2025届高考数学一轮总复习课时作业65坐标系含解析苏教版VIP

PAGEPAGE4课时作业65坐标系1．(2024·江苏卷)在极坐标系中，已知两点A(3，eq\f(π,4))，B(eq\r(2)，eq\f(π,2))，直线l的方程为ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝3.(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离．解：(1)设极点为O.在△OAB中，A(3，eq\f(π,4)，B(eq\r(2)，eq\f(π,2))，由余弦定理，得AB＝eq\r(32＋\r(2)2－2×3×\r(2)×cos\f(π,2)－\f(π,4))＝eq\r(5).(2)因为直线l的方程为ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝3，则直线l过点(3eq\r(2)，eq\f(π,2))，倾斜角为eq\f(3π,4).又B(eq\r(2)，eq\f(π,2))，所以点B到直线l的距离为(3eq\r(2)－eq\r(2))×sin(eq\f(3π,4)－eq\f(π,2))＝2.2．(2024·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(eq\r(2)，eq\f(π,4))，C(eq\r(2)，eq\f(3π,4))，D(2，π)，弧eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))，eq\o\ac(BC,\s\up15(︵))，eq\o\ac(CD,\s\up15(︵))所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，eq\f(π,2))，(1，π)，曲线M1是弧eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))，曲线M2是弧eq\o\ac(BC,\s\up15(︵))，曲线M3是弧eq\o\ac(CD,\s\up15(︵)).(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝eq\r(3)，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))，eq\o\ac(BC,\s\up15(︵))，eq\o\ac(CD,\s\up15(︵))所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ(0≤θ≤eq\f(π,4))，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ(eq\f(π,4)≤θ≤eq\f(3π,4))，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ(eq\f(3π,4)≤θ≤π)．(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤eq\f(π,4)，则2cosθ＝eq\r(3)，解得θ＝eq\f(π,6)；若eq\f(π,4)≤θ≤eq\f(3π,4)，则2sinθ＝eq\r(3)，解得θ＝eq\f(π,3)或θ＝eq\f(2π,3)；若eq\f(3π,4)≤θ≤π，则－2cosθ＝eq\r(3)，解得θ＝eq\f(5π,6).综上，P的极坐标为(eq\r(3)，eq\f(π,6))或(eq\r(3)，eq\f(π,3))或(eq\r(3)，eq\f(2π,3))或(eq\r(3)，eq\f(5π,6))．3．(2024·贵州省适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数，t≥0)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2，C3的极坐标方程分别为ρ2－2ρcosθ－eq\f(4,5)＝0，ρ(cosθ＋sinθ)＝eq\f(7,5).(1)推断C2，C3的位置关系，并说明理由；(2)若tanα＝eq\f(3,4)(0≤α<π)，C1分别与C2，C3交于M，N两点，求|MN|.解：(1)由C2：ρ2－2ρcosθ－eq\f(4,5)＝0，可得x2＋y2－2x－eq\f(4,5)＝0，即C2是圆心为(1,0)，半径为eq\f(3\r(5),5)的圆．由C3：ρ(cosθ＋sinθ)＝eq\f(7,5)可得x＋y－eq\f(7,5)＝0，即C3是一条直线，圆C2的圆心(1,0)到直线C3的距离d＝eq\f(|1＋0－\f(7,5)|,\r(2))＝eq\f(\r(2),5)<eq\f(3\r(5),5)，即d<r，所以圆C2与直线C3相交．(2)由tanα＝eq\f(3,4)(0≤α≤π)，得sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ＝αρ≥0，,ρ2－2ρcosθ－\f(4,5)＝0))得ρ2－eq\f(8,5)ρ－eq\f(4,5)＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝－eq\f(2,5)(舍去)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ＝αρ≥0，,ρcosθ＋sinθ＝\f(7,5)))得ρ(eq\f(3,5)＋eq\f(4,5))＝eq\f(7,5)，解得ρ3＝1，由|MN|＝|ρ1－ρ3|＝1.4．(2024·福州市模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数，α为l的倾斜角)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ＝4sinθ，直线θ＝β，θ＝β＋eq\f(π,3)，θ＝β－eq\f(π,3)(ρ∈R)与曲线E分别交于不同于极点O的三点A，B，C.(1)若eq\f(π,3)<β<eq\f(2π,3)，求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；(2)当β＝eq\f(5π,6)时，直线l过B，C两点，求y0与α的值．解：(1)依题意，|OA|＝|4sinβ|，|OB|＝|4sin(β＋eq\f(π,3))|，|OC|＝|4sin(β－eq\f(π,3))|，∵eq\f(π,3)<β<eq\f(2π,3)，∴|OB|＋|OC|＝4sin(β＋eq\f(π,3))＋4sin(β－eq\f(π,3))＝4sinβ＝|OA|.(2)当β＝eq\f(5π,6)时，直线θ＝β＋eq\f(π,3)与曲线E的交点B的极坐标为(2，eq\f(π,6))，直线θ＝β－eq\f(π,3)与曲线E的交点C的极坐标为(4，eq\f(π,2))，从而，B，C两点的直角坐标分别为B(eq\r(3)，1)，C(0,4)，∴直线l的方程为y＝－eq\r(3)x＋4，∴y0＝1，α＝eq\f(2π,3).5．(2024·合肥市一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝sinα))(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)求C1，C2交点的直角坐标；(2)设点A的极坐标为(4，eq\f(π,3))，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．解：(1)C1：x2＋y2＝1，C2：ρ＝2cosθ，则ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x.联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x2＋y2＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(1,2)，,y1＝\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,2)，,y2＝－\f(\r(3),2)，))∴所求交点的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))．(2)设B(ρ，θ)，则ρ＝2cosθ，∴△AOB的面积S＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|·sin∠AOB＝eq\f(1,2)·|4ρsin(eq\f(π,3)－θ)|＝|4cosθsin(eq\f(π,3)－θ)|＝|2cos(2θ＋eq\f(π,6))＋eq\r(3)|，∴当θ＝eq\f(11π,12)时，Smax＝2＋eq\r(3).6．(2024·石家庄市检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosα＋2，,y＝rsinα))(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝eq\f(π,3).(1)求曲线C的极坐标方程；(2)当0<r<2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求eq\f(1,|OA|)＋eq\f(1,|OB|)的取值范围．解：(1)由题意知曲线C的一般方程为(x－2)2＋y2＝r2，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，化简得ρ2－4ρcosθ＋4－r2＝0.(2)解法1：把θ＝eq\f(π,3)代入曲线C的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0.令Δ＝4－4(4－r2)>0，结合0<r<2，得3<r2<4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A，B的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r2>0，∴eq\f(1,|OA|)＋eq\f(1,|OB|)＝eq\f(1,ρ1)＋eq\f(1,ρ2)＝eq\f(ρ1＋ρ2,ρ1p2)＝eq\f(2,4－r2).∵3<r2<4，∴0<4－r2<1，∴eq\f(1,|OA|)＋eq\f(1,|OB|)∈(2，＋∞)．解法2：射线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数，t≥0)，将其代入曲线C的方程(x－2)2＋y2＝r2中得，t2－2t＋4－r2＝0，令Δ＝4－4