4.2.2等差数列的前n项和公式（第1课时）课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列

等差数列的前n项和公式第1课时等差数列的前n项和人教A版

数学选择性必修第二册课程标准1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.3.借助等差数列理解Sn与an的关系,并了解等差数列前n项和Sn与二次函数的关系.基础落实·必备知识一遍过关知识点等差数列的前n项和公式及其推导等差数列的前n项和公式Sn=

或Sn=

推导方法倒序相加法名师点睛1.两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.思考辨析将等差数列的前n项和公式

按照n的降幂排列,该式子有哪些特征?自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)只有在等差数列中S1等于a1.(

)(2)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项an所有项的和.(

)(3)不存在这样的n的值,使公差为正数的等差数列前n项和Sn等于0.(

)×√×2.[人教B版教材例题改编]已知等差数列{an}的公差为2,且a20=29,则这个等差数列前20项的和为

.

200解析

由等差数列的通项公式可得29=a1+19×2,由此可解得a1=-9.因此前20项和S20==200.3.[苏教版教材例题]设Sn为等差数列{an}的前n项和.(1)已知a1=3,a50=101,求S50;重难探究·能力素养速提升重难探究·能力素养速提升探究点一等差数列前n项和公式的基本运算【例1】

[北师大版教材习题]在等差数列{an}中,(1)已知S8=48,S12=168,求a1和d;(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.规律方法

a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,在a1,d,n,an,Sn五个量中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5=(

)A.15 B.20

C.25

D.30C(2)[2024全国甲,文4]等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,a3+a7=(

)D(3)[2024全国新高考卷Ⅱ,12]设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=

.

95解析

设等差数列{an}的公差为d.探究点二根据数列前n项和公式判断等差数列【例2-1】

若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.解当n=1时,S1=a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故an=4n-5.数列{an}是等差数列,证明如下:因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4,所以数列{an}是等差数列.变式探究1(变条件)若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.解∵Sn=2n2-3n-1,①∴当n=1时,a1=S1=2-3-1=-2;当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1,②①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5.经检验,当n=1时,a1=-2∵a2-a1=5,a3-a2=4,即a2-a1≠a3-a2,∴数列{an}不是等差数列.变式探究2(变条件变结论)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+λ-1.若数列{an}为等差数列,则λ的值是

.

1

解析

(方法1)λ-1=0,λ=1.(方法2)易知当n≥2时,an=4n-5,当n=1时,a1=S1=λ-2.∵{an}为等差数列,a1适合an=4n-5,∴λ-2=-1,λ=1.★【例2-2】

已知数列{an}的所有项均为正数,其前n项和为Sn,且

因为an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2),所以{an}是以a1=3为首项,公差为2的等差数列,所以an=3+2(n-1)=2n+1.规律方法

由Sn求通项公式an的步骤(1)令n=1,则a1=S1,求得a1.(2)令n≥2,则an=Sn-Sn-1.(3)验证a1与an的关系:①若a1适合an,则an=Sn-Sn-1;变式训练2[2024上海校级高二期末]已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n2+2n,则数列{an}的通项公式an=

.

6n-1解析

当n=1时,a1=S1=5,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+2n-3(n-1)2-2(n-1)=6n-1,经验证当n=1时,上式也符合,∴数列{an}的通项公式an=6n-1.探究点三等差数列的求和在实际生活中的应用【例3】

[人教B版教材例题]李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1日开始,每个月的1日都存入1000元,共存入3年.(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰,则3年后李先生一次可支取本息共多少元?(设每月存款的利息不计入下月本金,下同.)(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰,则李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元?解(1)每1

000元“教育储蓄”存一个月能得到的利息是1

000×2.7‰=2.7(元).第1个1

000元存36个月,得利息2.7×36(元);第2个1

000元存35个月,得利息2.7×35(元);……第36个1

000元存1个月,得利息2.7×1(元).因此,3年后李先生获得利息2.7×36+2.7×35+…+2.7×1=

×36=1

798.2(元).所以3年后李先生可支取的本息和为1

000×36+1

798.2=37

798.2(元).(2)每1

000元“零存整取”存一个月能得到的利息是1

000×1.725‰=1.725(元),因此,若是“零存整取”,3年后李先生获得利息1.725×36+1.725×35+…+1.725×1=×36=1

148.85(元).因此,李先生多收益1

798.2-1

148.85=649.35(元).即李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益649.35元.规律方法

应用等差数列解决实际问题的一般思路

变式训练3[2024上海高二期末]《张丘建算经》中“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加

尺.(“尺”非国际通用单位)

本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列前n项和公式的推导过程.(2)与等差数列前n项和有关的基本运算.(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.(4)利用等差数列前n项和公式解决实际问题.2.方法归纳:倒序相加法、公式法、整体代换法.3.常见误区:(1)由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论;(2)判断等差数列时,容易忽视第一项的验证;(3)实际问题中易忽视还原验证.重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标12341.[2024上海校级高二月考]在等差数列{an}中,若a5=2,a9=10,则S13=(

)A.68 B.78

C.156

D.136B12342.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则其公差d=(

)C12343.[北师大版教材习题]一凸n边形(n≥3,且n∈N*),各内角的度数成等差数列,公差是10°,最小内角是100°,则边数n=

.

8解析

由题知各内角的度数成等差数列,记为{an},则a1=100°,公差d=10°.内角和为100°n+×10°=(n-2)×180°,所以n=8或n=9.因为an=100°+