第五章一元函数的导数及其应用（培优课恒成立能成立问题）课件高二上学期数学人教A版选择性

培优课❹恒成立、能成立问题第五章一元函数的导数及其应用人教A版

数学选择性必修第二册课程标准1.了解利用导数研究存在性问题和恒成立问题的方法.2.初步运用导数解决存在性问题和恒成立问题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

基础落实·必备知识一遍过知识点1单变量恒成立、能成立的等价条件(从值域角度)设M={f(x)|x∈[a,b]}=[f(x)min,f(x)max].(1)任意型(恒成立)①∀x∈[a,b],f(x)≥k⇔f(x)min≥k,如下图所示.②∀x∈[a,b],f(x)≤k⇔f(x)max≤k,如下图所示.(2)存在型(能成立)①∃x∈[a,b],f(x)≥k⇔f(x)max≥k.②∃x∈[a,b],f(x)≤k⇔f(x)min≤k.③∃x∈[a,b],f(x)=k⇔k∈{f(x)|x∈[a,b]}=[f(x)min,f(x)max],即f(x)min≤k≤f(x)max.如下图所示.名师点睛只要记住恒成立问题,对于存在性问题只需将恒成立问题的最大值换成最小值,最小值换成最大值.譬如:若恒成立问题是最小值大于k,换成存在性问题就是最大值大于k.知识点2双变量恒成立、能成立问题的最值等价条件(从值域角度)设M={f(x)|x∈A},N={g(x)|x∈B}.(1)∀x1∈A,∀x2∈B,使得f(x1)≥g(x2),则f(x)min≥g(x)max,如图所示.(2)∀x1∈A,∃x2∈B,使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min.(3)∃x1∈A,∀x2∈B,使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)max≥g(x)max.(4)∃x1∈A,∃x2∈B,使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)max≥g(x)min.(5)∀x1∈A,∃x2∈B,使得f(x1)=g(x2)等价于M⊆N,即g(x)max≥f(x)max且f(x)min≥g(x)min.(6)∃x1∈A,∀x2∈B,使得f(x1)=g(x2)等价于N⊆M,f(x)max≥g(x)max.(7)∃x1∈A,∃x2∈B,使得f(x1)=g(x2)等价于M∩N≠⌀.重难探究·能力素养速提升探究点一由不等式恒成立求参数的值(取值范围)【例1】

[2024北京通州高三阶段练习]已知函数f(x)=e2x-2x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求f(x)的极值;(3)若对于任意x∈R,不等式f(x)>2(e-1)x+m恒成立,求实数m的取值范围.解

(1)由f(x)=e2x-2x得f'(x)=2e2x-2,又f'(0)=0,f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=1.(2)f'(x)=2e2x-2,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=0时,f(x)取极小值f(0)=1,无极大值.(3)由f(x)>2(e-1)x+m得e2x-2x>2(e-1)x+m,故e2x-2ex>m.构造函数g(x)=e2x-2ex,则g'(x)=2e2x-2e,规律方法

1.对不等式恒成立问题,多数情况下转化为函数的最值问题,常需对参数进行分类讨论,求出参数的取值范围.2.利用导数研究含参数的不等式问题,若能够分离参数,则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,通过求函数y=f(x)的最值求得参数范围.变式训练1已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a>0).若f(x)<0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围.解

f(x)的定义域为(0,+∞),所以x,f'(x),f(x)的变化情况如下表:探究点二不等式能成立求参数的值(取值范围)【例2】

已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a∈R).(1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)函数g(x)=(1-a)x,若∃x∈[1,e]使得f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围.解

(1)f'(x)=,当导函数f'(x)的零点x=a落在区间(1,2)内时,函数f(x)在区间[1,2]上不是单调函数,即a∉(1,2),所以实数a的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).(2)由题意知,不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解,即x2-2x+a(ln

x-x)≥0在区间[1,e]上有解.因为当x∈[1,e]时,ln

x≤1≤x(不同时取等号),x-ln

x>0,规律方法

1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min;a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max.2.含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max;(2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min.(1)讨论f(x)的单调性;(2)对于∀x∈[1,e],∃b∈[2,+∞),使得f(x)≥b,求实数a的取值范围.本节要点归纳1.知识清单:(1)函数中的存在性问题.(2)函数中的恒成立问题.(3)函数的最值或范围问题.2.方法归纳:转化法、分离参数法、分类讨论.3.常见误区:分离参数后检验等号是否能成立.学以致用·随堂检测促达标12341.若对任意的实数x>0,xlnx-x-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,1]C.[-1,+∞) D.[1,+∞)A解析

令f(x)=xln

x-x-a,x∈(0,+∞),则f'(x)=ln

x,令f'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=-1-a.因为对任意的实数x>0,xln

x-x-a≥0恒成立,所以-1-a≥0⇒a≤-1.故选A.12342.已知函数f(x)=x2-2lnx,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是(

)A.(-∞,e2-2) B.(-∞,e2-2]C.(-∞,1] D.(-∞,1)B解析

由题意可知,存在x∈[1,e],使得m≤f(x),则m≤f(x)max.∵f(x)=x2-2ln

x,∴f'(x)=,当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,∴函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,则f(x)max=f(e)=e2-2,∴m≤e2-2,∴实数m的取值范围是(-∞,e2-2].12343.[2024山东烟台高二阶段检测]已知函数,若f(x)在R上单调递增,则实数a的取值范围是

.

[1,+∞)12344.已知函数f(x)=ex(x2+2ax+2a)(a∈R),其中e是自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单调性;解

(1)f'(x)=ex(x2+2ax+2a)+ex(2x+2a)=ex[x2+(2a+2)x+4a]=ex(x+2a)(x+2),令f'(x)=0得x=-2a或x=-2,当-2a=-2,即a=1时,在(-∞,+∞)上f'(x)≥0,当且仅当x=-2时,等号成立,故f(x)单调递增,当-2a>-2,即a<1时,在(-∞,-2)上f'(x)>0,f(x)单调递增,在(-2,-2a)上f'(x)<0,f(x)单调递减,在(-2a,+∞)上f'(x)>0,f(x)单调递增.1234当-2a<-2,即a>1时,在(-∞,-2a)上f'(x)>0,f(x)单调递增,在(-2a,-2)上f'(x)<0,f(x)单调递减,在(-2,+∞)上f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,当a<1时,f(