高中数学导数定义及其几何意义、函数求导学案新人教A版选修1

导数定义及其几何意义、函数求导学案

基础知识

1.函数y=/(x)的导数为f'{x)=lim

Ax->0

2.导数r(xo)的几何意义：_______________________________________________

3.初等函数的导数公式

(1)/(%)=c(c为常数)，则/'(x)=__________,(2)/(%)=NgGQ),则/⑴=

(3)/(x)=sinx,则/'(x)=(4)/(x)=cosx,则/(x)=

(5)/(x)=",贝旷'(x)=(6)/(x)=",则/'(x)=

(7)/(x)=logox(a>0,且aH1),则/'(x)=⑻f(x)=Inx,则/'(x)=

4.导数的运算法则："(x)士g(x)]'=

"(幻•g(x)T=[磊卜

5.函数单调性与导数:设函数>=人力在区间(a,b)内有导数，如果,则丁=/(X)

是这个区间内；如果在这个区间内,则y=/(处是这个区间内

6.求单调区间的方法：

例题1.若f\x0)=2,则lim竺=

练习:(1)若f'(x0)=2,则lim."。+牛".)=

f(x)-f(x-3h)

(2)若尸(与)=2,则lim00

k->02h

⑶若f'(x0)=2,则lim3/?)=_________

A-»0h

2.求下列函数的导数(1)y=2e”(2)y=3cosx-4sinx(3)y=『+log2x

cosx

(4)y=Xnex(5)y=.

sinx

3.已知函数/(x)=J?+%-2

(1)在p0处的切线平行于直线y=4x-1,求Po点的坐标

(2)求函数/(x)在点(1,0)处的切线方程。

(3)若在P处的切线垂直于直线x=3,求此切线方程。

4.下列各图为导函数y=/'(x)的图象，试画出原函数)，=/(尤)的图象。

导数定义及其几何意义、函数求导作业

1.若八%)=一3,则()

h—0h

A.-3B.-6

C.-9D.-12

2.若lim/(/+3Ar)—/(Xo)=i,贝疗口。)等于().

A.0B.1C.3D.

3

x2-1

3.函数丁=1一的导数是().

4.曲线/(x)=x3+x_2在p。处的切线平行于直线y=4x-1,则p0点的坐标为

()

A.(1,0)B.(2,8)

C.(1,0)和(—1,—4)D.(2,8)和(—1,-4)

5.函数y=4一+」单调递增区间是()

X

A.(0,+oo)B.(-oo,l)C.(―,+oo)D.(l,+oo)

2

6.曲线y=d+x—2在点P。处的切线平行于直线y=4x,则点P。的坐标().

A.(0,1)B.(1,0)C.(一1,一4)或(1,0)D.(-1,-4)

7.若函数/(x)=/+/u+c的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是

8.函数/(x)=++4x+的图像在x=l处的切线在x轴上的截距为

9.函数、=/一/的单调增区间为,单调减区间为

10.求下列函数的导数

einY

(1)y=4sinx-3cosx(2)y-----(3)y=x]nx(4)y=Iogx-ex

x3

IL求下列函数的单调区间:

（］）y—2x^+3x~-12x+1(2)y=(X+1)2(X+2)

12.己知曲线y=Y—l与y=l+/在x=x0处的切线互相垂直，求X。的值。

2on届高三数学一轮复习：基础知识归纳

第一部分集合

1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还

是因变量的取值？还是曲线上的点？…

2.藜形绡令是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩

图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方

法解决

3.(1)元素与集合的关系：xeA<=>xCfjA,xeC^A<^>x^A.

(2)德摩根公式：CtJ(AB)=CuA(3泮;孰9B)=QjACVB.

(3)

AB—A<^>AB=BB=①

=QAB=R

注意：讨论的时候不要遗忘了A=。的情况.

(4)集合｛%,4,,4｝的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1

个；

非空真子集有2"-2个.

4.。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

第二部分函数与导数

1.映射：注意：①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.

2.函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元

法；

⑥利用均值不等式⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距

离、

绝对值的意义等)；⑧利用函数有界性(相、sinx、cosx等)；⑨平方法；⑩导数法

3.复合函数的有关问题：

(1)复合函数定义域求法：

①若f(x)的定义域为［a,b］,则复合函数f［g(x)］的定义域由不等式aWg(x)W

b解出

②若f［g(x)］的定义域为［a,b］,求f(x)的定义域，相当于x「［a,b］时,求g(x)的

值域.

(2)复合函数单调性的判定：

①首先将原函数y=/［g(x)］分解为基本函数：内函数〃=g(x)与外函数y=f(u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5.函数的奇偶性：

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件

⑵/(X)是奇函数0/(-%)=-f(x)；f(x)是偶函数=/(—X)=/(X).

⑶奇函数/(x)在0处有定义，则/(0)=0

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性

6.函数的单调性：

⑴单调性的定义：

①/(X)在区间M上是增函数OVX],X2G当再<为时有f(再)</U2)；

②/(X)在区间Af上是减函数0VX],%2€知,当尤1<82时有/01)>/(%2)；

⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子/(须)-/*2)化为几个因式作积或作商的形式,

以利于判断符号；②导数法(见导数部分)；③复合函数法；④图像法

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7.函数的周期性：

(1)周期性的定义：对定义域内的任意无，若有/(x+T)=/(x)(其中T为非零常数)，

则称函数/(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的

最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函数的周期：①y=sinx:T=2乃；②y=cosx:T=2万；

27r

③y=tanx:7="；®y=Asin(cox+^)),y=Acos((wc+(p):T=---；

\co\

⑤y=tanmx:T=

\o)\

⑶与周期有关的结论：

f(x+a)=/。一。)或f(x-2a)=f(x)(a>0)=f(x)的周期为2。

8.基本初等函数的图像与性质：

㈠.⑴指数函数：y=ax(a>O.aw1)；⑵对数函数：y=logax(a>0,。w1)；

⑶幕函数：y=xa(a£R)；⑷正弦函数：y=sinx；⑸余弦函数：y=cosx；

(6)正切函数：y=tanx；⑺一元二次函数：ax1+hx+c=O(aWO)；⑻其它常用函

数：

ka

①正比例函数：y=2乂攵w0)；②反比例函数：y=—(左。0)；③函数y=x+—^a>0)

xx

”.——_巴1

㈡.⑴分数指数基：an=\an,；an=—(以上。>0,£N*,且M>1).

(2).①a"=Nolog〃N=b；②log〃(MN)=log“Mflog。N；

MYl

③log“—=log„M-k)g“N；©logb"=—log“b.

Nm

⑶.对数的换底公式：log,,N=幽且.对数恒等式：。啕'=N.

log,”a

9.二次函数：

⑴解析式：①一般式：fM=ax2+bx+c；②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k,(h,k)为

顶点；

③零点式：f(x)=a(x-x,)(x-x2)(aWO).

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴方程是x=-2,顶点坐标是

2a

(2Aac-b2\

[2a'4a-)

10.函数图象：

⑴图象作法：①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

①平移变换：i)y=/(x)T>y=/(x±a),(a>0)-----左"+”右“一”；

ii)y=/(x)fy=/(x)±NOl>0)----上“+”下“一”；

②对称变换：i)y=.f(x)3^y=—.f(—x)；ii)^=/(x)y--/(%)；

in)y=/(x)—^^=/(一幻；iv)y=/(x)^^~>x=/(y)；

③翻折变换：

i)y=/(x)fy=/(|x|)----(去左翻右)y轴右不动，右向左翻(/(处在y左侧图

象去掉)；

ii)y='/•(%)-y=|/(x)|----(留上翻下)x轴上不动，下向上翻(.f(x)|在x下面

无图象)；

11.函数图象(曲线)对称性的证明：

(1)证明函数y=/(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)

的对称点仍在图像上：

(2)证明函数y=/(x)与y=g(x)图象的对称性，即证明y=/(x)图象上任意点关

于对称中心(对称轴)的对称点在y=g(x)的图象上，反之亦然。

注:①曲线C:f(x,y)=O关于原点(0,0)的对称曲线C2方程为:f(-x,-y)=0;

曲线G:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(-x,y)=0;

曲线G:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x,-y)=0;

曲线G：f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y,x)=0

②f(a+x)=f(b—x)(x£R)Oy=f(x)图像关于直线x=巴士上■对称；

2

特别地：f(a+x)=f(a—x)(x€R)Oy=f(x)图像关于直线x=a对称.

③y=/(x)的图象关于点(名与对称O/(a+x)+/(«-x)=2b.

特别地：y=/(x)的图象关于点(a,0)对称o.y(a+x)=-/(a—x).

④函数y=/(x—a)与函数y=/(a—x)的图象关于直线x=a对称；

函数y=/(a+x)与函数y=/(a—x)的图象关于直线x=0对称。

12.函数零点的求法：

⑴直接法(求/(无)=0的根)；⑵图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在［a,若上满足f(a)•f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内至少有

一个零点。

13.导数：4

⑴导数定义：f(x)在点X。处的导数记作y'k』=/(X。)=则。""^一"4)

⑵常见函数的导数公式：①C=0；②(x")'=〃x"T；③(sinx)'=cosx；

@(cosx)=-sinx；⑤(a*)'=a*Ina；@(er)=ex；⑦(log“x)'=-----；

xlna

⑧(Inx)=­o

x

⑶导数的四则运算法则:(U±v)'=u'±v';(uv)'=u'v+uv';(—)'

VV

⑷(理科)复合函数的导数：乂=X.<；

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：注意：i)所给点是切点吗？ii)所求的是“在”还是“过”该点

的切线？

②利用导数判断函数单调性：i)尸(x)>0n/(x)是增函数；ii)/(x)<0=/(x)

为减函数;iii)((x)三0=/(x)为常数；

③利用导数求极值：i)求导数/'(X)；ii)求方程/'(x)=0的根；iii)列表得极值。

④利用导数求最大值与最小值：i)求极值；ii)求区间端点值(如果有)；iii)比

较得最值。

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1.⑴角度制与弧度制的互化："弧度=180°,1°=二弧度，1弧度=（图）°之57°18'

1807i

⑵弧长公式：l=GR；扇形面积公式：S=-IR=-0R*2»*

22

2.三角函数定义:角a终边上任一点（非原点）P（x,y）,设|OP|=r则:

sina=—,cosa=—,tana=—

rrx

3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全stc”）

4.诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

jl

5.（Dy=Asin（劭;+e）对称轴：令/工+夕=左乃+,,得人=•••;对称中心：

一,0)(keZ);

CO

k兀—①

⑵丁=Acos@r+0）对称轴：令①x+①=k7i,得1=....-；对称中心:

CD

,71

左乃十-----(p

」一,0)(&eZ)；

CO

2乃

⑶周期公式:①函数y=Asin(ox+o)&y=Acos(<wx+0)的周期T=L(A、3、cp

囱

为常数,

且AW0).②函数y=Atan(&¥+。)的周期7二2(A、3、。为常数，且AWO）.

网

6.同角三角函数的基本关系：sin2x+cos2x=l;-S^nX-=tanx

cosx

7.三角函数的单调区间及对称性:

TTTT

6y=sinx的单调递增区间为2k兀一一,2k兀+—ZEZ,单调递减区间为

22

7T1T3乃TT

2k兀+—,2卜兀+二—keZ,对称轴为x=k7T+—(kGZ),对称中心为

222

(fc^-,0)(iteZ).

(2)y=cosx的单调递增区间为[2k7r-7v,2k7r]k^Z,单调递减区间为

[2匕r,2k兀+"快£Z,

对称轴为尤=&万（攵£Z）,对称中心为（匕T+1,（））（左WZ）.

⑶y=tanx的单调递增区间为［人万一］kwZ,对称中心为

，可（左eZ）.

8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①sin(a±/?)=sinacos0±cosasin〃；cos(a±/?)=cosacosJ3sinasmp；

/,c、tana±tan13

tan(a±')=-----------.

1tanatan(3

②sin(a+B)sin(a-7?)=sin2a-sin2(3；cos(a+0)cos(a-0)=cos2a—sin2尸.

@asina+bcosa-\Ja2+b2sin（cr4-（p）（其中，辅助角0所在象限由点（。/）所在的象

限

决定，tan^=—).

a

9.二倍角公式：①sin2a=2sintzcosc.(sina±cosa)2=l±2sinacosa=l±sin2a

②cos2c=cos2a-sin2<z=2cos2e-l=l-2sin2c(升基公式).

21+cos2a.21-cos2a/收短八一、

cosa=---------,sina=---------(降帚公式).

22

10.正、余弦定理:

⑴正弦定理：一乌一=—2—=-^=2R（2R是AABC外接圆直径）

sinAsin5sinC

注：①Q：〃：c=sinA:sin8:sinC；②。=2RsinA)=2Rsin氏c=2RsinC；

abca+b+c

③----=-----=-----=------------------O

sinAsinBsinCsinA+sin5+sinC

,2.22

⑵余弦定理：a2=h2+c2-2Z?ccosA等三个；cosA-+C---幺等三个。

2bc

11.几个公式:⑴三角形面积公式：①5=；"“=；。饱=；。4(%、%,、区分别表示

a^b、c边上的高)；@S=—absmC=—bcsinA=-easinB.®

222

SAOAB=1^\OA\\OB\)2-(OAOB)2

⑵内切圆半径r=2sA:外接圆直径2R=/_=」_=_=；

a+b+csinAsin8sinC

第四部分立体几何

1.三视图与直观图：⑴画三视图要求：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐;

侧视图与俯视图宽相等。⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。

2.表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=SE2s底；②侧面积：SM2MI；③体积：V=S底h

⑵锥体：①表面积：S=SM+S底；②侧面积：Sffl=7irl；③体积：V=—SIKh：

3

⑶台体：①表面积：S=S®I+S上底+S下成;②侧面积：S（«=》（r+rj/;③体积：V=1

(S+Vsy+S')h；

r4二

⑷球体：①表面积:S=4成②体积：V二—成'

3

3.位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行:①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理；②面面平行=线面平行。

⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直:①定义一一两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：以上理科还可用向量法。

4.求角：（步骤-----I.找或作角；U.求角）

⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②用向量法

5.结论：

⑴棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，

截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对

应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小

棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.

⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则体对角线长为必定H

全面积为2ab+2bc+2ca,体积V=abc。

⑶正方体的棱长为a,则体对角线长为任，全面积为6a2,体积V=/。

⑷球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径

是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

⑷正四面体的性质：设棱长为4,则正四面体的：

①高：/?=――a；②对棱间距离：———a；③内切球半径：——a；④外接球半径：——a。

32124

第五部分直线与圆

1.斜率公式：%=三二』•，其中《（花,必）、8（%,必）・

x2-%,

直线的方向向量v=（a,人），则直线的斜率为攵=2（。工0）.

a

2.直线方程的五种形式：

（D点斜式：y-y^Kx-xJ（直线/过点6（X1,y）,且斜率为％）.

（2）斜截式：丁=奴+人（》为直线/在丁轴上的截距）.

⑶两点式：—~~江•=x］（q（x，x）、P,（x2,y2）x,#x2,y产治）・

%一X/一玉

（4）截距式：H+上=1（其中。、b分别为直线在x轴、y轴上的截距，且。力0,。工0）.

ab

（5）一般式：瓜+8），+。=0（其中人、8不同时为0）.

3.两条直线的位置关系：

（1）若4:y=Z]X+4,4：y=k2彳+%，则：

①/[〃4=K=k2,々工匕2；②4_L/,O=—1・

（2）若4:Ax+^y+G=。，4：A2x+B2y+C2=0,贝!]：

①/J/、o4与一人2g=0且AG—A2。】#0；②6J-4oA4+4&=0.

4.求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

5.两个公式:

⑴点P（Xo.yo）到直线Ax+By+C=0的距离：,\^+By0+C\.

以+前

⑵两条平行线Ax+By+G=0与Ax+By+C2=0的距离d=曰一01

2

VA+B2

6.圆的方程：

⑴标准方程:①（x—a）2+（y—与2=72；（^x2+y2=r2。

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F^0（£>2+-4F>0）

注：Ax'+Bxy+Cy'+Dx+Ey+F=O表示圆OA=C#0且B=0且D?+E2—4AF>0

7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。

8.点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）

点在圆上；②d<Ro点在圆内；③点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）

①6/二足。相切；②相交；③d>Ro相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，表示两圆半径，且R>r）

①d>R+ro相离；②"二k+广。外切；③R-r<d<R+ro相交；

④d=R-ro内切；⑤0<4<R-ro内含。

9.直线与圆相交所得弦长|AB|=242一个

第六部分圆锥曲线

1.定义：⑴椭圆：I+IME|=2a,（2a>WK|）；

⑵双曲线：||MFJ-1MF2||=2a,（2a<|F,F2|）；⑶抛物线：IMF|=d

2.结论：⑴直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A（当，弘）,8（乙,y2），则

|阴=-々A+（y-%）），或恒耳=卜-引川+公,或

网=|M卜•*.

注：①抛物线：|A同=XI+X2+P；②通径（最短弦）：i）椭圆、双曲线：---；ii）

a

抛物线：2P.

⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2+ny2=1（加,〃同时大于0时表示

椭圆；

mn<0时表示双曲线）；当点P与椭圆短轴顶点重合时有PF2最大;

⑶双曲线中的结论：

2■>2）

①双曲线匚_2L=1（a>0,b>0）的渐近线：二一上=0；

a2b2a2b2

②共渐进线y=±2x的双曲线标准方程可设为三一匚二以力为参数，/LA0）；

aa2b2

③双曲线为等轴双曲线oe=叵。渐近线互相垂直；

⑷焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。

3.直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

注意以下问题:①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？②直线斜率不

存在时

考虑了吗？③判别式验证了吗？

⑵设而不求（点差法——代点作差法）：--------处理弦中点问题

X

步骤如下：①设点A（x”外）、B（2,y2）；②作差得的8=/■二=……；③解决问题。

4.求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）;

（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；⑷待定系数法；（5）消参法；（6）交轨

法；（7）几何法。

第七部分平面向量

1.平面上两点间的距离公式：4t,8=J（%2-％）2+（%-y）2，其中A（X］，M）,B（x2,y2）.

2.向量的平行与垂直：设Z=（x”x）,3=（9,%），且贝人

①<^b-Xa0工1%一9％=0；

②（a0）<^>a•^=0oXjX2+=0.

3.a•b=,albcos<a,b>=Xjx2+yiy2；

注:①|a|cos〈a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；

②a・b的几何意义：8・1）等于|3|与b|在a方向上的投影bcos〈a,b>的乘积。

a-b

4.cos<a,b>=———；

5.三点共线的充要条件：P,A,B三点共线oOP=xQA+yOBlLx+y=l。

第八部分数列

1.定义：

⑴等差数列{ajo^n+i-4=d3为常数〃eN*)oa“一。"_|=d(n>2)

2

o2a»=a„+i+%(n>2,neN*)an=kn+b<^Sn=An+Bn

⑵等比数列{qjo=q(q*0)oa/=an4-an+{(n>2,neN*)

a

n

2.等差、等比数列性质：

等差数列等比数列

通项公式an=a1+(〃一l)d

1.q=1时，Sn=nal;

nia+a“)〃(〃一1)

前n项和S=---]!-----=na+-------a2〃Hl时，S“=4(1为)

n〃2},2

i-q

.一

1

性质①*&„)+(n-m)d,①an=aid'-"；

②m+n=p+q时affl+an=ap+a<1②m+n=p+q时aman=aPaq

③SQS2k—Sk,S3k—52k,*',MP③Sk,S?k-、卜,S3k-S2k，…成GP

④4，4+m，4+2,”，…成AP,"=那④4M&+卅，氏+2/H，…成GP，q=q

3.常见数列通项的求法：

⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（a,川一%=%型）；⑶公式法：{S,（n=D

S,-Sn-i（n22）

⑷累乘法（也=c“型）；⑸待定系数法（。,用=左4,+匕型）转化为

%

«n+i+x=k（a“+X）

（6）间接法（例如：an_,-a,,=4a„a„_i^-———=4）;（7）（理科）数学归纳

a“

法。

4.前〃项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。

5.等差数列前n项和最值的求法：

(l)s,最大值-°J或5"最小值~°八

；⑵利用二次函数的图象与性质。

第九部分不等式

1.均值不等式：4ab<>0)

注意：①一正二定三相等；②变形：ab<(^-)2<—+/?(a,beR).

22

2.极值定理：已知都是正数，则有：

(1)如果积冲是定值p,那么当x=y时和x+y有最小值2y[p；

(2)如果和x+y是定值s,那么当x=y时积孙有最大值,$2.

4

3.解一元二次不等式a?+法+。>0(或<0)：若。〉0,则对于解集不是全集或空集时,对

应的

%-%<

解集为“大两边，小中间”.如：当当<*2,(^-XlX2)0<=>^l<X<X2;

(X-X]Xx-12)>0OX>々或^<$.

4.含有绝对值的不等式：当a>0时，有：①凶ca?0一。<》<。；

②国>aof>/。*>。或xv—a.

5.分式不等式：

(1)g(i>0o/(x)-g(x)>0；(2)<0o/(x)・g(x)<。；

，(x)7(x)-g(x)>0/(x)f(x)-g(x)<0

(3)g(3>0<=><(4)g(3<0<=><

、g(x)，0a々HO

6.指数不等式与对数不等式

/(x)>0

(1)当。>1时，a"")>a8(x)=f(x)>g(x)；log,/(x)>log"g(x)<=>,g(x)>0

/(x)>g(x)

(2)当0<avl时，a"*>as(x)<=>/(x)<g(x)；

/(x)>0

logJ(X)>log„g(x)o-g(x)>0

/(x)<g(x)

3.不等式的性质：

(l)a>b<=>b<a；(2)a>b,b>c=>a>c；(S)a>b<=>a+c>b+c；a>b,c>d

=>a+c>b+di(i)a>b,c>0=>ac>bd；a>b,c<0=>ac<bc；

47>Z?>0,c>d>0

ac>bd;(5)a>/?>0=>a">bn>0(〃eN*);(6)a>/;>0=>\[a>&(〃sN*)

第十部分复数

1.概念：

⑴z=a+bi£R<z>b=0(a,bGR)Oz=z<=>z?20；出2=2+也是虚数=b#

0(a,b£R)；

⑶z二a+bi是纯虚数Oa=0且b#0(a,bGR)<z>z+z=0(z20)<=>z2<0；

⑷a+bi=c+di<=>a=c且c=d(a,b,c,d£R)；

2.复数的代数形式及其运算：设z尸a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),贝ij：

(1)zi±Z2二(a+b)±(c+d)i；(2)zi.Z2=(a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

⑶五/”万)(匚山)=ac+bdbc-ad0)；

222z

z2(c+di)(c—力)c+dc+d

3.几个重要的结论：

①(i±，)2=±2i；②

1-z1+i

4n4n+l4n+24n+3M

③i性质：T=4；z=l,z=i,i=-l,z=-z；,心+产M+i+/+3=0;

zIzI

4.模的性质：(l)|Z1z2|=|z,||z2I；⑵|」|=E；⑶|z"|=|zI".

Z

z2I2I

5.实系数一元二次方程G2+笈+。=0的解：

—b+J—4〃/、

v

①若△=6—4ac>0,则x12=---——；②若△=〃—4ac=0,则

③若△=〃-4ac<0,它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共扼复

数

根1=——0%一…

2a

第十一部分概率

1.事件的关系：

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作Aq3；

⑵事件A与事件B相等：若则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作或A+3）；

⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作Ac5（或AB）；

⑸事件A与事件B互斥：若Ac3为不可能事件（AcB=。），则事件A与互斥;

⑹对立事件：AcB为不可能事件，ADB为必然事件，则A与B互为对立事件。

2.概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P（A+B）=P（A）+P⑻;

=A包含的基本事件的个数

⑵古典概型:（~"基本事件的总数

构成事件A的区域长度（面积或体积等）

⑶几何概型：P（A）=

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）

第十二部分统计与统计案例

1.抽样方法：

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容

量

为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为2;

N

②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，

从

每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④

按预

先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情

况，

将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数

N

注：以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等

2.频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率

分布直方图。⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效

数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边

像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。

3.总体特征数的估计：

⑴样本平均数元=工（%+小+…+立；

n〃仁

2222

⑵样本方差52=—［（jq-x）+（x2-J）+•••+（x„-x）l=-y（x,.-x）；

⑶样本标准差s二出守+（/一君2+…+（1一鲁（7_元）2

3.相关系数（判定两个变量线性相关性）：

，i〃

丁=j=l_/=!

In〃/〃〃

住（%-幻这（凶-刃2X：-£）这V2-柠）

V/=1i=lVi=li=l

注：⑴r>0时，变量％,y正相关；r<0时，变量负相关；⑵当|川越接近于1,

两个变量的线性相关性越强；当|川越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相

关关系。

4.回归直线方程

h=---------------------=----------------

y=a+bxy其中〈V1(—\2<2—2

ZQ—X)-一心