相似三角形应用举例1

第二十七章相似相似三角形应用举例进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.(难点)学习目标12能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.(重点)复习引入新课导入1.相似三角形的判定方法有哪几种？（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似；（2）判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似

；（3）判定定理2：三边成比例的两个三角形相似；（4）判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（5）判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似；（6）直角三角形相似的判定方法：一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.2.

相似三角形的性质有哪些？（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似三角形对应线段的比等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比.（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.情景一世界上最高的树——红杉，你能测量它的高度吗？情景二神秘的埃及金字塔，你能测量它的高度吗？情景三世界上最宽的河——亚马逊河，你能测量它的高度吗？知识讲解★利用相似三角形测量物体的高度

据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.例1

如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.解：太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，∴

因此金字塔的高度为134m.归纳：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.物1高：物2高=影1长：影2长例2如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物项端A标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，求建筑物的高度．

归纳：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决.

例3

如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD,测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，求该古城墙的高度．

归纳：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.★利用相似三角形测量物体的宽度例4

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．

此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．EADCB60m50m120m解：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴，即，解得AB=100.因此，两岸间的大致距离为100m.

测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.归纳：随堂训练1.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，ABm，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．m B．m C．m D．mC

D3.

如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB.若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m，则A、B两点间的距离为

m.ABEDC204.如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10cm，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离SA的长度为

.12cm5.如图，在高为4m的平房顶上A处望一幢楼的底部D时，视线恰好过一棵树的顶端E，从平房底部B处望楼顶C时，视线也恰好经过小树的顶端E.如果测得小树的高度为3m，求这幢楼的高度.解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.∵EF=3，AB=4，∴,∴.∵EF∥AB，∴△BEF∽△BCD，∴,∴CD=4EF=12m.答：这幢楼的高度为12m.6.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己的眼睛距地面1.6m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l

从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C了？解：如图，假设观察者从左向右走到点E

时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A、C恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD，∴△AEH∽△CEK，∴=，即