高考数学一轮复习 第11章 算法初步、复数、推理与证明 第3讲 合情推理与演绎推理学案-人教版高三全册数学学案

第3讲合情推理与演绎推理

考点回顾考纲解读考向预测

年份卷型考点题号分值

1.理解合情推理和演绎推理的思维方

刈9年主要考杳”判断

法，尤其对特殊数列的通项公式或求

2017n逻辑推理95正误、归纳猜想、联想类比、由特殊到

和公式能作出猜想，然后给出证明.

一般.

2016逻辑推理1652.弄清类比推理题目中给出的命题的

n解题时可首先计算出前几项、也可

运算原理或结构，在新的条件下类比

以先假设成立，再进行逻辑推理.

2015新命题.

板块一知识梳理•自主学习

［必备知识］

考点1合情推理

f.

归纳推理类比推理

由某类事物的部分对

象具有某些特征,推出由两类对象具有某些类似

该类事物的全部对象特征和其中一类对象的巨

定义

都具有这些特征的推知特征，推出另一类对豪

理，或者由个别事实概也具有这些特征的推理

括出一般结论的推理

由部分到整体、由个别

特点由特殊到特殊的推理

到一般的推理

（1）通过观察个别情况（1）找出两类事物之间的相

发现某些相同性质；似性或一致性；

一般

（2）从已知的相同性质（2）用一类事物的性质去推

步骤

中推出一个明确的一测另一类事物的性质，得出

般性命题（猜想）一个明确的命题（猜想）

1

考点2演绎推理

1.定义：从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演

绎推理.

2.特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.

3.模式：“三段论”是演绎推理的一般模式:

①大前提——已知的条件;

“三段论”②小前提——所研究的特殊情况；

的结构③结论——根据一般原理，对特殊问题做11

的判断.

①大前提一M是P；

“三段论”

②小前提——S是M；

的表示

③结论——S是P.

［必会结论］

1.合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正

确时，得到的结论一定正确.

2.合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理.

［考点自测］

1.判断下列结论的正误.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()

(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()

(3)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()

(4)”所有3的倍数都是9的倍数，某数〃是3的倍数，则〃一定是9的倍数”，这是

三段论推理，但其结论是错误的.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)V

/H...1~22…2

2.［2018•长春模拟］设〃GN*,则/—――=

V2〃个77个

()

33—333…333--333…3

A.B.C.—D.

〃个277—1个2”一1个2?7个

答案A

〃个

3.［课本改编］下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写

出第〃个图形中小正方形的个数是一

□El

图1图2图3图4

答案«2

解析由题图知第1个图形的小正方形个数为1,第2个图形的小正方形个数为1+2,

第3个图形的小正方形个数为1+2+3,第4个图形的小正方形个数为1+2+3+4,…，则

第〃个图形的小正方形个数为1+2+3+…+片吗2

4.［课本改编］在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：

4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为.

答案1：8

解析因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,

两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方.所以它们的体积比为1：8.

5.［2015•陕西高考］观察下列等式

11

2--2-

11111

十

-2-十3-4--3-4-

11111111

十

---+----十--

23-45-645+-6

据此规律，第〃个等式可为

111111

答案++

2-3--4-/+2

272

解析观察所给等式的左右可以归纳出1—2+3—3+…+3T片击+去

+…+--

6.[2018•东北三省模拟]在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了

优秀.当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；

甲说：“丙说的是真话”.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀

的同学是.

答案丙

解析分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙,

即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙.

板块二典例探究•考向突破

考向对归纳推理

▼鱼题角度L…数字的归纳

例1[2018•浙江模拟]“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕

斯卡三角形”早了300多年.如图是杨辉三角数阵，记a〃为图中第〃行各个数之和，则a5

+处的值为（）

A.528B.1020C.1038D.1040

1

11

121

1331

14641

15101051

答案D

解析第一行数字之和为a=1=2一,

第二行数字之和为a=2=2",

31

第三行数字之和为a3=4=2-,

第四行数字之和为a=8=21，

第〃行数字之和为a=2"，

410

•,.a5+an=2+2=1040.故选D.

?血题免度2一式壬的归纳

Y

例2设函数*x）=F7（x>°），观察:

x十2

x

£（x）=Hx）=不出

x

fl（X）=flfx（x）]=aj，

JX-I-T：

x

五（x）=f[f2（X）]=_1_Q,

7x十8

x

立（x）=f"（x）]=i5x+i6.

根据以上事实，由归纳推理可得：

当T?£N*且时，£(x)=/[£—i(x)]=.

x

答案(2"-l)x+2"

解析根据题意知，各式中分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…，可知

x

£(x)的分母中常数项为2",分母中x的系数为2〃-1,故£(x)=/[£T(x)]=⑵-1口+2”

▼金题角度3…图形的归纳

例3如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标

A,点(1,一D处标况点(0,—1)处标为，点(一1,—1)处标仄，点(-1,0)处标点(一

1,1)处标尾点(0,1)处标加…，以此类推，则原3处的格点的坐标为.

y

X

答案（16,13）

解析观察已知点（1,0）处标即8X1,点⑵1）处标弧即一*3,点⑶2）处标友5,

即fexs>由此推断点（〃，n—1）处标A（z«-i）x（2^-1）,因为961=31X31时，27=16,故Z%6）

处的格点的坐标为（16,15）,从而蜃3处的格点的坐标为（16,13）.

触类旁通

归纳推理问题的常见类型及解题策略

（1）与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.

（2）与式子有关的归纳推理

①与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.

②与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项

与项数的关系，列出即可.

（3）与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验

证其真伪性.

【变式训练1】［2018•泉州模拟］已知如下等式：2+4=6；8+10+12=14+16；18

+20+22+24=26+28+30；…以此类推，则2020会出现在第个等式中（）

A.30B.31C.32D.33

答案B

解析①2+4=6；

②8+10+12=14+16；

③18+20+22+24=26+28+30,…

其规律为：各等式首项分别为2乂1,2（1+3）,2（1+3+5）,一,

所以第〃个等式的首项为2［1+3+…+（2〃-1）］=2义.+廿—D=2一,

当〃=31时，等式的首项为2X3y=19为,

当〃=32时，等式的首项为2X32?=2048,

所以2020在第31个等式中.故选B.

考向国

类比推理

例4:2018•抚顺模拟］若数列｛a｝是等差数列，则数列伉｝卜产且土生受巧也为

等差数列.类比这一性质可知，若正项数列｛或是等比数列，且｛a｝也是等比数列，则&的

表达式应为()

a,Cl+c2H----------\-Cnc,Cl•C2..........Cn

A.dn~~B.dn~~

nn

n

「7C；+C2+-+d

c-4=\---D.D=7cl.c2..........Cn

答案D

解析若｛劣｝是等差数列，则句+&H1■&=侬1+"；"a所以4=a+勺1"=1^

+a-。，即｛4｝为等差数列；若匕｝是等比数列，则QF....+-

/7(77—1)n~l

-2-m------------~2~

Cl,q,所以a=qCl.C2..........Cn=Cl.q,即｛㈤为等比数列.故选D.

触类旁通

类比推理的分类

类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法.

(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来

求解；

(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问

题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；

(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其

他问题的求解中，注意知识的迁移.

【变式训练2】如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个

直角三角形，有勾股定理/=a2+8.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的

是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S,£,&,截

面面积为S,类比平面的结论有

答案「ud+d+e

解析三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2

考向3演绎推理

刀+2

例5[2018•山东调研]数列｛a｝的前〃项和记为S,已知a1L4+1=------Sn(nG

n

N*).证明:

⑴数列pl1是等比数列；

⑵S+i=4劣.

〃+2

证明（1）:&+1=S+1-Sn,a+l=Sn,

n

：.（T?+2）Sn=n（Sn+i—Sn）,即77S+I=2（77+1）S.

.-.^7=2-（小前提）

〃十1n

故是以2为公比，1为首项的等比数列.（结论）

（大前提是等比数列的定义，这里省略了）

（2）由（1）可知上言=4•至,

7?+127—1

〃一1+2

・・・S+】=4(〃+l)・台=4SJ—1

n—1

=4a〃（A22）,（小前提）

又az=3S=3,S=ai+a2=l+3=4=4ai,（小前提）

.••对于任意正整数〃，都有S+i=4%.（结论）

（第（2）问的大前提是第（1）问的结论以及题中的已知条件）

触类旁通

演绎推理的结构特点

（1）演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前

提、结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一

个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来，提示

了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论.

（2）演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提.一般

地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

【变式训练3】某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一

到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有4B,C,D,£五辆车，保证每

天至少有四辆车可以上路行驶.已知£车周四限行，方车昨天限行，从今天算起，A,C两车

连续四天都能上路行驶，£车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（）

A.今天是周六B.今天是周四

C./车周三限行D.。车周五限行

答案B

解析因为每天至少有四辆车可以上路行驶，£车明天可以上路，£车周四限行，所以

今天不是周三；因为8车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为4C两车连续

四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.

,----------------------------------------------------------------------------------------------------------10幺师笔记•归?内领悟I--------------------------------------------------------------------------------------------------

MINGSHIBIJIC^GUINALINGWU

O核心规律

1.合情推理的过程概括为

从具体问题出爰］—T观察、分析、比较、联想|一|归纳、类比］一|提出猜想

2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特

殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.

满分策略

1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证

明.

2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严

密性，书写格式的规范性.

3.合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.

板块三启智培优•破译高考

创新交汇系列9——演绎推理中的创新问题

［2015•福建高考］一个二元码是由0和1组成的数字串为范…法（AGN*）,其中Xk（k=

1,2,〃）称为第4位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元

错误（即码元由。变为1,或者由1变为0）.

已知某种二元码荀至…毛的码元满足如下校验方程组:

的㊉㊉%㊉为=0,

＜刘㊉冬㊉不㊉莺=0,

、矛㊉1舄㊉不㊉厮=0,

其中运算㊉定义为：0㊉0=0,0㊉1=1,1㊉0=1,131=0.

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第A位发生码元错误后变成了1101101,那么

利用上述校验方程组可判定4等于.

解题视点求解此类问题的关键是读懂新定义，在领会新定义的基础上，明晰新定义的

内涵和外延，将其转化并运用到新情境中，进而判断参数4的值.

解析因为工㊉四㊉选㊉X7=l㊉1㊉0㊉1=0㊉0㊉1=0㊉1=1WO,所以二元码1101101

的前3位码元都是对的；因为X?㊉四㊉流㊉X7=l㊉0㊉0^1=1^091=1^1=0,所以二元

码1101101的第6、7位码元也是对的；因为xi㊉为㊉为㊉X7=l㊉0㊉1㊉1=1㊉1㊉1=0㊉1

=1WO,所以二元码1101101的第5位码元是错误的，所以#=5.

答案5

答题启示与演绎推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点，解决此类

问题时，一定要读懂新定义的本质含义及符号语言，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进

行恰当的转化，注意推理过程的严密性.

,跟踪训练

在平面直角坐标系中，若点尸(x,力的坐标x,了均为整数，则称点尸为格点.若一个

多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的

格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中的△/况'是格点三角形，对应的S=l,N=0,

Z=4.

5

4

3

2

1

(1)图中格点四边形颂G对应的S,N,a分别是；

(2)已知格点多边形的面积可表示为S=a"+9+c,其中a,b,c为常数，若某格点

多边形对应的471,£=18,则5=(用数值作答).

答案(1)3,1,6(2)79

解析(1)由定义知，四边形巫尸G由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内

部格点有1个，边界上格点有6个，四边形龙尸G的面积为3,所以S=3,N=\,L=6.

(2)由待定系数法可得

"1(a=l,

j=a,0+6•3+c,

I2I_1

1—a,0+6•4+c,02,

、3=a・l+6・6+clc=—1,

当代71,£=18时，S=lX71+|xi8-l=79.

板块四模拟演练•提能增分

[A级基础达标]

1.(1)已知a是三角形一边的长，人是该边上的高，则三角形的面积是ga力，如果把扇

形的弧长/,半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为权r；(2)由1=/1

+3=2力+3+5=32,可得到1+3+5+…+(2A—1)=况则(1)(2)两个推理过程分别属于

()

A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理

C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理

答案A

解析(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特

殊到一般，此种推理为归纳推理.故选A.

2.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个

正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()

.△

1361015

A.27B.28C.29D.30

答案B

解析观察归纳可知第〃个三角形数为1+2+3+4+…+片吗山，

•••第七个三角形数为一j~z=28.

3.[2018•太原模拟]观察下列各式：a+6=l,aJ+Z>2=3,a3+Z>3=4,a"+64=7,a

+戌=11,…，则/+/=()

A.121B.123C.231D.211

答案B

解析令&=a"+6",贝ljai=l,a2=3,a3=4,a=7,…，an+2=a„+a„+i,从而%

=18,37=2,9,as=47,a9=76,aio=123.

4.[2018•临沂期末]己知〃》2且adN*,对♦进行“分拆”：2,(1,3),32f(1,3,5),

螫一(1,3,5,7),…,那么289的“分拆”所得的中位数是()

A.29B.21C.19D.17

答案D

解析自然数3的分裂数中最大的数是2〃一1.

289分裂的数中最大的数是2X17—1=33,

A289的“分拆”所得的数的中位数是二/=17.故选D.

5.[2018•南昌模拟]已知1+23=9113+23+33=(5%-+23+33+43=管),...若

r+23+33+43H----F〃3=3025,则〃=()

A.8B.9C.10D.11

答案C

解析13+23=

13+23+33=

13+23+33+43=

77(〃+1)2〃2(〃+])2

.,.l3+23+33H——\-n

24

Vl3+23+33+434---卜〃3=3025,

,/72(7?+1)2

=3025

4

*.n(/?+l)2=(2X55)2,

.*.77(77+1)=110,

解得72=10.

6.若等差数列｛aj的公差为4前〃项的和为S,则数列为等差数列，公差为，类

似，若各项均为正数的等比数列｛4｝的公比为仍前〃项的积为北，则等比数列｛5｝的公

比为（）

A.aB.qC.\[qD.的

答案C

解析由题设有，Tn=bi,&,&....bn=bi•biq•b\q.....biqn~1=biql+2+"'+｛n~l）=

（77—1）/7

-2-

tllq.

??—1

...W产氏q2,...等比数歹!J｛逝｝的公比为F，故选C.

7.[2018•南通模拟]将自然数0,1,2,…按照如下形式进行摆列：

o二4811J2

1一＞251一＞691——＞1013

根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是（）

ABCD

答案A

解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，

0-*1,箭头垂直指下，4f5,箭头也是垂直指下，8f9也是如此，而2016=4X504,所以

2016-2017也是箭头垂直指下，之后2017—2018的箭头是水平向右.故选A.

8.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算

经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运

算，算筹的摆放有纵横两种形式，如下表：

123456789

纵式IIIIIIIlliHillTT¥>

横式一===^_\_=L^=

表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码

的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，

以此类推，例如6613用算筹表示就是」一T一HI则5288用算筹可表示为

卷案=IIi

解析根据题意知，5288用算筹表示，从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,

=||>

纵式的8,即一11一111.

9.[2018•常州模拟]36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X3?,所以

36的所有正约数之和为(1+3+3?)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+

29(1+3+32)=91,参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为.

答案465

解析类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：

因为200=23X5\所以200的所有正约数之和为(1+2+22+2')(1+5+5〉=465.

10.如果函数f(x)在区间2上是凸函数，那么对于区间，内的任意为，X2,…，x“,都

心4荀)+H----F

有—i----------------W

n

+_±若y=s在区间(°,兀)上是凸函数，那么在中，sin/+sin5

+sin。的最大值是.

答案平

解析由题意知，凸函数满足

------------------------------------又p=sinx在区间(0,兀)上是凸函数，贝U

sinJ+sin/?+sinC^3sin-----------=3sin-=■>

[B级知能提升]

1.[2018•徐州模拟]观察下列事实：国+3=1的不同整数解（x,0的个数为4,㈤

+3=2的不同整数解（x,力的个数为8,|x|+3=3的不同整数解（x,y）的个数为12,-,

则|x|+|y|=20的不同整数解（x,力的个数为（）

A.76B.80C.86D.92

答案B

解析由Ix|+|y|=l的不同整数解的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解的个数为8,

Ix|+|y|=3的不同整数解的个数为12,归纳推理得|x|+|=〃的不同整数解的个数为4〃,

故|x|+3=20的不同整数解的个数为80.故选B.