】（1）1，2，3或1，2，或1，，1.（2）【解析】（1）当时，.由，得.当时，.由，得.当时，.若，得；若，得.综上，满足条件的三项数列有三个：1，2，3或1，2，或1，，1.（2）令.则.故.两式相减并结合，得.当时，由（1）知；当时，，即.所以，.又，则

17．【2011年全国联赛】已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）通过对合理变形，可得数列，求得数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；（2）通过（1）作差可知，利用等比数列求和，即可计算，得到结论．试题解析：（1）原式可变形得：，则，记，则，易求得所以．（2），易知，当且时，与同号，所以．考点：等比数列的定义及数列的递推式的应用．

18．【2011年全国联赛】证明：对任意整数，存在一个次多项式具体如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意的正整数及任意个互不相同的正整数，均有.【答案】见解析【解析】令.①将式①的右边展开即知是一个首项系数为1的正整数系数的次多项式.下面证明：满足性质2.对任意的整数，由于，故连续的个整数中必有一个为4的倍数.从而，由式①知.因此，对任意个正整数，有.但对任意的正整数.故.因此，符合题设要求.

19．【2011年全国联赛】设是给定的正实数，.对任意正实数，满足的三元数组的个数记为.证明：.【答案】见解析【解析】对给定的，满足，且①的三元数组的个数记为.注意到，若固定，则显然至多有一个使得式①成立.因，即种选法，所以，.同样地，若固定，则至多有一个使得式①成立.因，即种选法，所以，.从而，.因此，当为偶数时，设.则.当为奇数时，设.则.

20．【2010年全国联赛】证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.【答案】见解析【解析】令.则.所以，是严格递增的.又，故有唯一实数根.于是.因此，数列是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列满足，去掉上面等式两边相同的项有，其中，，且所有的都是不同的.不妨设.则，，矛盾.因此，满足题设的数列是唯一的.

21．【2010年全国联赛】给定整数，设正实数满足，记.求证：.【答案】见解析【解析】由，知对，有.注意到当时，有.于是，对，有.故.

22．【2009年全国联赛】已知是实数，方程有两个实根，数列满足）．（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）若，求的前项和．【答案】【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以整理得令，则．所以是公比为的等比数列．数列的首项为：．所以，即．所以．①当时，，变为．整理得，．所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为；……………5分②当时，，．整理得．所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为．………………10分(Ⅱ)若，则，此时．由第(Ⅰ)步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以．……………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以．特征方程的两个根为．①当时，通项得解得．故．……………………5分②当时，通项．由得解得．故．…………10分(Ⅱ)同方法一．

23．【2009年全国联赛】在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列）均存在某个使得．①求证：（1）最小值）一定去自数表的不同列；（2）存在数表中唯一的一列）使得数表仍然具有性质（）．【答案】见解析【解析】（1）假设最小值）不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何不妨设）．由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，）．使得．矛盾．（2）由抽屉原理知中至少有两个值取在同一列．不妨设．由（1）知数表的第一列一定含有某个，则只能是．同理，第二列中也必含某个）．不妨设．于是，，即是数表中的对角线上数字：．记．令集合．显然，．因为，所以，．故．于是，存在．使得．显然，．下面证明：数表具有性质（）．从上面的选法可知）．这说明．又由满足性质（），在式①中取，推得．于是，．接下来证明：对任意的，存在某个）使得．假若不然，则）且．这与的最大性矛盾．因此，数表满足性质（）．再证唯一性．设有使得数表具有性质（）．不失一般性，可假定②．由于及（1），有．又由（1）知，或者，③或者④如果式③成立，则⑤由数表满足性质（），则对于至少存在一个，使得．又由式②、⑤知．所以，只能有．同理，由数表满足性质（）得．于是，，即数表．如果式④成立，则⑥由数表满足性质（），则对于，存在某个）使得．由及式②、⑥知．于是，只能有．同理，由满足性质（）及．从而．1．【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.【答案】【解析】原正三角形的面积为，而第k次一共挖去个小三角形，.因此，可以采用等比级数求和公式，得到答案为.故答案为：

2．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．则数列的通项公式为________.【答案】【解析】设等差数列的公差为.由已知得.故.

3．【2016年上海预赛】数列定义如下:，则___________。【答案】【解析】由定义得.令.于是，故

4．【2016年上海预赛】设为正整数1，2，···，2014的一个排列。记。则中奇数个数的最大值为___________。【答案】1511【解析】若为奇数，则具有不同的奇偶性.从中至少有1007-1=1006个奇数.从而，中至少要改变1006次奇偶性.故中至少有503个偶数，即至多有2014-503=1511个奇数.取.则均为奇数.综上，中奇数个数的最大值为1511.

5．【2016年浙江预赛】已知数列满足。则__________。【答案】【解析】由已知.故.

6．【2018年甘肃预赛】已知数列满足，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】由可得，则．以下用累加法得，．得到，从而，．

7．【2018年吉林预赛】在数列中，若，则称为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①数列是等方差数列；②若是等方差数列，则是等差数列；③若是等方差数列，则，k为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确的命题序号为________.（将所有正确的命题序号填在横线上）【答案】①②③④【解析】①因为，所以符合“等方差数列”定义；②根据定义，显然是等差数列；③符合定义；④数列满足（d为常数）.若d=0，显然为常数列；若d≠0，则两式相除得，所以（常数），即为常数列.故答案为：①②③④8．【2018年河北预赛】欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.【答案】21【解析】本题采用分步计数原理.第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有种方法；共计21种上楼梯的方法.

9．【2018年浙江预赛】设数列满足，(n=1，2，…），则________.【答案】【解析】由，所以.

10．【2018年江西预赛】正整数数列满足满足．在中两数列的公共项的个数是______．【答案】135【解析】易知，2018是两个数列在内最大的一个公共项，除去这个公共项外，用2018分别减去的其余各项，前者得到，为，它们是内所有3的倍数；后者得到，为，它们是内所有5的倍数；显然，的公共项，一一对应于的公共项，而这种公共项是中所有15的倍数，为．因此，所求公共项的个数是个．故答案为：135

11．【2018年浙江预赛】设实数x1，x2，…，x2018满足(n=1，2，…，2016)和，证明：.【答案】见解析【解析】证明：由条件同号.反证法，假设.（1）若同为正数，由同号可知x1，x2，…，x2018同号.由同理.类似可证明：，…，.因此，矛盾.（2）若同为负数，由同号可知x1，x2，…，x2018均为负数，仍然有,类似（1）可证得.

12．【2018年山西预赛】已知在正整数n的各位数字中，共含有个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．【答案】见解析【解析】对正整数n的位数使用数学归纳法．当是一位数，即时，所证式显然成立，这是因为，此时的十进制表达式中只有一位数字，即，其余，所以，左边==右边．假设当正整数不超过k位，即时，结论皆成立．现考虑位数，即时的情形．设的首位数字为r．则.①若，则在数的各位数字中，，其余.显然，.若，记的各位数字中含有个1，个2，…，个r，…，个9．则的各位数字中，含有个r、个j.注意到，正整数不超过k位．由归纳法假设，对有②则当位数时，结论也成立．故由数学归纳法，知对一切正整数，结论皆成立．欲使等号成立，由证明过程，知要么为一位数；要么在的位数大于或等于2时，由式②，必须，此时，由式①得，即可表示为的形式.上述条件也是充分的，当能够表成以上形式时，有，其余.故13．【2018年浙江预赛】将2n()个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明：【答案】见解析【解析】证明：令下面用归纳法证明.当n=2时，不妨设a1<a2，b1<b2，a2<b2.当；.假设对正整数n成立，对正整数n+1，不妨设.再设，则有:下证.由（1）(k=1，2，…，n)，得到:（2）若，则.

14．【2018年贵州预赛】证明：（1）（k≥2，k∈N）；（2）分别以1，，……，，……为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为的正方形内．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）(2)由（1）知，故以边长为