2024-2025学年高中数学 第2章 平面向量 6 平面向量数量积的坐标表示（教师用书）教案 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第2章平面向量6平面向量数量积的坐标表示（教师用书）教案北师大版必修4科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第2章平面向量6平面向量数量积的坐标表示（教师用书）教案北师大版必修4教材分析本节课为人教版高中数学必修4第2章平面向量第6节“平面向量数量积的坐标表示”的示范课。本节课是在学生学习了平面向量的概念、向量的加减运算、向量共线定理等知识的基础上，进一步研究平面向量的数量积，通过本节课的学习，使学生掌握平面向量数量积的定义、性质及其坐标表示，理解向量数量积的几何意义，为学生后续学习向量的运算及应用打下基础。

本节课的教学内容主要包括：平面向量数量积的定义、性质、坐标表示及其几何意义。在教学过程中，要注重引导学生通过观察、思考、探究，发现平面向量数量积的规律，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。同时，结合生活实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

教学对象为高中二年级学生，他们已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的数学运算能力和一定的空间想象能力。但在本节课中，学生需要理解并掌握平面向量数量积的坐标表示，这对他们来说是一个新的知识点，因此，在教学过程中，要注重从学生已有的知识基础出发，循序渐进地引导学生学习新知识。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学核心素养，主要包括逻辑推理、数学建模、空间想象和数学运算四个方面。通过学习平面向量数量积的定义、性质、坐标表示及其几何意义，学生能够提升自己的逻辑推理能力，通过对数量积公式的推导和运用，培养数学运算能力。同时，通过观察和分析实际问题，学生能够将数学知识应用到生活中，提升数学建模和空间想象能力。总体而言，本节课的目标是让学生在学习平面向量数量积的过程中，全面提升自己的数学核心素养。教学难点与重点1.教学重点

（1）平面向量数量积的定义及其性质：向量数量积的定义是指两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，即$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta$$，其中$$\theta$$为两个向量的夹角。向量数量积的性质包括交换律、分配律、结合律和共线定理。

（2）平面向量数量积的坐标表示：设向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$的坐标分别为$$(a_1,a_2)$$和$$(b_1,b_2)$$，则它们的数量积可以表示为$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$$。

（3）向量数量积的几何意义：向量数量积可以表示为向量$$\vec{a}$$在向量$$\vec{b}$$方向上的投影长度与向量$$\vec{b}$$长度的乘积。

2.教学难点

（1）理解并掌握平面向量数量积的定义及其性质：学生可能对两个向量夹角的余弦值难以理解，以及如何运用性质进行运算。

（2）掌握平面向量数量积的坐标表示：学生可能对如何将向量的坐标代入公式进行计算困惑，以及如何理解坐标表示与几何意义之间的关系。

（3）几何意义的理解：学生可能对向量数量积表示为向量在另一个向量方向上的投影长度与向量长度的乘积感到难以理解，需要通过实际例子和图形进行解释和引导。

针对以上难点，教师可以通过以下教学方法帮助学生突破难点：

（1）通过实际例子和图形，引导学生理解平面向量数量积的定义及其性质，例如，可以通过两个箭头的夹角来表示向量的夹角，并通过实际的计算示例来展示性质的应用。

（2）通过具体的例题和练习题，引导学生掌握平面向量数量积的坐标表示，例如，可以让学生计算两个已知坐标向量的数量积，并解释其几何意义。

（3）通过实际例子和图形，引导学生理解向量数量积的几何意义，例如，可以通过绘制向量的投影图来展示向量数量积表示为向量在另一个向量方向上的投影长度与向量长度的乘积。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、彩色粉笔、向量模型教具。

2.课程平台：学校提供的教学管理系统，如Moodle或Blackboard。

3.信息化资源：教学PPT、动画演示、数学软件（如GeoGebra）、向量相关的视频教程。

4.教学手段：小组讨论、合作学习、问题引导、实际操作、互动式教学、课后在线练习。

5.教学辅助材料：教科书、练习册、教案、学生作业、测验试卷、数学论坛或学习小组。

6.教学参考资料：教师自制的教学指导手册、教学案例、数学杂志和学术期刊。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《平面向量数量积的坐标表示》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算两个向量数量积的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平面向量数量积的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解平面向量数量积的基本概念。平面向量数量积是两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，其坐标表示为$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$$。它的重要性在于可以用来表示向量在另一个向量方向上的投影长度与向量长度的乘积。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了平面向量数量积在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平面向量数量积的定义和坐标表示这两个重点。对于坐标表示的难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平面向量数量积相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示平面向量数量积的基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“平面向量数量积在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了平面向量数量积的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平面向量数量积的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。学生学习效果1.理解并掌握平面向量数量积的定义、性质及其坐标表示，能够运用数量积公式进行计算，并解释其几何意义。

2.提升逻辑推理能力，通过对数量积公式的推导和运用，培养数学运算能力。

3.提高空间想象能力，通过观察和分析实际问题，感受数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣。

4.培养合作意识和团队协作能力，通过小组讨论和实践活动，学会与他人共同解决问题。

5.增强自主学习能力，通过课堂学习和课后练习，培养独立思考和解决问题的能力。

6.提升数学语言表达能力和交流能力，能够清晰地阐述自己的观点和思路，并理解他人的想法。

7.培养数学思维习惯，学会从数学的角度分析和解决问题，提高解决问题的效率。

8.增强对数学学科的兴趣和自信心，相信自己能够掌握并运用数学知识解决实际问题。教学反思与总结回顾今天平面向量数量积的教学，我感觉整体上还是比较成功的。学生们对于数量积的定义和性质的理解，通过案例分析和实践活动的结合，都有了显著的提升。坐标表示的讲解，虽然一开始有些学生感到困惑，但通过具体的例子和互动式的教学，他们逐渐掌握了坐标表示的方法。

在教学过程中，我尽量采用了多种教学手段，如小组讨论、实验操作等，这些方法激发了学生的兴趣，也提高了他们的参与度。分组讨论的时候，我注意引导学生思考问题，鼓励他们提出不同的观点，这有助于培养他们的批判性思维和团队合作能力。

然而，我也发现了一些需要改进的地方。首先是时间分配上，我发现过多的时间花在了理论讲解上，而忽略了学生的实际操作和练习。下次我会在保证理论基础的前提下，适当增加学生的动手实践时间。其次是对于学生的差异化教学，虽然我尝试对不同水平的学生给予不同的引导和问题，但发现还可以更进一步，比如提供不同难度的练习题目，让每个学生都能在课堂上找到适合自己的学习路径。

教学总结方面，我认为学生对本节课的内容总体上是满意的。他们不仅掌握了平面向量数量积的知识，更重要的是，他们开始理解数学与实际生活的联系，这对于培养他们的数学应用能力是非常重要的。在情感态度上，学生们对于数学的兴趣也有所提升，这在他们的课堂表现和课后反馈中可以明显看出。

对于未来教学的改进，我计划更加注重学生的反馈，及时调整教学方法和节奏。同时，我会尝试更多的实践活动，让学生在动手操作中发现问题、解决问题，从而提高他们的数学素养。此外，我也会继续反思如何更好地照顾到每个学生的学习需求，让他们在数学学习中都能有所收获和成长。重点题型整理1.题型一：平面向量数量积的定义及其性质的应用

题目：已知向量$$\vec{a}=(2,3)$$和向量$$\vec{b}=(-1,2)$$，求向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$的数量积。

答案：根据平面向量数量积的定义，有$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2=2(-1)+3(2)=-2+6=4$$。

2.题型二：平面向量数量积的坐标表示的应用

题目：已知向量$$\vec{a}=(2,3)$$和向量$$\vec{b}=(-1,2)$$，求向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$的数量积。

答案：根据平面向量数量积的坐标表示，有$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2=2(-1)+3(2)=-2+6=4$$。

3.题型三：平面向量数量积的几何意义的应用

题目：已知向量$$\vec{a}=(2,3)$$和向量$$\vec{b}=(-1,2)$$，求向量$$\vec{a}$$在向量$$\vec{b}$$方向上的投影长度。

答案：根据平面向量数量积的几何意义，向量$$\vec{a}$$在向量$$\vec{b}$$方向上的投影长度等于向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$的数量积除以向量$$\vec{b}$$的长度，即$$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{4}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$$。

4.题型四：平面向量数量积的定义和性质的综合应用

题目：已知向量$$\vec{a}=(2,3)$$和向量$$\vec{b}=(-1,2)$$，求向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$的数量积，并判断向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$是否共线。

答案：根据平面向量数量积的定义，有$$\vec{a}\cdot\vec{b}=2(-1)+3(2)=-2+6=4$$。根据平面向量的共线定理，若两个向量的数量积为0，则这两个向量共线。因此，向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$的数量积不为0，所以它们不共线。

5.题型五：平面向量数量积的坐标表示和几何意义的综合应用

题目：已知向量$$\vec{a}=(2,3)$$和向量$$\vec{b}=(-1,2)$$，求向量$$\vec{a}$$在向量$$\vec{b}$$方向上的投影长度，并判断向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$是否共线。

答案：根据平面向量数量积的坐标表示，有$$\vec{a}\cdot\vec{b}=2(-1)+3(2)=-2+6=4$$。根据平面向量的共线定理，若两个向量的数量积为0，则这两个向量共线。因此，向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$的数量积不为0，所以它们不共线。向量$$\vec{a}$$在向量$$\vec{b}$$方向上的投影长度等于向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$的数量积除以向量$$\vec{b}$$的长度，即$$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{4}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$