3.1.2椭圆的简单几何性质课件高二上学期数学选择性

椭圆的简单几何性质湘教版

数学

选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程课标要求1.掌握椭圆的简单几何性质,能根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形;2.通过几何条件求出椭圆的标准方程,并利用椭圆的方程研究它的性质、图形.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标基础落实·必备知识一遍过知识点椭圆的简单几何性质标准方程

=1(a>b>0)

=1(a>b>0)图象范围

-b≤x≤b,-a≤y≤a对称性对称轴:x轴和y轴.对称中心:坐标原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)

轴长长轴长=2a,短轴长=2b离心率e=(0<e<1)-a≤x≤a,-b≤y≤bA1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)名师点睛

1.如图,过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|=,称为通径.通径是过椭圆的焦点的所有弦的弦长的最小值.2.椭圆上任意一点P到椭圆的一个焦点F的距离称为焦半径,且|PF|∈[a-c,a+c],特别地,若P(x0,y0)为椭圆

=1(a>b>0)上的任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中e=.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)椭圆

=1(a>b>0)的长轴长等于a.(

)(2)设F为椭圆

=1(a>b>0)的一个焦点,M为椭圆上任一点,则|MF|的最大值为a+c.(c为椭圆的半焦距)(

)(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(

)×√×2.[2024甘肃永昌高二期中](多选题)已知椭圆C:

=1的左焦点为F,点P是C上任意一点,则|PF|的值可能是(

)A.1

B.3C.6 D.8ABC解析

由题意可知a=4,c=3,所以a-c≤|PF|≤a+c,即1≤|PF|≤7.故选ABC.重难探究·能力素养速提升探究点一根据椭圆的方程求椭圆的几何性质【例1】已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.分析将椭圆方程化为标准形式,用m表示出a,b,c,再由e=求出m的值,然后依据条件求解.规律方法

研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时,应把椭圆的方程化为标准方程,注意分清楚焦点的位置,这样便于直观地写出a,b的数值,进而求出c,从而方便求出椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标等几何性质.[提醒]长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.变式训练1已知椭圆C1:

=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的标准方程,并研究其性质.(2)椭圆C2:

=1,性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:(0,10),(0,-10),(-8,0),(8,0),焦点坐标:(0,6),(0,-6);④离心率:e=.探究点二根据椭圆的几何性质求其标准方程【例2】根据下列条件求椭圆的标准方程:(1)椭圆过点(3,0),离心率e=;(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.分析(1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c的值.解

(1)若焦点在x轴上,则a=3,如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2上的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32.规律方法

由椭圆的几何性质求其标准方程的方法(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是:①求出a2,b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程.变式训练2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且椭圆经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.因为椭圆过点A(2,0),所以a=2.因为2a=2×2b,所以b=1.因为椭圆过点A(2,0),所以b=2.因为2a=2×2b,所以a=4.探究点三椭圆的离心率角度1离心率的求法

∴7(a-c)2=a2+b2=a2+a2-c2=2a2-c2,即5a2-14ac+8c2=0,规律方法

求椭圆离心率的方法(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程,借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程求解.变式训练3已知椭圆C的中心在坐标原点,连接椭圆的长轴的一个端点A和短轴的一个端点B,∠OAB=30°,则椭圆的离心率为

.

解析

如图所示,不妨设椭圆的焦点在x轴上,由条件得∠OAB=30°,OA=a,OB=b,角度2离心率的取值范围的求法

A规律方法

求椭圆离心率的取值范围的两种方法

方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质,如:设P(x0,y0)为椭圆

=1(a>b>0)上一点,则|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c等,建立不等关系,或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系直接法根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系,直接转化为含有a,b,c的不等关系式题设条件直接有不等关系变式训练4D解析

由点P在椭圆上可知|PF1|+|PF2|=2a,结合|PF1|-|PF2|=2b可知|PF1|=a+b.根据a-c≤|PF1|≤a+c可知b≤c,本节要点归纳1.知识清单:椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.方法归纳:根据椭圆的方程求椭圆的几何性质,根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,定义法求离心率或取值范围.3.注意事项:根据椭圆的方程求其几何性质应将椭圆方程化为标准方程,根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程应先确定焦点的位置,求椭圆的离心率或离心率的取值范围应根据题意准确列出关于a,c关系式或不等式,要注意e∈(0,1).学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练A1234567891011121314151617解析

由题意知2a=8,解得a=4.所以b2=a2-c2=7.12345678910111213141516172.椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1的关系为(

)A.有相同的长轴长与短轴长 B.有相同的焦距C.有相同的焦点 D.有相同的离心率D12345678910111213141516173.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在B12345678910111213141516174.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到最左的点的距离为3的椭圆的标准方程是(

)A解析

根据题意,设椭圆的标准方程为

=1(a>b>0),若右焦点到短轴端点的距离为2,则c2+b2=4,即a2=4,则a=2.又右焦点到椭圆最左的点的距离为3,则a+c=3,即c=1,则b2=a2-c2=4-1=3.故椭圆的标准方程为

=1.故选A.12345678910111213141516175.以椭圆

=1的长轴端点作为短轴端点,且过点(-4,1)的椭圆的焦距是(

)A.16 B.12

C.8

D.6D1234567891011121314151617A12345678910111213141516171234567891011121314151617AD

123456789101112131415161712345678910111213141516178.若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则实数m的值为

.

解析

∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,123456789101112131415161712345678910111213141516171234567891011121314151617B级关键能力提升练10.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为(

)A.30cm B.20cm C.10cm D.cmB解析

设小椭圆的长半轴长为a小.因为两个椭圆的扁平程度相同,所以两个椭圆的离心率相同,所以

,所以小椭圆的长轴长为20

cm.故选B.123456789101112131415161711.若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆是“对偶椭圆”的是(

)A1234567891011121314151617解析

因为旋转后椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,所以2b=2c,即b=c.A中,因为a2=8,b2=4,所以c2=a2-b2=4,故b=c;B中,因为a2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=2≠3;C中,因为a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4≠2;D中,因为a2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=3≠6.故选A.1234567891011121314151617B解析

∵∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,∴△PF1F2是直角三角形,|PF2|=c,|PF1|=.∵由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,123456789101112131415161713.

如图,椭圆的中心在原点O,顶点是A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为(

)D1234567891011121314151617123456789101112131415161714.(多选题)若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1,则称该椭圆为“倍径椭圆”,则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是(

)BC

解析

假设椭圆上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则|PF1|+|PF2|=2|PF2|+|PF2|=3|PF2|=2a,经检验,A,D不满足要求,B,C满足要求.故选BC.123456789101112131415161715.

如图,椭圆

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆上的点P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为菱形,则该椭圆的离心率为

.

1234567891011121314151617解析

根据题意可得|QF1|=|F1F2|=|PF2|=2c.在直角三角形QF1O中,因为|QF1|=2c,|F1O|=c,所以∠QF1O=60°,123456789101112131415161716.已知椭圆E的中心为原点O,两个焦点分别为A(-1,0),B(1,0),一个顶点为H(2,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使得MP⊥MH,求实数t的取值范围.12