2020年中考数学复习-第14章-整式的乘法与因式分解(专题复习讲义)

整式的乘法与因式分解知识点1整式乘法单项式×单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘法易错点：典例1计算：x•（﹣2x2）3=_____．【答案】﹣4x7【解析】分析：直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式计算得出答案．标准解答：x•（﹣2x2）3=x•（﹣8x6）=﹣4x7．故答案为：﹣4x7．典例2如果单项式－22x2my3与23x4yn＋1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是______.【答案】－32x8y6【标准解答】由题意可得，解得m=2，n=2，则这两个单项式的积为：－22x4y3×23x4y3=－32x8y6.故答案为－32x8y6.【点睛】本题考查了同类项和同底数幂的乘法，解此题的关键在于根据题意得到两个单项式为同类项，则相应字母的指数相等，求得指数的值，再根据同底数幂的乘法法则求解即可.典例3有理数a，b，满足，=________；【答案】6【标准解答】∵|a-b-2|+（2a+2b-8）2=0，∴a-b-2=0，2a+2b-8=0，解得：a=3，b=1，则（-ab）•（-b3）•（2ab）=a2b5=×9×1=6．故答案为：6典例4如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7，那么mn=_____．【答案】12【解析】，∴n+1=5，m+4=7，解得：m=3，n=4，∴mn=12．故答案为：12．单项式×多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。典例1已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．【答案】2【标准解答】（a﹣1）（b﹣1）=ab﹣a﹣b+1，当ab=a+b+1时，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案为：2．典例2若(x3＋ax2－x2)·(－8x4)的运算结果中不含x的六次项，则a的值为___．【答案】1【标准解答】解：（x3+ax2-x2）（-8x4）=，

∵运算结果中不含x6项，

∴(-8a+8)=0，∴a=1，

故答案为：1．典例3计算：2m2•(m2+n−1)=____．【答案】2m4+2m2n-2m2【标准解答】2m2•(m2+n−1)=2m4+2m2n-2m2故答案为：2m4+2m2n-2m2典例4若ab2=-6，则-ab(a2b5-ab3-b)的值为_________．【答案】246【标准解答】原式=-a3b6+a2b4+ab2=-（ab2）3+（ab2）2+ab2，当ab2=-6时，原式=-（-6）3+（-6）2-6=216+36-6=246，故答案为：246．多项式×多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。典例1若x2+mx﹣n=（x+2）（x﹣5），则m=_____，n=_____．【答案】﹣310【解析】（x+2）（x﹣5）=x2-3x-10，所以m=-3，n=10.典例2已知，则______．【答案】180.【标准解答】解：，，典例3多项式的展开结果中的的一次项系数为3，常数项为2，则的值为_________.【答案】－6【解析】标准解答：（x-m）（x-n）=x2-（m+n）x+mn，由题意得，m+n=-3，mn=2，则m2n+mn2=mn（m+n）=-6，故答案为：-6．典例4（2x2﹣3x﹣1）（x+b）的计算结果不含x2项，则b的值为_____．【答案】【标准解答】解：原式＝2x3+2bx2﹣3x2﹣3bx﹣x﹣b由于不含x2项，∴2b﹣3＝0，∴b＝，故答案为：．特殊多项式相乘（考点）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2【扩展】扩展一(公式变化)：++2ab扩展二：+=2(+)-=4ab扩展三：++=-2ab-2ac-2bc典例1已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝_____．【答案】9000【标准解答】x＝y+95x-y=95x2﹣2xy+y2﹣25=（x-y）2-25=952-52=（95-5）（95+5）=90×100=9000典例2若，，则．【答案】22【解析】标准解答:∵，，∴=36-14=22.故答案为：22.典例3已知，，（1）则____；（2）则___．【答案】；【解析】试题解析：将a+b=-3两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=9，

把ab=-2代入得：a2+b2-4=9，即a2+b2=13；

（a-b）2=a2+b2-2ab=13+4=17，即a-b=±．典例4若，则________________.【答案】8【标准解答】解：∵可化为，化为∴原式==32-1=8典例5若，则__________．【答案】【解析】试题解析：（m-n）2=（m+n）2-4mn，当m+n=3，mn=22，原式=32-4×2=1．∴m-n=±1故答案为±1．②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2【运用平方差公式注意事项】1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．

2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．典例1设S=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216），则S+1=______．【答案】232．【标准解答】S=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)=(2﹣1)×(2+1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)=(22﹣1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)=232﹣1，故S+1=232，故答案为：232．典例2计算:若，，则的值为________.【答案】12【标准解答】解：(a+1)2﹣(b﹣1)2=(a+1+b-1)(a+1-b+1)=(a+b)(a-b+2)∵a+b=4，a﹣b=1∴原式=4×3=12.典例3计算：20182－2017×2019＝____．【答案】1【标准解答】原式，故答案为：1典例4，则______．【答案】【标准解答】已知等式整理得：9（a+b）2-1=899，即（a+b）2=100，开方得：a+b=±10，故答案为：±10典例5计算：=_____.（结果中保留幂的形式）【答案】216﹣1．【标准解答】原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1．故答案为：216﹣1．知识点2整式除法单项式÷单项式一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。典例1=____________【答案】【标准解答】原式＝a6•a6b2÷a2b=a12b2÷a2b=a10b，故答案为：a10b.典例26a2x3·（_________）=36a4x5-24a3x4+18a2x3．【答案】6x2a2-4ax+3【解析】(36a4x5-24a3x4+18a2x3)÷6a2x3=36a4x5÷6a2x3-24a3x4÷6a2x3+18a2x3÷6a2x3=6a2x2-4ax+3，故答案为6a2x2-4ax+3.典例3（2017·上海民办常青中学初一期中）计算：__________；【答案】.【标准解答】，===.多项式÷单项式一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.【解题思路】多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决）。典例1计算：（）__________．（）__________．【答案】【解析】因为，，故答案为:，.典例2已知一个三角形的面积为8x3y2－4x2y3，一条边长为8x2y2，则这条边上的高为___________.【答案】2x－y【解析】∵三角形的面积为8x3y2－4x2y3，一条边长为8x2y2，∴这条边上的高为2(8x3y2－4x2y3)÷8x2y2=16x3y2÷8x2y2－8x2y3÷8x2y2=2x－y，故答案为：2x－y.典例3已知为正整数且能被整除，则的最大值为______．【答案】890.【标准解答】由题意得为整数，且，能被整除，的最大值为890.故答案为：890典例4如果2x2y•A=6x2y2﹣4x3y2，则A=____________．【答案】3y﹣2xy．【标准解答】∵2x2y•A＝6x2y2﹣4x3y2，

∴A＝(6x2y2−4x3y2)÷2x2y＝3y−2xy.

故答案为：3y−2xy.典例5已知长方形的面积为(6a2b-4a2+2a)，宽为2a，则长方形的周长为____________。【答案】6ab+2【标准解答】∵长方形的面积为(6a2b-4a2+2a)，宽为2a，∴长方形的长为：3ab-2a+1∴长方形的周长为：2×（3ab-2a+1+2a）=2×(3ab+1)=6ab+2故本题答案为：6ab+2知识点3因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．【因式分解的定义注意事项】1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2.因式分解必须是恒等变形；3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．因式分解的常用方法：提公因式法【提公因式法的注意事项】1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。典例1（2018·廊坊市期末）分解因式：－x=__________．【答案】x（x+1）（x－1）【解析】解：原式典例2分解因式：9abc-3ac2=__________．【答案】3ac（3b﹣c）【解析】标准解答：原式=3ac（3b﹣c）．故答案为：3ac（3b﹣c）．典例3（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×________.【答案】（a-b+x-y）【解析】运用公因式的概念，把多项式（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2运用提取公因式法因式分解（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×（a-b+x-y）.故答案为：（a-b+x-y）.典例4若x＋y＝1，xy＝-7，则x2y＋xy2＝_____________．【答案】﹣7【解析】∵x+y=1，xy=﹣7，∴x2y+xy2=xy(x+y)=-7×1=-7.典例5若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．【答案】12【解析】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=12．典例6若，则__________．【答案】4【解析】(a-1)2+(b-3)2=0,a=1,b=3,所以a+b=4.故答案为4.典例7在实数范围内因式分解：2x3+8x2+8x＝_____【答案】2x（x+2）2【标准解答】解：原式＝2x（x2+4x+4）＝2x（x+2）2，故答案为：2x（x+2）2典例8若,那么=________.【答案】0【标准解答】∵a2+a+1=0，

∴a2001+a2000+a1999=a1999（a2+a+1）=0．

故答案为：0．典例9分解因式：x2-2x+（x-2）=___________。【答案】（x+1）（x-2）【解析】标准解答：x2-2x+（x-2）=x(x-2)+(x+2)=（x+1）（x-2）故答案为：（x+1）（x-2）典例10已知则=_______．【答案】15【标准解答】∵m+n=5，mn=3，∴m2n+mn2=mn（m+n）=3×5=15．故答案为：15．公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2典例1分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3=_____．【答案】2ab（a﹣b）2．【解析】分析：先提取公因式2ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．标准解答：2a3b-4a2b2+2ab3，=2ab（a2-2ab+b2），=2ab（a-b）2．典例2分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2．【解析】解：令x+y=a，xy=b，则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1=（b﹣a+1）2；即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．典例3（2018·海门市期中）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______．【答案】．【标准解答】解：由面积可得：．故答案为：．典例4（2019·内蒙古中考模拟）分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝_____．【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．【标准解答】解：a2﹣1+b2﹣2ab＝（a2+b2﹣2ab）﹣1＝（a﹣b）2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．故答案为：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．典例5（2018·湖南中考真题）因式分解：＝___.【答案】【解析】标准解答：a2（a-b）-4（a-b）=（a-b）（a2-4）=（a-b）（a-2）（a+2），故答案为：（a-b）（a-2）（a+2）．典例6已知：，且则．【答案】14【解析】试题分析：因为，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．典例7（2019·蓬莱市期中）若m﹣2n=﹣1,则代数式m2﹣4n2+4n=____________．【答案】1【标准解答】解：,故答案为：1．典例8若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=________．【答案】4【标准解答】解：a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．故答案为：4.典例9多项式18xn+1-24xn的公因式是_______.【答案】6xn【解析】运用公因式的概念，找出系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是xn，可得公因式为6xn．故答案为：6xn.典例10分解因式：_____________．【答案】【标准解答】解：==x（y﹣3）（y+3）．故答案为：x（y﹣3）（y+3）．十字相乘【十字相乘的注意事项】1）用来解决两者之间的比例问题。2）得出的比例关系是基数的比例关系。3）总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。典例1分解因式：2x3﹣6x2+4x=__________．【答案】2x（x﹣1）（x﹣2）．【解析】分析：首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．标准解答：2x3﹣6x2+4x=2x（x2﹣3x+2）=2x（x﹣1）（x﹣2）．故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）．典例2分解因式：ax2+2ax﹣3a=__________________________．【答案】a（x+3）（x﹣1）【解析】标准解答：ax2+2ax-3a=a（x2+2x-3）=a（x+3）（x-1）．故答案为：a（x+3）（x-1）典例3分解因式：=_____________________．【答案】【标准解答】因为-6×2=-12，-6+2=-4，所以x2-4x-12=（x-6）（x+2）．故答案是：.典例4（2018·山东中考模拟）分解因式：x2+4x﹣12＝______．【答案】：．【标准解答】.故答案为：.典例5（2018·江苏中考模拟）分解因式：______．【答案】【解析】标准解答：x²-4x+3=（x-1）（x-3）．故答案为：（x-1）（x-3）．效果检测1选择题1．下列多项式能分解因式的是（）A．+B．﹣﹣C．﹣+2xy﹣D．﹣xy+2．下列分解因式正确的是（）A．-a+a3=-a（1+a2）B．2a-4b+2=2（a-2b）C．a2-4=（a-2）2D．a2-2a+1=（a-1）23．因式分解x2y－4y的正确结果是（）。（A）y（x2－4）（B）y（x+2）（x－2）（C）y（x+4）（x－4）（D）y（x－2）24．下列多项式能因式分解的是（）A.m2+nB．m2-m+1C．m2-2m+1D．m2-n5．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1B．x2+2x-1C．x2-1D．x2-6x+96．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mnC．﹣x2﹣y2D．﹣x2+97．计算（2x3y）2的结果是（）A．4x6y2B．8x6y2C．4x5y2D．8x5y28．已知a+b=3，ab=2，计算：a2b+ab2等于（）A．5B．6C．9D．1填空题9．把多项式﹣4a分解因式为．10．若实数a满足a2+a=1，则-2a2-2a+2015=.11．如果x2＋mx＋6＝（x－3）（x－n），那么m＋n的值为_________________．12．计算．13．分解因式：x3﹣x=．14．已知，则m＋n＝．15．因式分解：4﹣12+9a=．16．因式分=．计算题17．化简或计算(1)、(2)、(3)、4x3÷（-2x）2(4)、(x-3)(x-2)-(x+1)2(5)、a（2a+3）-2（a+3）（a-3）18．因式分解：（1）；（2）解答题19．把下列多项式分解因式（1）9(a+b)2-25(a-b)2（2）6x(a-b)+4y(b-a)20．连一连：（1）（2）参考答案1．C2．D．3．B4．C．5．D．6．D．7．A8．B．9．a（a－4）10．2013.11．-3．12．-413．x（x+1）（x﹣1）．14．-3．15．a16．17．（1）（2）（3）x(4)(5)18．（1）；（2）．19．（1）4(4a-b)(4b-a)（2）2(a-b)(3x-2y)20．略。效果检测2一、选择题1、下列计算正确的是()A、3x－2x＝1B、3x+2x=5x2C、3x·2x=6xD、3x－2x=x2、如图，阴影部分的面积是（）第2题图A、 B、 C、 D、第2题图3、下列计算中正确的是（）A、2x+3y=5xyB、x·x4=x4C、x8÷x2=x4D、（x2y）3=x6y34、在下列的计算中正确的是（）A、2x＋3y＝5xy；B、（a＋2）（a－2）＝a2＋4；C、a2•ab＝a3b；D、（x－3）2＝x2＋6x＋95、下列运算中结果正确的是（）A、；B、；C、；D、.6、下列说法中正确的是（）。A、不是整式；B、的次数是；C、与是同类项；D、是单项式7、ab减去等于()。A、；B、；C、；D、8、下列各式中与a－b－c的值不相等的是（）A、a－（b+c）B、a－（b－c）C、（a－b）+（－c）D、（－c）－（b－a）9、已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（）aabb图1aabb图1图210、如下图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）。这一过程可以验证（）(第10题图)A、a2+b2－2ab=(a－b)2；B、a2+b2+2ab=(a+b)(第10题图)C、2a2－3ab+b2=(2a－b)(a－b)；D、a2－b2=(a+b)(a－b)二、填空题11、（1）计算：；（2）计算：．12、单项式是关于x、y、z的五次单项式，则n；13、若，则14、当2y–x=5时，=；15、若a2＋b2＝5，ab＝2，则(a＋b)2＝。16、若4x2＋kx＋25＝(2x－5)2，那么k的值是17、计算：1232－124×122=________18、将多项式加上一个整式，使它成为