黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高二数学下学期阶段验收考试试题理含解析

PAGE20-黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高二数学下学期阶段验收考试试题理（含解析）一、选择题1.假如质点依据规律运动，则在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数的定义可计算得出质点在处的瞬时速度.【详解】，所以，当时，质点的瞬时速度为.故选：B.【点睛】本题考查利用导数的定义计算瞬时速度，考查计算实力，属于基础题.2.曲线在处切线斜率的大小为（）A.1 B.2 C.0 D.－1【答案】A【解析】【分析】利用基本函数的导数公式和导数的运算法则求得导函数，将代入计算即得.【详解】∵，∴，∴，故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义和导数的运算，属基础题.3.已知随机变量，则该变量的方差（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二项分布的方差公式可计算得出的值.【详解】，由二项分布的方差公式可得.故选：C.【点睛】本题考查二项分布方差的计算，考查计算实力，属于基础题.4.函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】原不等式等价于或,然后依据图象分段考察导数的正负区间，即可求得答案.【详解】不等式等价于或,由函数的图象可知，在时，函数的单调递减区间为的解集为,在时，的对应区间为,∴的解集为，的解集为不等式的解集为，故选：D.【点睛】本题考查依据函数的图象求与导数有关的不等式的解集问题，涉及导数的正负与函数的单调性的关系，关键是将所求不等式转化为不等式组，结合图象视察导数为正值和负值的区间，体现了数形结合思想.5.为了探讨某种细菌在特定环境下，随时间改变繁殖状况，得如下试验数据，计算得回来直线方程为.由以上信息，得到下表中的值为（）天数（天）34567繁殖个数（千个）2.53445A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】分析】依据已知数据求得，依据点(在回来直线上，求得，进而依据表格中数据，利用平均数的定义求得的值【详解】,,故选B.【点睛】本题考查线性回来方程的性质：点(在回来直线上，涉及平均数的计算，属基础题.6.函数，直线与的图象相交于、两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得点、的坐标，可得出关于的函数表达式，然后利用导数可求得的最小值.【详解】联立，解得，可得点.联立，解得，可得点.由题意可得，解得，，令，其中，.当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.所以，.因此，的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求解线段长的最值，求得关于的函数表达式是解答的关键，考查计算实力，属于中等题.7.宜春九中为了探讨学生的性别和对待垃圾分类活动的看法支持与不支持的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，有多大的把握认为“学生性别与支持该活动”有关系（）附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%【答案】C【解析】【分析】把观测值同临界值进行比较即可得到结论．详解】比照表格可得有的把握说学生性别与支持该活动有关系本题正确选项：【点睛】本题考查独立性检验的学问，属于基础题.8.已知函数的定义域为，，对随意，，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数分析出函数的单调性，计算得出，然后利用函数的单调性可解得该不等式.【详解】构造函数，则函数的定义域为，对随意，，则，所以，函数为上的增函数，，，由可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调性解函数不等式，利用导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查计算实力，属于中等题.9.函数，若对随意两个不等的实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将恒成立，变形为恒成立，可构造函数，有单调递增，则恒成立，从而求得的取值范围.【详解】对随意两个不等的实数，都有恒成立，则恒成立，即令，则单调递增，则恒成立，则恒成立，得，则.故选：B【点睛】本题考查了构造函数的思想，函数单调性与导函数的关系的应用，属于中档题.10.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某队员每次投篮投中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，则该队员通过测试的概率为（）A.0.896 B.0.640 C.0.512 D.0.384【答案】A【解析】【分析】每人投3次，至少投中2次即投中2次或3次，利用二项分布概率计算公式分别计算，然后求和即得.【详解】该同学通过测试的概率为故选：A．【点睛】本题考查次独立重复试验的概率计算的应用，涉及二项分布的概率公式，考查计算实力和理解辨析实力，属基础题．11.函数，，对随意的，都有恒成立，则实数的取值范围是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的最小值，的最大值即可求出的取值范围.【详解】因为对随意的，都有恒成立，又因为和在上为增函数，所以的最小值为，的最大值为，所以，.故选：C.【点睛】本题主要考查利用函数单调性求最值问题.属于较易题.12.函数，，为函数图象上不同的两点，且，记，是的导函数，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用表示出和，转化为推断与的大小，再构造函数，令，，，利用导数探讨函数的单调性，推断与的大小，从而得到与的大小.【详解】，则，则，由，则，，令，，，，则，则在单调递增，故，得，得.故选：B.【点睛】本题考查了构造法，换元法，等价转化思想的综合运用，还考查了利用导数探讨函数的单调性，以及单调性的应用，难度较大.二、填空题13.函数的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】求得函数的导数，然后解不等式可得出函数的单调递增区间.【详解】函数的定义域为，，令，可得，解得.因此，函数的单调递增区间为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算实力，属于基础题.14.从，，，，中任取个不同的数，事务“取到的个数之和为偶数”，事务“取到的个数均为偶数”，则______.【答案】【解析】分析】利用互斥事务的概率及排列组合计算公式求出事务的概率，同样利用排列组合计算公式求出事务的概率，然后干脆利用条件概率公式求解．【详解】，．由条件概率公式得．故答案为：．【点睛】本题考查了条件概率与互斥事务的概率，考查了排列组合计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用.属于中档题．15.为了解某市高三学生身高状况，对其进行了测量，经分析，全市高三学生身高（单位：）听从正态分布，已知，.现从该市高三学生中随机抽取一名学生，则该学生身高在区间的概率为______.【答案】【解析】【分析】利用正态分布的密度曲线的对称性可得出，结合等式可求得，进而得解.【详解】，且，所以，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，考查计算实力，属于基础题.16.函数，经过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，求出切线方程，将点的坐标代入切线方程得，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，由题意可知直线与函数的图象有三个交点，数形结合可得实数的取值范围.【详解】设切点坐标为，，则，所以，曲线在点处的切线方程为，即，将点的坐标代入切线方程得，构造函数，由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，，令，得或，列表如下：单调递减微小值单调递增极大值单调递减如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数的图象有三个交点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查由过函数图象外一点引曲线的切线条数求参数，将问题转化为两函数图象的交点个数问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题17.已知函数在和时都取得极值.（1）求、的值；（2）若函数在区间上不是单调函数，其中，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可知，和是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值；（2）由题意可知函数在区间上存在极值点，由此可得出关于实数的不等式组，进而可解得正实数的取值范围.【详解】（1），，由题意可知和是方程的两根，由韦达定理得，解得，此时.当或时，；当时，.所以，函数在和时都取得极值.因此，，；（2）由（1）知，函数的两个极值点分别为和，由于函数在区间上不是单调函数，则函数在区间上存在极值点，可得或，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算实力，属于中等题.18.某校数学老师任教的班级有50名学生，某次单元测验成果的频率分布直方图如图所示，其中成果分组区间为，，，，，（1）求图中的值；（2）从成果不低于80分的同学中随机选取3人，该3人中成果在90分以上（含90分）的人数记为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.【解析】【分析】（1）利用频率总和为1，列方程求得；（2）成果不低于80分的学生人数为12人，其中成果在90分以上的有3人.从中任取3人,成果在90分以上（含90分）的人数的值可能为0,1,2,3.借助于组合计数，利用古典概型求得分布列，并计算期望值.【详解】（1）,解得;（2）成果不低于80分的的同学所占的频率为,∵总共有50名学生，∴成果不低于80分的学生人数为12人，其中成果在90分以上的有3人.从中任取3人,成果在90分以上（含90分）的人数的值可能为0,1,2,3.对应概率为：；；；.的分布列为：0123.【点睛】本题考查频率直方图的性质，离散型随机变量的分布列及其期望，涉及组合计数，超几何分布，属中档题.19.某高校对参与“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，高校确定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核合格，授予个学分；考核优秀，授予个学分，假设该高校志愿者甲、乙、丙考核优秀的概率为、、.他们考核所得的等次相互独立.（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）计算出三人考核都不是优秀的概率，利用对立事务的概率公式可求得所求事务的概率；（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，利用独立事务的概率乘法公式计算出在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列.【详解】设甲考核优秀为事务，乙考核优秀为事务，丙考核优秀为事务，，，，且、、相互独立.（1）；（2）的可能取值为、、、，，，，.随机变量的分布列为【点睛】本题考查利用独立事务的概率乘法公式和对立事务的概率公式计算事务的概率，同时也考查了离散型随机变量分布列的求解，考查计算实力，属于中等题.20.设函数，，其中是的导函数（1）证明：；（2）若对于随意实数，，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）令，，用导数法证明即可.（2）将随意实数，，转化为，对恒成立，令，，转化为，对恒成立，令，用导数法求其最小值即可.【详解】（1）证明：令，，所以，当时，，当时，，所以，所以所以，即得证.（2），，所以，对恒成立，令，，∴，对恒成立，令，，恒成立，∴在单调递增，∴，∴.【点睛】本题主要考查导数与不等式证明，导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的实力，属于中档题.21.已知函数（1）求函数的极值；（2）若直线与函数的图象有两个不同交点，，求证：【答案】（1）微小值为，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）干脆利用导数求函数的单调性，极值；（2）由时，，结合（1）中极值，可设，要证，需证，由，，且在是单调递减函数，即只需证：，即只需证，再构造函数，，利用导数证得即可.【详解】（1）∵，∴改变时，与改变状况如下－1－0+单调递减微小值单调递增∴当时，有微小值为∴微小值为，无极大值.（2）由时，，设，由（1）知，，欲证：，需证：由，，且在是单调递减函数即证：∵，即证：令，，当时，，∴单调递增∴，∴时，由时，∴，∴，得证【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，分析法的应用，利用导数探讨函数的单调性，并证明不等式，还考查了学生的分析推理实力，转化思想的运用，难度较大.22.已知函数（1）当，求函数的单调区间；（2）若有且只有一个实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，的单调减区间为；（2）或.【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导数，利用和,求得函数的单调区间；（2）先求得，,,再分，，探讨，时，单调递增，依据零点存在定理是否存在唯一零点；时可干脆