国家开放大学《高数基础形考》1-4答案

2020年国家开放大学《高等数学答案》2020年国家开放大学《高等数学答案》#/192020年国家开放大学《高等数学》基础形考1-4答案《高等数学基础》作业一第1章函数第2章极限与连续(一)单项选择题.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.A.f(x)=(，；x)2，g(x)=X B.f(x)=v'x2，g(x)=xCx2—1.f(x) =In x3， g(x)=3lnxD. f(x) =x+1， g(x)=一x-1.设函数f(x)的定义域为(一8,+8)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称.A.坐标原点 B.x轴C.y轴 D.y=x.下列函数中为奇函数是(B).A.y=ln(1+x2) B.y=xcosxax+a-xC.y= D.y=ln(1+x)2.下列函数中为基本初等函数是(C).y=x+1y=x+1C.y=x,2y=-xD.y=1-1,.下列极限存计算不正确的是(D).A.limxA.limx-8x2x2+2=1B.limln(1+x)=0x-0lim处lim处=0x—8xlimxsin-=0x—8 x.当x-0时，变量（C）是无穷小量.B.AsinxxB.C.xsin1C.xsin1xD.ln(x+2)7.若函数f（7.若函数f（x）在点x满足

0limf(x)=f(x)0x—x0C.limf(x)=f(x0)x—x+(二)填空题（A）,则f（x）在点x连续。0f（x）在点x的某个邻域内有定义0D.limf(x)=limf(x).函数f(x)="x2-9+ln(1+x)的定义域是{xIx>3}.x-3 TOC\o"1-5"\h\z.已知函数f(x+1)=x2+x，则Uf(x)= x2-xQ 1 . 1 , 1.1 1$lim(1+一)x=lim(1+——)x=lim(1+——)2xx2=e2x—8 2xx—8 2xx—8 2x.若函数f(x)=j(1+x4，x<0，在x=0处连续，则k=工.x+k,x>0.函数y=；x+1，x>0的间断点是x=0.[sinx,x<0 .若limf(x)=A，则当x—x°时，f(x)-A称为XtX0x—x0 0时的无穷小量.解：y=解：y=lg上有意义

x解得1粉n<x>—或x<02x中0则定义域为卜|x<0或x>23.在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直3.在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．解：设梯形ABCD即为题中要求的梯形解：设梯形ABCD即为题中要求的梯形设高为h,即OE=h，下底CD=2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得AE=OJA2-OE2=RR2-h2则上底=2AE=2、.-R2-h2故S=2・CR+2、:R2-h2)=hQ+\,'r2-h2)4求同如主.xf0sin2xsin3x sin3x、 '3x一 X3x crccTOC\o"1-5"\h\zsin3x 3x 3x3 133解牛：lim =lim-^x =lim.。々x——一乂一=—sin2x sin2x sin2x2 122xf0sin4xxf0 X2x x_0 乙工aa2x22x.求lim x2-1x+1sin(x+1)解：limx2-1)lim(x-1)(x+ )limx--1sin(x+1) x--1sin(x+1)x--1sin(x+1)m—2.求3mtan3x1x3=1x-x3=31tan3x1x3=1x-x3=31x—0x cos3xx—03x cos3xx—0x cos3xx—03x cos3x.求limv1+x2—1x—0 sinx解：lim*'1+x解：lim*'1+x21=lim(%：1+x2—1)(V1+x2+1)二limx—0 sinx(\,1+x2+1)sinxx-0(、,；1+x2+1)sinx=limx=limx-0(<1+x2+1)0— =-f sinx—(1+1)x18求lim()x*解：lim()x=lim(1—1xx18求lim()x*解：lim()x=lim(1—1xx1[(1+—)-x]-1)x=lim(1+3)x

x=lim/Y1工[(1+x)3]3e—1—=e—4e3x2—6x+8用牛：lim =limx—4x2—5x+4 x—4(x-4)(x-2)

(x-4)(x-1)=limx-4x—1 4—1 310.设函数(x—2)2,x>1f(x)"x, —1<x<1x+1, x<—1讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间.解：分别对分段点x=-1,x=1处讨论连续性(1)

limf(x)=limx=-1x—>—1+ x—>—1+limf(x)=lim(x+1)=-1+1=0x-—1一 x—一1一(2)所以limf(x)^limf(x)，即f(x)在x=-1处不连续xT-1+ xT-(2)limf(x)=lim(x-2)2=(1-2)2=1x-t1+ x-t1+limf(x)=limf(f(1)=1xt1-所以limf(x)=limf(x)=f(1)即f(x)在x=1处连续xt1+ xt1-由(1)(2)得f(x)在除点x=-1外均连续故f(x)的连续区间为(f-1)u(Tw)

《高等数学基础》作业二第3章导数与微分(一)单项选择题1.设f(0)=1.设f(0)=0且极限lim1(X1.存在，xf0xA.C.f(0)f'(x)则lim1(X1=(C).xf0xB.fr(0)D.02.设f(x)在x0可导，则limf(xo-2入)T(x2.设f(x)在x0可导，hf0 2hB.fXx)0D——f'(B.fXx)0D——f'(x)00C.2f'(x)0.设f(x)=ex，则lim于(1+心)-f⑴=(A).TOC\o"1-5"\h\zAxf0 MA.e B.2eC1 d1c._e d.—e\o"CurrentDocument"2 4.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-99)，贝Uf，(0)=(D).A.99C.99!B.A.99C.99!D.-99!.下列结论中正确的是(C).a.若f(x)在点x有极限，则在点x可导.00b.若f(x)在点x连续，则在点x可导.00C.若f(x)在点x可导，则在点x有极限.00D.若f(x)在点x有极限，则在点x连续.00(二)填空题

.1一1•设函数f(x)」x2smx'-0，贝IJf，(0)二00,x=02•设f(ex)=e2x+5ex，则df(lnx)=至一+5.dxxx3曲线f（x）=、/x+1在（I,2）处的切线斜率是k=-24.曲线f(x)=sinx在（丁1）处的切线方程是(G5.设厂x2x,6.设y=xInx，贝Uy"（三）计算题1.求下列函数的导数y,：⑴y=(xjx+3)ex解：,3 31y'=(x2+3)ex+—x2ex⑵y=cotx+x2lnx解：y，二一csc2x+x+2xInx⑶y=三lnx解：y，二2x1nx+xln2xcosx+2xx3解：, x(一sinx+2x1n2)-3(cosx+2x)y二 x4lnx一x2sinx解：sinx(―-2x)-(Inx-x2)cosxxy= sin2xsinxi用牛：y=4x3- -cosxInxx⑺sinx+x2'八二-^―解：y'=3x(cosx+2x)一(sinx+x2)3xIn3y=extanx+Inx解：. ex 1y=extanx+ +—cos2xx2.求下列函数的导数y，：解：y，=e=1-x2⑵y=lncosx3一sinx3用牛： y= 3x2=-3x2tanx3cosx3⑶y=v'xv'xxy，二7x一18解：,1, .y=-(x+x2)3(1+-3 2⑸y=cos2ex解：y，=—exsin(2ex)⑹y=cosex2解：y'=-2xex2sinex2⑺y=sinnxcosnx解：y'=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsin(nx)⑻y=5sinx2解：y'=2xln5cosx25sinx2⑼y=esin2x解.y'=sin2xesin2x⑽y=xx2+ex2解：y'=xx2(x+2xlnx)+2xex2⑪y=xex+eexex解：y-xex(+exlnx)+ee^ex• x3.在下列方程中，y=y(x)是由方程确定的函数，求⑴ycosx=e2y解：y'cosx一ysinx=2e2yyrysinxy- cosx-2e2y⑵y=cosylnx解：y，=siny.y'Inx+cosy.—xy'=x(1y'=x(1+sinyInx)⑶2xsiny=-y解：2xcosy.y'+2siny=2yx_x2yy2x2 2yxy(2xcosy+——)= y2y22sinyy'二2xy2cosy+x2⑷y=x+Iny⑸Inx+ey=y2解■:—+eyy'=2yy'xy'二x(2y-ey)⑹y2+1=exsiny解：2yy,=excosy.y'+siny.ex,exsinyy二 2y—excosy解■:eyy'=ex一3y2y'，_exy +3y2ey⑻y=5x+2y解：y，=5xln5+yr2yIn2, 5xln5y= 1—2yln24.求下列函数的微分dy：⑴y=cotx+cscx一1cosx、［解：dy=( - )dxcos2xsin2x⑵丫二Jnxsinx

1. 1解：—sinx-Inxcosx解：dy=- dxsin2x-1-x=arcsin 1+x解：dy二——11-()2解：-(1+x)-(1-x) 1+x2 1 dx=-.' (1+x)2x(1+x)2dx两边对数得：ln3Hn(1-x)-ln(1+x)]y=-1,1-x,y=--3, ( + 331+x1-x1+x⑸y=sin2ex解：dy=2sinexex3exdx=sin(2ex)exdx⑹y=tanex3dy=sec2ex33x2dx=3x2ex3sec2xdx5.求下列函数的二阶导数:=xlnx解：=xsinx解：y，=xcosx+sinxy"=-xsinx+2cosx⑶)y=arctanx解：2Xy"=——-(1+X2)2⑷y=3x2解：y'=2x3x21n3 y”=4x23x21n23+2ln3・3x2(四)证明题设f(X)是可导的奇函数，试证f(X)是偶函数.证：因为f(x)是奇函数所以f(.X)=一f(X)两边导数得：f(-X)(-1)=-<(X)nf(-X)=f(X)所以f(x)是偶函数。《高等数学基础》作业三第4章导数的应用(一)单项选择题.若函数f(X)满足条件(D),则存在"(a,b),使得A.在(a,b)内连续B.在(a,b)内可导C.在(a,b)内连续且可导D.在［a,b］内连续，在(a,b)内可导2.函数f(x)=x2+4x-1的单调增加区间是(D).A.(-8,2)B.(-1,1)C.(2,+8) D.(-2,+8)3.函数尸X2+4X-5在区间(-6,6)内满足(A).A.先单调下降再单调上升 B.单调下降C.先单调上升再单调下降 D.单调上升4.函数f(x)满足f(x)=0的点，一定是f(x)的(C).A.间断点C.驻点B.极值点D.拐点5.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0e(a,b)，若f(x)满足(C),则f(x)在x取到极小值.

0A.f'(X)>0,f〃(x)=000C.f'(X)=0,f〃(X)>000B.f'(X)<0,f〃(X)=000D.f'(X)=0,f〃(X)<0006.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且尸(x)<0,f〃(x)<0，则f(x)在此区间内是(A).A.单调减少且是凸的 B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的 D.单调增加且是凹的(二)填空题1,设f(x)在(a,b)内可导，xg(a,b)，且当x<x时f(x)<0，当x>x时f(x)>0，则x0是f(x)的极小值点..若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f(x。)=0..函数尸in(i+x2)的单调减少区间是(一*0)..函数f(x)=ex2的单调增加区间是(0,+8).若函数f(x)在［a,b］内恒有f(x)<0，则f(x)在［a,b］上的最大值是f(a)•6•函数f(x)=2+5x-3x3的拐点是x=0•(三)计算题.求函数k(x+1)(x-5)2的单调区间和极值.令yy=(x+1)2(x+5)2=2(x—5)(x—2)n驻点x=2,x=5列表：X(列表：X(-8,2)2(2,5)5(5,+8)y'+极大极小+y上升27下降0上升极大值：f(2)=27极小值：f(5)=0.求函数y-x2-2x+3在区间［0,3］内的极值点，并求最大值和最小值．令：y'=2x-2=0 nx=1(驻点)f(。)=3 f⑶=6 f⑴=2n最大值 f(3)=6n最小值 f⑴=23求曲线y2-2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短.

解：设p(x,y)是y2=2x上的点，d为P到A点的距离，则:2(x—2)+2x-1—=0nx=1令d'=d=q(x2(x—2)+2x-1—=0nx=1令d'=2\；'(x-2)2+2x (Xx一2)2+2xy2=2x上点(1,2)到点4(2,0)的距离最短。4圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？设园柱体半径为R,高为h,则体积V=n.R2h=n(L-h2)h3令.V=兀[h(-2h)+L2—h2]=兀[L2—3h2]=0 nL=3hh h=-3-LR=11-L .•.当h=且,R=2LL时其体积最大。\'3 3Y35一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？设园柱体半径为R，高为h，则体积VV=兀R2h S =2兀Rh+2兀R2=2+2兀R2TOC\o"1-5"\h\z表面积 RV_ _V令：S'=—2VR-2+4兀R=0 n——=R3nR=3——2兀 32兀h=瓯h=3V答：当R=3：V h=3：底时表面积最大。2兀 \兀6欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底连长为x，高为h。则：62.562.5=x2h nh=x2侧面积为：S=x2+4xh=x2+受x令S'=2x—25°二0 nx3=125nx=5x2答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。(四)证明题.当x>0时，证明不等式x>ln(1+x).证：由中值定理得：1n(1+x)=吧+x)—里二，<1 (丁0)x (1+x)—1 1+,n"(I+x)<1nx>1n(1+x) (当x>0时)x.当x>0时，证明不等式ex>x+1.设/(x)=ex—(x+1)f(x)=ex—1>0 (当x>0时) n当x>0时f(x)单调上升且f(0)=0/.f(x)>0,即ex>(x+1)证毕《高等数学基础》作业四第5章不定积分第6章定积分及其应用(一)单项选择题1•若f(X)的一个原函数是1，则f(x)=(D).xD.3x3A.叫© B.-D.3x3X2 X.下列等式成立的是(D).AJff(x)dx=f(x) B.Jdf(x)=f(x)C.dJf(x)dx=f(x) D.-d-Jf(x)dx=f(x)dx3•若f(x)=cosx，贝Jf'(x)dx=(B).A.sinA.sinx+cB.cosx+cC.一C.一sinx+cD.一cosx+c4.—Jx4.—Jx2f(x3)dx=(dxB)．A.f(x3) B.x2f(x3) C.3f(x) D.3f(x3)5•若Jf(x)dx=F(x)+c，则J上f(r)dx=(B).xA.FQ：x)+cC.F(2vxC.F(2vx)+cD.1JxF(%：x)+c6.由区间［〃,b］上的两条光滑曲线y=f(x)和y=g(x)以及两条直线x=a和x=b所围成的平面区域的面积是(C).A.Jb[f(x)-g(x)]dxa

B.Jb[g(x)-f(x)]dxaC.Jbf(x)-g(x)|dxa(二)填空题D.1•函数f(x)的不定积分是Jf(x)dx.Jb[f(x)-g(x)]dxa2.若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式 F(x)-G(x)=c(常数)•3.dJex2dx=ex24」(tanx)fdx=tanx+c5若Jf(x)dx=cos3x+c，则Uf'(x)=-9cos(3x).J3(sin5x+2)dx=3.若无穷积分J+s±dx收敛，则p>0ixp (三)计算题1cos 1•J -dx=-Jcos—x2 xx1=-sin—+cx2JeXdx=2Jexdvx=2ex、,；x3J，dx二

xInx1d(Inx)=ln(lnx)+cInx4Jxsin2xdx=-1xcos2x+1