八年级数学人教版（上册）第1课时 等边三角形的性质与判定

13.3.2等边三角形第十三章轴对称第1课时等边三角形的性质与判定目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点学习重点学习难点理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法探索等边三角形的性质和判定能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明

学习目标新课导入下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？情景引入新课导入小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？问题引入新课导入等腰三角形等边三角形一般三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.新课导入名称图形定义性质

判定等腰三角形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形温故而知新讲授新课典例精讲归纳总结讲授新课等边三角形的性质类比探究ABCABC问题1等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C内角和为180°=60°讲授新课结论：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB=AC=BC，

求证：∠A=∠B=∠C=60°.

证明：∵AB=AC.∴∠B=∠C.(等边对等角)

同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.讲授新课ABCABC问题2

等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一一条对称轴三条对称轴讲授新课图形等腰三角形

性质

每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，对称轴（3条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60º两条边相等三条边都相等知识要点讲授新课

如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.例题讲授新课方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.讲授新课如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．练一练讲授新课△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM

＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.例题讲授新课方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.讲授新课类比探究等边三角形的判定图形等腰三角形判定

三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.讲授新课三边都相等的三角形是等边三角形.∵AB=BC=AC∴△ABC是等边三角形等边三角形的判定方法：归纳总结讲授新课三个角都相等的三角形是等边三角形.∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形∵∠A=60°，AB=BC∴△ABC是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.讲授新课辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是讲授新课例题

如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,求证：△ADE是等边三角形.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？讲授新课

证明：∵

△ABC是等边三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴

∠A=∠ADE=∠AED.∴

△ADE是等边三角形.变式1若点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？ADEBC讲授新课变式2若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？

证明：∵

△ABC是等边三角形，

∴

∠BAC=∠B=∠C=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠B=∠D，∠C=∠E．

∴

∠EAD=∠D=∠E．

∴

△ADE是等边三角形．ADEBC讲授新课变式3上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.讲授新课例题

如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，证明：

△ADE是等边三角形．讲授新课导引：从题中条件看用“HL”证明△ABD≌△ACE，可得AD

＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，因此用判定定理2证

△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，BD⊥AC.∵AE⊥EC，∴∠BDA＝∠CEA＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACE中，AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠EAD＝∠BAD＝60°，

∴△ADE是等边三角形．讲授新课变式

等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．讲授新课方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.讲授新课如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．练一练当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习

2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A.4个

B.5个C.6个

D.7个DACBDEO1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°B当堂练习3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是

cm.ACBDE12B当堂练习5.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的

三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(

)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④D当堂练习6.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，

△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于

点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①

△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；

④MB平分∠AMC，其中结论正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个D当堂练习7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△