江苏省如皋市2025届高三数学下学期4月模拟试题二

PAGEPAGE18江苏省如皋市2025届高三数学下学期4月模拟试题（二）（考试时间：120分钟总分：160分）参考公式：球体的表面积公式S球体＝4πR2，其中R为球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设全集U＝Z，集合A＝{0，2，3}，B＝{x∈Z|x2－x＜2}，则A∩(∁UB)＝▲．2．若复数z满意z＋i＝eq\f(2＋i,i)，其中i为虚数单位，则|z|＝▲．3．某工厂为了了解一批产品的净重(单位：克)状况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示．则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104)上的产品件数是▲．II←1S←0WhileS＜27S←S＋3II←I＋2EndWhilePrintI（第5题图）961001021041060.0500.0750.1000.1250.150频率/组距净重（克）（第3题图）984．某医院欲从主动报名的甲、乙、丙、丁4名医生中选择2人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若每名医生被选择的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为▲．5．执行右边的伪代码后，输出的结果是▲．6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，设过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若△F1AB是正三角形，则双曲线C的离心率为▲．7．已知函数f(x)＝|sin(ωx＋φ)|(ω＞0)，将函数y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于▲．8．已知等比数列的前n项和为Sn，若，且4S3，3S4，2S5成等差数列，则满意不等式的n的最小值为▲．9．在三棱锥P－ABC中，AB⊥平面PAC，PC＝AB＝2AC＝2，PA＝eq\r(5)，则该三棱锥的外接球O的表面积为▲．ABCDO（第11题图）10．已知实数x，y满意条件若不等式mx2y≤2x3＋eq\f(1,8)y3恒成立，则实数m的最大值是▲ABCDO（第11题图）11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝BC，AC⊥BC，AD⊥BD，且O是AC的中点，若，则的值为▲．12．在平面直角坐标系xOy中，已知MN在圆C：(x－2)2＋y2＝4上运动，且MN＝2eq\r(3)．若直线l：kx－y＋3＝0上的随意一点P都满意PM2＋PN2≥14，则实数k的取值范围是▲．13．已知函数，若存在实数k，使得函数有6个零点，则实数a的取值范围为▲．14．在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别是a，b，c，若CD是边AB上的中线，且CD＝CA，则的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别是a，b，c，已知＝．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，c＝3，求cos(A－B)的值．16．（本小题满分14分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝BB1，且∠ABB1＝60°，D为AC的中点．CABB1C1A1DCABB1C1A1D（第16题图）（2）求证：AB⊥B1C．17．（本小题满分14分）现有一块废弃的半圆形钢板，其右下角一小部分因生锈无法运用，其形态如图所示，已知该钢板的圆心为O，线段AOB为其下沿，且OA＝2m，OB＝eq\r(2)m．现欲从中截取一个四边形AMPQ，其要求如下：点P，Q均在圆弧上，AP平分∠QAB，且PM⊥OB，垂足M在边OB上．设∠QAB＝θ，四边形AMPQ的面积为S(θ)m2．OABMPQ（第17题图）（1）求OABMPQ（第17题图）（2）当cosθ为何值时，四边形AMPQ的面积最大？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且经过点(－1，eq\f(\r(2),2))，过左焦点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于点A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线OA，OB，AB的斜率之和为0，求直线l的方程；（3）设弦AB的垂直平分线分别与直线l，椭圆C的右准线m交于点M，N，AFOMAFOMNxyBml（第18题图）19．（本小题满分16分）已知函数，其中，e为自然对数的底数．（1）若a＝1，求函数在x＝1处的切线方程；（2）若函数在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）设函数在区间上存在极值，求证：．20．（本小题满分16分）已知数列的前n项和为Sn，设．（1）若，记数列的前n项和为Tn．①求证：数列为等差数列；②若不等式对随意的都成立，求实数的最小值；（2）若，且，是否存在正整数，使得无穷数列，，，…成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由．2024～2024学年度高三年级其次学期语数英学科模拟（二）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,13))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,0－1)).求矩阵C，使得AC＝B.B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin(θ＋eq\f(π,6))所截得的弦长．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点M(eq\r(2)，m)到准线的距离与到原点O的距离相等．（1）求抛物线的方程；（2）过不在y轴上的点P作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若OP⊥AB，求证：直线AB过定点．23．（本小题满分10分）已知数列的首项，且，．（1）求的最小值；（2）求证：．2024～2024学年度高三年级其次学期语数英学科模拟（二）数学试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．{2，3}2．3．554．5．76．7．48．129．9π10．11．－312．13．14．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解】（1）因为，依据正弦定理，得，因为，所以，所以，即，整理得，所以，又，故．……6分（2）在△ABC中，，，，据余弦定理，得，故．据正弦定理，得，解得．因为，故，，所以．所以．……14分16．【证明】（1）连接，交于点，连接．CABB1CCABB1C1A1D（第16题图）QE因为，所以是的中点，所以∥．又面，面，所以B1C∥平面A1BD．……6分（2）取的中点，连接、．因为，∠ABB1＝60°，所以△ABB1是正三角形，．因为是的中点，所以．因为，是的中点，所以．又，，面，所以面．因为面，所以．……14分OOABMPQCE（第17题图）17．【解】（1）连接OP，取AP的中点C，AQ的中点E，连接OC，OE．因为，所以，因为AP平分，所以，所以，故∥，所以．在中，，，所以，，在中，，，所以，，在中，，，所以，，所以，所以，其定义域为．……7分（2）因为，，．令，得，设锐角满意，列表：0极大值所以当时，取得最大值．答：当时，四边形AMPQ的面积最大．……14分18．【解】（1）因为椭圆C的焦距为2，所以椭圆C的焦点为，所以点到焦点，的距离分别为，，故，得．所以，椭圆C的方程为．……4分（2）依题意，左焦点F，设直线l：，，，．联立方程组整理得，所以，．因为直线OA，OB，AB的斜率之和为0，所以，即，整理得，即，解得．所以直线l的方程为．……9分（3）若直线l的斜率不存在，；若直线l的斜率存在，由（2）可得，又，直线MN的斜率为，，所以．故，令，则，故当时，，，所以．明显，，所以的最小值为2．……16分19．【解】（1）当时，，，，，所以函数在处得切线方程为．……2分（2）因为，，，所以．=1\*GB3①若，则，在上是单调增函数，所以在上至多一个零点，与题意不符合．=2\*GB3②若，令，得．0微小值（ⅰ）若，即时，有且仅有一个零点，与题意不符．（ⅱ）若，即时，，，又，且的图像在上不间断，所以存在，使得．此时，在恰有两个不同得零点和，所以符合题意．（ⅲ）若，即时，．令，，，所以在上是单调增函数，，所以在上是单调增函数，．所以，且，的图像在上不间断，所以存在，使得．此时，在恰有两个不同得零点和，所以符合题意．综上所述，实数的取值范围是或．……10分（3）依题意，，则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满意即所以，，即．由（2）=2\*GB3②可知，当时，，所以，．所以，即，所以．……16分20．【解】（1）=1\*GB3①因为，=，①所以，②将①－②，得，即，③所以，当，时，，④将③－④得，当，时，，整理得，，即，所以数列为等差数列．……4分=2\*GB3②因为=，令，2，得，，解得，，结合=1\*GB3①可知，，故．所以，，两式相减，得，所以．依题意，不等式对随意的都成立，即对随意恒成立，所以对随意恒成立．令，则，所以当，2时，，即，且当，时，，即，所以当时，取得最大值，所以，实数的最小值为．……10分（2）因为，所以，即．因为，所以，．所以，，．所以当，时，，．假设存在，，，，…成等差数列，公差为d．则，（ⅰ）若，则当，时，，而，，所以与题意冲突．（ⅱ）若，则当，时，与题意冲突．所以不存在，使得无穷数列，，，…成公差不为0的等差数列．……16分21A．【解】因为|A|＝2×3－1×1＝5，所以A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)\f(－1,5),\f(－1,5)\f(2,5)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)－\f(1,5),－\f(1,5)\f(2,5)))．由AC＝B，得(A－1A)C＝A－1B，所以C＝A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)－\f(1,5),－\f(1,5)\f(2,5)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,0－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)\f(4,5),－\f(1,5)－\f(3,5)))．……10分21B．【解】联立方程组得．又因为直线θ＝eq\f(π,6)与曲线ρ＝4s