八年级数学人教版（上册）第2课时 含30°角的直角三角形的性质

13.3.2等边三角形第十三章轴对称第2课时含30°角的直角三角形的性质目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点学习重点学习难点运用等边三角形能推导出30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质及应用会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算学习目标新课导入问题引入问题1

如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ACB新课导入问题2

将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？讲授新课典例精讲归纳总结讲授新课含30°角的直角三角形的性质性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你还能用其他方法证明吗？讲授新课证法1证明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD

是等边三角形．又∵AC⊥BD,已知：如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD

证明方法：倍长法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

讲授新课EABC在BA上截取BE=BC，连接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

证明方法：截半法证法2讲授新课知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

讲授新课√判断下列说法是否正确：1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．

2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。

3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。

4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．讲授新课

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.例题讲授新课

如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.EC例题讲授新课方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．讲授新课

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例题讲授新课在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.讲授新课方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．讲授新课例题想一想：图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？

如图是屋架设计图的一部分，点D

是斜梁AB的中点，立柱BC，DE

垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多长？ABCDE讲授新课ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.讲授新课例题

已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.讲授新课方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.讲授新课例题

如图，某货轮于上午8时20分从A处出发，此时观测到

海岛B的方位为北偏东60°，该货轮以每小时30海里

的速度向东航行到C处，此时观测到海岛B的方位为北

偏东30°，继续向东航行到D处，观测到海岛B的方位

为北偏西30°.当货轮到达C处时恰好与海岛B相距60海

里，求该货轮到达C，D处的时间．讲授新课导引：说明△ABC是等腰三角形及△BCD是等边

三角形是解决本题的关键．解：由已知，得∠BAC＝90°－60°＝30°，

∠ACB＝90°＋30°＝120°，

∠BCD＝∠BDC＝60°，

∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°，

∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝30°，

∴AC＝BC＝60海里，

∴货轮从A处到C处所需时间为60÷30＝2(小时)．讲授新课∵∠CBD＝∠BCD＝∠BDC

＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BC＝60海里，∴货轮从C处到D处所需时间为60÷30＝2(小时)，∴货轮从A处到D处所需时间为2＋2＝4(小时)．答：该货轮到达C处的时间是上午10时20分，到达D处的时间是中午12时20分．讲授新课总

结本题运用建模思想，把实际问题转化为等边三角形和等腰三角形模型，从而利用等边三角形、等腰三角形及方位角的有关知识解决问题．当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，则AB等于(

)A．6cmB．7cmC．8cm

D．9cmC当堂练习2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(

)A．BD＝CD

B．BD＝2CDC．BD＝3CD

D．BD＝4CDB当堂练习3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米B当堂练习4.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元B当堂练习5.如图，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，∠A=30°，AB=4．则BD=

.A

B

C

D

1当堂练习6.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC

=

.57.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______.ACB8当堂练习8.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．当堂练习9.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=