线性回归方程教案

编号032§9.1.2线性回归方程

目标要求

1、结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义.

2、结合具体实例，了解模型参数的统计意义.

3、结合具体实例，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.

4、结合具体实例，会使用相关的统计软件.

5、针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.

学科素养目标

本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型

案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的

基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯.

在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养,不能只限于要求学生会解书本上的习题,

还要关注学生应用与解决实际问题的能力.应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能

自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学

建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践.

重点难点

，:点「二元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；

难点：用一元线性回归模型进行预测.

教学过程

基础知识点

1.线性回归模型

我们将y=称为线性回归模型.

2.线性回归方程与最小二乘法

(1)线性回归方程：直线？=称为线性回归方程.其中_称为回归截距，_称为

回归系数，_称为回归值.

⑵2,3的计算公式

Z(XLx)(y—y)

了=1

2=------------------------=

2

Z<Xi—x)

，=1

【课前小题演练】

题1.关于回归分析，下列说法错误的是()

从回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法

B.散点图中，解释变量在x轴，响应变量在y轴

C.回归模型中一定存在随机误差

D.散点图能明确反映变量间的关系

题2.根据如下样本数据:

X23456

Y-12.5—0.5-2-3

得到的经验回归方程为夕=以+。，贝1］（）

A.a>0,心0B.a>0,%<0

C.«<0,方>0D.«<0,为<0

题3.已知变量x,y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验回归方程可能

为（）

A.夕=1.5x+2B.y——1.5x+2

C.y=l.5x~2D.y=-1.5x一2

题4.若某地财政收入X与支出y满足经验回归方程5>=以+&+给（单位:亿元）（i=i,2,…），

其中W=0.8,&=2,陷|<0.5,如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过（）

A.10亿元B.9亿元

C.10.5亿元D.9.5亿元

题5.若施肥量x（依）与水稻产量y（Ag）的经验回归方程为夕=5x+250,当施肥量为80依

时，预计水稻产量约为kg.

题6.某种产品的广告费用支出x与销售额丫（单位：百万元）之间有如下的对应数据：

x/百万元24568

y/百万元3040605070

（1）画出散点图；

（2）求经验回归方程；

（3）试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？

【当堂巩固训练】

题7.已知x,y的取值如表所示:

X2345

y2.23.85.5tn

若y与x线性相关，且回归直线方程为y=1.46R一0.61,则表格中实数机的值为（）

A.7.69B,7.5C.6.69D.6.5

题8.某药厂为了了解某新药的销售情况，将2019年2至6月份的销售额整理如下:

月份23456

销售额（万元）1925353742

根据2至6月份的数据可求得每月的销售额y关于月份x的线性回归方程/=以+。为（）

^iy-nxy

i=l一一5

(参考公式及数据：%=---------------，a=y-Qx,gx必=690,

Zx：—〃(x)2"-I

i=l

£x；=90)

i=1

A.?=5.8x+8.4B.y=8.4x+5.8

C.9=6x—9D.今=4x+31.6

题9.登山族为了了解某山高y（6）与气温x（C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应

的气温，并制作了对照表：

气温x（℃）181310-1

山高y(,kni)24343864

由表中数据，得到线性回归方程夕=-2x+3（3eR）,由此请估计出山高为72（h〃）处气温

的度数为（）

A.—10B.—8C.—4D.—6

题10.根据如下的样本数据:

Xi23

y2.133.9

得到的回归方程为f=bx+a,则直线以+办-3=0经过定点()

A.(—1,—2)B.(-1,2)

C.(1,-2)D.(1,2)

题11.某同学在研究学习中，收集到某制药厂今年5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的

数据如表所示：

x（月份）12345

y（万盒）55668

若X,），线性相关，线性回归方程为夕=0.7x+3,则以下为真命题的是（）

A.x每增加1个单位长度，则y一定增加0.7个单位长度

B.x每增加1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度

C.当x=6时，y的预测值为&1万盒

D.线性回归直线？=0.7x+3经过点（2,6）

题12.下列说法：

①设有一个回归方程3=3—5x,变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

②线性回归方程?=*+3必过（工，7）；

③设某地女儿身高y对母亲身高x的一个回归直线方程是夕=34.92+0.78x,则方程中的3=

34.92可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

C.3=0.2D.当x=15时，9=11.95

题14.（多选博）已知x与y之间的几组数据如表：

X123456

y021334

假设根据表格数据所得线性回归直线方程为?=标+若某同学根据上表中的前两组数据

（1.0）和（2,2）求得的直线方程为x+/，则以下结论正确的是（）

XxiYi-nxy

i=1———

参考公式：h=----------------，a=y—bx.

^Xj—n(x)2

i=1

A.a'=一2B.b'=2C.h>b'D.aya'

【综合突破拔高】

题15.对于指数曲线令U=lny,c=lna,经过非线性回归分析后，可转化的形

式为()

A.U=c+bxB.U=b+cx

C.y=c+hxD.y=b+cx

题16.若一函数模型为丫=$讥％+25加a+1,为将y转化为，的经验回归方程，则需作变换

f等于（）

A.sinaB.（sZna+1）"

2

C.sinaD.以上都不对

题17.在生物学上，有隔代遗传的现象.已知某数学老师的体重为62依，他的曾祖父、祖

父、父亲、儿子的体重分别为58kg、64kg、58kg、60版.如果体重是隔代遗传，且呈线

性相关，根据以上数据可得解释变量x与预报变量》的回归方程为5>=以+其中方=0.5,

据此模型预测他的孙子的体重约为（）

A.58kgB.61kgC.65kgD.68kg

题18.（多造熟）月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根

据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y（简称“月出时间”，单位：小时）与天数x（x为

阴历日数，XGM,且0WxW30）的有关数据，如表，并且根据表中数据，求得y关于x的线

性回归方程为夕=0.8x4-2.

X247101522

y8.19.41214.418.524

其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日0：00）才升起.则

（）

A.样本点的中心为（10，14.4）

B.3=6.8

C.预报月出时间为16时的那天是阴历13日

D.预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00

题19.对某台机器购置后的运行年限x（x=l,2,3,…）与当年利润y的统计分析知X,y

具备线性相关关系，经验回归方程为f=10.47—1.3x,估计该台机器最为划算的使用年限为

年.

题20.以模型y=c*去拟合一组数据时，为了求出非经验回归方程，设z=/〃y,其变换后

得到经验回归方程2=0.3x+4,则c=.

题21.为了响应中央号召，某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物x（单

位：ppm）与当天私家车路上行驶的时间y（单位：小时）之间的关系，从某主干路随机抽取

10辆私家车，已知x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为夕=0.3x-0.4,若该

10辆车中有一辆私家车的尾气排放污染物为6（单位：ppM,据此估计该私家车行驶的时间

为.____小时.

题22.某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分

析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子

中的发芽数，得到如下数据：

日期12月1日12月2日12月3日12月4日

温差1113128

发芽数（颗）26322617

根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程5）=傲+3中的3=-8,则求得

的金=;若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方

程计算发芽数?，再求9与实际发芽数的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线

性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程（填“可靠”或“不可靠”）.

题23.如表为收集到的一组数据：

X21232527293235

Y711212466115325

试建立丫与x之间的回归方程.

题24.宿州市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有

主干道路凡机动车途经十字路口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让

行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚.如表是本市一主干路段监控设备所

抓拍的5个月内，机动车驾驶员“不礼让行人”行为统计数据：

月份X12345

违章驾驶员人数y1151101009085

(1)若x与y之间具有很强的线性相关关系，请利用所给数据求违章驾驶员人数y与月份x

之间的回归直线方程5=傲+2；

(2)预测该路段8月份的“不礼让行人”违章驾驶员的人数.

nx,y

i=1------

参考公式：h=-------------------------,3=y一金x,

—n(x)2

?=1

参考数据：£>"=1420.

/=1

编号032§9.1.2线性回归方程

目标要求

1、结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义.

2、结合具体实例,了解模型参数的统计意义.

3、结合具体实例,了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.

4、结合具体实例,会使用相关的统计软件.

5、针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测.

学科素养目标

本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型

案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的

基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯.

在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养，不能只限于要求学生会解书本上的习题,

还要关注学生应用与解决实际问题的能力.应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能

自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学

建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践.

重点难点

重点：一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法;

难点：用一元线性回归模型进行预测.

教学过程

基础知识点

1.线性回归模型

我们将v=〃+fer+e称为线性回归模型.

2.线性回归方程与最小二乘法

(1)线性回归方程：直线9=4+纵称为线性回归方程.其中&称为回归截距，为称为回归系数,

上称为回归值.

(2)2,多的计算公式

n———

Z(X,—x)(y,—y)%力一〃xy

/=l产।

2=a——y—hx

ZQXLX)2Z舅—n(x)

/=1/=t

【课前小题演练】

题1.关于回归分析，下列说法错误的是()

A.回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法

B.散点图中，解释变量在x轴，响应变量在y轴

C.回归模型中一定存在随机误差

D.散点图能明确反映变量间的关系

【解析】选D用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差.

题2.根据如下样本数据：

X23456

Y42.5—0.5-2-3

得到的经验回归方程为夕=去+。，则()

4.a>0,方>0B,3>0,3V0

C.«<0,方>0D.a<0,方<0

【解析】选B.由题干表中的数据可得，变量丫随着X的增大而减小，贝的<0,

又回归方程为夕=叙+2经过(2,4),(3,2.5),可得3>0.

题3.已知变量x,丫之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验回归方程可能

为()

A.y=1.5x+2B.y=-1,5x+2

c.y~1.5x—2D.y——1.5x—2

【解析】选A设经验回归方程为》=藏+必由题干中散点图可知变量达丫之间负相关，经

验回归直线在y轴上的截距为正数，所以次0,3>0,因此方程可能为》=-1.5x+2.

题4.若某地财政收入X与支出y满足经验回归方程5>=以+3+右（单位:亿元）（i=l,2,…），

其中方=0.8,3=2,14/<0.5,如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过（）

A.10亿元B.9亿元

C.10.5亿元D.9.5亿元

【解析】选C.9=0.8X10+2+ei=10+e”

因为陷I<0.5,所以9.5V火10.5.

题5.若施肥量xGg）与水稻产量丫（均）的经验回归方程为j>=5x+250,当施肥量为80依

时，预计水稻产量约为kg.

【解析】把x=80代入经验回归方程可得其预测值5>=5X80+250=650（依）.

答案：650

题6.某种产品的广告费用支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：

x/百万元24568

y/百万元3040605070

（D画出散点图;

（2）求经验回归方程；

（3）试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大?

【解析】（1）散点图如图所示：

/百万元

012345678%/百万元

（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算:

i12345合计

Xi2456825

M3040605070250

孙601603003005601380

2

最416253664145

bt।—25—250l2

所以x=—=5,y=—=50,Xxi=145,

55J

i=l

XxiYi-5xy

5i——1

Zx渺=1380.于是可得力=匚----------

-1XXi—5X2

i=l

1380-5X5X50

=-145-52X5-a=y一%x=50—6.5X5=17.5.

所以所求的经验回归方程为9=6.5x+17.5.

（3）根据上面求得的经验回归方程，当广告费用支出为

10百万元时，力=6.5X10+17.5=82.5（百万元），

即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元.

【当堂巩固训练】

题7.已知冗，y的取值如表所示：

X2345

y2.23.85.5m

若y与元线性相关，且回归直线方程为夕=1.46x—0.61,则表格中实数机的值为（）

A.7.69B.7.5C.6.69D,6.5

【解析】选D因为行=2+3”4+5上,

—2.2+3.8+5.5+m11.5+fl;

y=4，

所以"-1.46x1-0.61,解得机=6.5.

题8.某药厂为了了解某新药的销售情况，将2019年2至6月份的销售额整理如下:

月份23456

销售额（万元）1925353742

根据2至6月份的数据可求得每月的销售额y关于月份x的线性回归方程?=以+3为（）

___-^―

Y^iy-nxy

产］一一5

(参考公式及数据：方=---------------,2=y—hx,必=690,

^Xf—n(x)2IT

/=i

-=90)

?=1

A.y=5.8x+8.4B.5>=8.4x+5.8

C.5>=6X—9D.9=4X+31.6

【解析】选4由表格中的数据得x=-----------------=4,

5

—19+25+35+37+42八八

y=-----------5------------.

5——

%%—5xy

所以务:2i-=--1-----------690-5X4X31.6_

~90-5X42-=5・8,

5___

2才；—5(x)

41

3=31.6-5.8X4=8.4,

因此，y关于x的线性回归方程为$=5.8x+8.4.

题9.登山族为了了解某山高与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应

的气温，并制作了对照表：

气温x(℃)181310-1

山高y(km)24343864

由表中数据，得到线性回归方程夕=-2x+3(&GR),由此请估计出山高为72(励7)处气温

的度数为()

A.—10B.18C.-4D.一6

【解析】选D由题意可得x=10,y=40,所以金=y+2x=40+2X10=60.所以

f=-2x+60,当夕=72时，有一21+60=72,解得了=-6.

题10.根据如下的样本数据：

X123

y2.133.9

得到的回归方程为5=版+〃，则直线磔+外-3=0经过定点()

A.(—1,—2)B.(—1>2)

C.(1,-2)D.(1,2)

3__3

【解析】选D.由所给数据得x=2,y=3,Z(加一x)(9—y)=1.8,Z(x,-

i=li=i

—xy=2,

所以人=0.9,a=3—0.9X2=1.2,所以直线以+办一3=0方程为1.2x+0.9y-3=0,过

点(1,2).

题11.某同学在研究学习中，收集到某制药厂今年5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的

数据如表所示：

x（月份）12345

），（万盒）55668

若x,y线性相关，线性回归方程为？=0.7x+3,则以下为真命题的是（）

A.x每增加1个单位长度，则y一定增加0.7个单位长度

8.x每增加1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度

C.当x=6时，y的预测值为8.1万盒

D.线性回归直线3=0.7x+2经过点（2,6）

【解析】选C.由？=0.7x+3,得x每增（减）一个单位长度，y不一定增加（减少）0.7,而是

大约增加（减少）0.7个单位长度，故选项A,B错误；由已知表中的数据，可知二=

1+2+「4二5=3,7^54-5+6+6+8则回归直线必过点（3,6）,故。错误；将

55

（3,6）代入回归直线夕=0.7x+3,解得3=3.9,即。=0.7x+3.9,令x=6,解得？=0.7X6

+3.9=8.1万盒.

题12.下列说法:

①设有一个回归方程夕=3—5x,变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

②线性回归方程?=以+3必过（二:，7）；

③设某地女儿身高y对母亲身高x的一个回归直线方程是？=34.92+0.78x,则方程中的3=

34.92可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】选C设有一个回归方程夕=3—5为变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位,

故①错；线性回归方程？=飘+&必过样本中心点（二，V）,故②正确；

设某地女儿身高y对母亲身高x的一个回归直线方程是？=34.92+0.78x,当x=0时，？=

34.92,

方程中的2=34.92可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分，故③正确.

题13.（多选摩）两个相关变量x,y的5组对应数据如表：

X8.38.69.911.112.1

y5.97.88.18.49.8

根据表格，可得回归直线方程3=以+3,求得为=0.78.据此估计，以下结论正确的是（）

A.x=10B.y=9

C.2=0.2D.当x=15时，夕=11.95

【解析】选AC易求得x=10,y=8=>3=y~hx=8—0.78X10=0.2,所以夕=

0.78x+0.2.

x=15=>5）=O.78X15+0.2=11.90.

题14.（多选踵）已知x与y之间的几组数据如表：

X123456

y021334

假设根据表格数据所得线性回归直线方程为『=氤+&，若某同学根据上表中的前两组数据

（b0）和（2,2）求得的直线方程为x+苏，则以下结论正确的是（）

n__——

nxy

i=1——一

参考公式：h=----------------,a=y—bX.

gx：-n（x）2

i=1

A.a'=-2B.b'=2C.力〃'D.a>a'

【解析】选ABD因为某同学根据前两组数据（1,0）和（2,2）求得的直线方程为y=6'x

——13

+ar,所以〃'=2,ar=-2,根据题意得：x=3.5,y=—,

66

gx沙=0+4+3+12+15+24=58,gx.=1+4+9+16+25+36=91,

i=li=l

6_一

£riyi-6尤y

所以方---------------=",3=y—hx=苧—7X1=—J,所以方<//,a>a.

61b//J

—6（x）2

i=l

【综合突破拔高】

题15.对于指数曲线令U=biy,c=lna,经过非线性回归分析后，可转化的形

式为（）

A.U=c+bxB.U=b+cx

C.y=c+bxD.y=b+cx

【解析】选4.由得Iny=ln（〃*）,

所以y=lna+ln广，

所以Iny=lna+bx,所以U=c+bx.

题16.若一函数模型为丁=$讥％+2§加z+1,为将y转化为/的经验回归方程，则需作变换

1等于（）

.2

A.sinaB.(sina+1)

C.（SJ力a+g）D.以上都不对

【解析】选区因为y是关于f的经验回归方程，实际上就是y是关于f的一次函数，又因为

y=（sin«+1）2,若令f=（si〃a+l）2,则可得y与f的函数关系式为y=f,此时变量y与变

量，是线性相关关系.

题17.在生物学上，有隔代遗传的现象.已知某数学老师的体重为62依，他的曾祖父、祖

父、父亲、儿子的体重分别为58kg、64kg、58kg、60版.如果体重是隔代遗传，且呈线

性相关，根据以上数据可得解释变量x与预报变量》的回归方程为？=©+&,其中方=0.5,

据此模型预测他的孙子的体重约为（）

A.58kgB.61kgC.65kgD.68kg

【解析】选艮由于体重是隔代遗传，且呈线性相关，

则取数据（58,58）,（64,62）,（58,60）,

3一58+64+58—58+62+60

得x=----;----=60,y=----；-----=60,

即样本点的中心为（60,60）,代入？=以+3,

得3=60—0.5X60=30,则夕=0.5x+30,

取x=62,可得？=0.5X62+30=61kg.

故预测他的孙子的体重约为61kg.

题18.（多选豚）月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根

据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y（简称“月出时间”，单位：小时）与天数x（x为

阴历日数，xeM,且0WxW30）的有关数据，如表，并且根据表中数据，求得y关于x的线

性回归方程为夕=0.8x4-2.

X217101522

y8.19.41214.418.524

其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日0：00）才升起.则

（）

A.样本点的中心为（10,14.4）

B.3=6.8

C.预报月出时间为16时的那天是阴历13日

D.预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00

2+4+7+10+15+22

【解析】选ADx=10,

6

-8.1+9.4+12+14.4+18.5+24

y=-------------------------------------------=14.4,

b

故样本点的中心为（io，14.4）,选项A正确；

将样本点的中心（10，14.4）代入夕=0.8x+3得3=6.4,故选项8错误；因为夕=0.8》+6.4,

当y=16时，求得x=12,月出时间为阴历12日，选项C错误；

因为阴历27日时，即x=27,代入j>=0.8X27+6.4=28,日出时间应该为28日早上4：00,

选项。正确.

题19.对某台机器购置后的运行年限x（x=l,2,3,…）与当年利润丫的统计分析知x,Y

具备线性相关关系，经验回归方程为3=10.47-1.3X,估计该台机器最为划算的使用年限为

______年.

［解析］当年利润小于或等于零时应该报废该机器，

当y=0时，令10.47—1.3x=0,解得x-8,

故估计该台机器最为划算的使用年限为8年.

答案：8

题20.以模型y=c/去拟合一组数据时，为了求出非经验回归方程，设2=/〃丫，其变换后

得到经验回归方程2=0.3X+4,则。=.

【解析】由题意，得/〃（C*）=0.3x+4,

所以/〃c+Ax=0.3x+4,所以/〃c=4,所以c=e'.

答案：

题21.为了响应中央号召，某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物x（单

位：勿㈤与当天私家车路上行驶的时间y（单位：小时）之间的关系，从某主干路随机抽取

10辆私家车，已知x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为夕=0.3x—0.4,若该

10辆车中有一辆私家车的尾气排放污染物为6（单位：ppm）,据此估计该私家车行驶的时间

为小时.

【解析】由3=0.3x—0.4,令x=6,代入可得夕=0.3X6—0.4=1.4.所以估计该私家车行

驶的时间为1.4小时.

答案：1.4

题22.某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分

析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子

中的发芽数，得到如下数据：

日期12月1日12月2日12月3日12月4日

温差1113128

发芽数（颗）26322617

根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程夕=右+&中的。=—8,则求得

的金=；若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方

程计算发芽数?，再求9与实际发芽数的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线

性回归方程是可靠的，则