12.3 角的平分线的性质 人教版八年级数学上学期学案

12.3角的平分线的性质【典型例题】◆角平分线性质基本运用1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝．2．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE＝．3．如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G．求证：（1）BF＝CG；（2）AF＝（AB+AC）．◆角平分线中常见辅助线4．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝12，CD＝18，E为BC边中点，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，则AD的长为．5．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．6．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．（1）求证：点E到DA.DC的距离相等；（2）求∠BED的度数．7．如图，AD是△ABC的角平分线，点F、E分别在边AC.AB上，连接DE.DF，且∠AFD+∠B＝180°．（1）求证：BD＝FD；（2）当AF+FD＝AE时，求证：∠AFD＝2∠AED．8．在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上运动，点B在y轴的正半轴上运动，△AOB的外角平分线相交于点C，如图1所示，连接CO．（1）求证：CO平分∠AOB；（2）延长CB交∠BAO的平分线于点D，如图2所示，求证：∠D＝∠COA．9．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB＝AD+BC．【练一练】1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．2．如图，BF是∠DBC的平分线，CF是∠ECB的平分线．（1）请问点F是否在∠BAC的平分线上，试说明理由；（2）猜想∠A与∠BFC的数量关系．3．在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动．（1）如图1，已知∠A＝∠D＝90°①若BF平分∠ABC，则∠BFC＝°②若∠BFC＝90°，试说明∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，已知∠A＝∠D＝∠BFC，试说明BF平分∠ABC．课后作业：1．如图，△ABC的边AB与△EDC的边ED相交于点F，连接CF．已知AC＝EC，BC＝DC，∠BCD＝∠ACE．（1）求证：AB＝ED；（2）求证：FC平分∠BFE．2．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．参考答案【典型例题】◆角平分线性质基本运用1．6：8：3．解：∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，∴P点到三边的距离相等，设这个距离为m，∴S△PAB：S△PBC：S△PCA＝×AB×m﹣×BC×m﹣×AC×m＝AB：BC：AC＝30：40：15＝6：8：3．故答案为6：8：3．2．4．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴2y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，∵S△BCE＝•EC•BF＝4，∴×2m×m＝4，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴CE＝2m＝4，故答案为4．3．证明：（1）连接BE和CE，∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF＝CG；（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE，在△AFE和△AGE中∴△AFE≌△AGE，∴AF＝AG，∵BF＝CG，∴（AB+AC）＝（AF﹣BF+AG+CG）＝（AF+AF）＝AF，即AF＝（AB+AC）．◆角平分线中常见辅助线4．26．解：如图，在线段AD上截取AF＝AB，DC＝DG，连接EF，EG．∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC，∵AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，EA＝EA，∴△ABE≌△AFE（SAS），同法可证，△DEG≌△DEC（SAS），∴BE＝FE，∠AEB＝∠AEF，CE＝EG，∠CED＝∠GED，∵BE＝CE，∴EF＝EG，∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°，∴∠AEF+∠GED＝60°，∴∠FEG＝60°，∴△FEG是等边三角形．∴FG＝GE＝EF＝BC，∵AD＝AF+FG+GD，∴AD＝AB+CD+BC＝2+18+6＝26，故答案为26．5．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BFD＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．6．证明：（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD，∴EH＝EF，∵∠BAC＝130°，∴∠FAE＝∠CAD＝50°，∴EF＝EG，∴EG＝EH，∴ED平分∠CDG，∴点E到DA.DC的距离相等；（2）∵ED平分∠CDG，∴∠HED＝∠DEG，设∠DEG＝y，∠GEB＝x，∵∠EFA＝∠EGA＝90°，∴∠GEA＝∠FEA＝40°，∵∠EFB＝∠EHB＝90°，∠EBF＝∠EBH，∴∠FEB＝∠HEB，∴2y+x＝80﹣x，2y+2x＝80，y+x＝40，即∠DEB＝40°．7．证明：（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，如图1所示：∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMB＝∠DNF＝90°，又∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，又∵∠AFD+∠B＝180°，∠AFD+∠DFN＝180°，∴∠B＝∠DFN，在△DMB和△DNF中，∴△DMB≌△DNF（AAS）∴BD＝FD；（2）在AB上截取AG＝AF，连接DG．如图2所示，∵AD平分∠BAC，∴∠DAF＝∠DAG，在△ADF和△ADG中．，∴△ADF≌△ADG（SAS）．∴∠AFD＝∠AGD，FD＝GD又∵AF+FD＝AE，∴AG+GD＝AE，又∵AE＝AG+GE，∴FD＝GD＝GE，∴∠GDE＝∠GED又∵∠AGD＝∠GED+∠GDE＝2∠GED．∴∠AFD＝2∠AED8．【解答】证明：（1）过C分别向x轴、y轴、AB作垂线，垂足为H2，H1，H3，∵BC平分∠ABH1，∴CH1＝CH3，∵AC平分∠BAH2，∴CH2＝CH3，∴CH1＝CH2，∴CO平分∠AOB；（2）作射线AE，∵BC为角平分线，∴∠1＝∠ABC，∵∠EBD＝∠ABC，∠OBD＝∠1，∴∠EBD＝∠ABD，∵AD平分∠BAO，∴∠OAD＝∠BAD，∵∠OBE＝∠AOB+∠BAO，∠DBE＝∠BAD+∠D，∵∠OBE＝2∠DBE，∠BAO＝2∠BAD，∴∠D＝∠AOB＝45°，∵∠COA＝AOB＝45°，∴∠D＝∠COA．9．证明：如图：过M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，在△MCD和△MED中∴△MCD≌△MED（AAS），∴CD＝DE，同理：AE＝AB，∴AD＝AE+DE＝CD+AB．10．证明：如图，取AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAF，在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴∠AED＝∠AEF，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∴∠DAE+∠CBE＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠AEF+∠BEF＝∠AEB＝90°，∠AED+∠BEC＝180°﹣∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∴∠BEF＝∠BEC，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴BF＝BC，∵AB＝AF+BF，∴AB＝AD+BC．【练一练】1．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝60°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°（2）过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝3又AB＝10，AC＝8，∴．2．证明：（1）点F在∠BAC的平分线上，理由是：如图，过点F作FG⊥AB的延长线于G，作FH⊥AC的延长线于H，作FK⊥BC于K，∵BF是∠DBC的平分线，∴FG＝FK，∵CF是∠ECB的平分线，∴FK＝FH，∴FG＝FH，∴点F在∠BAC的平分线上；（2）猜想：∠BFC＝90°﹣∠BAC．证明：设∠ABC＝α，∠ACB＝β；则∠DBC＝∠BAC+β，∠BCE＝∠BAC+α，∵BF、CF分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，∴∠FBC+∠FCB＝+，＝，＝90°+∠BAC，∴∠BFC＝180°﹣90°﹣∠BAC，＝90°﹣∠BAC．即猜想成立．3．解：（1）①∵∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，∴∠CBF＝，∠BCF＝，∴∠CBF+∠BCF＝＝90°，∴∠BFC＝90°；故答案为：90②∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCF，∴∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBF＝∠ABC，∴∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，延长BF交于点M，∵∠BFC＝∠D，∠BFC+∠CFM＝180°，∴∠CFM+∠D＝180°，∴∠FMD+∠DCF＝180°，∵∠FMD+∠EMF＝180°，∴∠DCF＝∠EMF，∵CE平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠BCF＝∠EMF，∵∠EFM＝∠BFC，∴∠FEM＝∠CBF，∵∠CFB＝∠A，同理得∠FEM＝∠ABF，∴∠ABF＝∠CBF，∴BF平分∠ABC．课后作业：1．证明：（1）∵∠BCD＝∠ACE，∴∠BCD+∠ACD＝∠ACE+∠ACD，即∠BCA＝∠DCE，在△ABC与△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴AB＝ED；（2）过点C作CG⊥AB，CH⊥DE，垂足分别为G，H，∵△ABC≌△EDC，∴∠B＝∠D，∵CG⊥AB，CH⊥DE，∴∠BGC＝∠DHC＝90°，在△BCG与△DCH中，∴△BCG≌△DCH（AAS