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PAGEPAGE4课时作业65坐标系1.(2024·江苏卷)在极坐标系中,已知两点A(3,eq\f(π,4)),B(eq\r(2),eq\f(π,2)),直线l的方程为ρsin(θ+eq\f(π,4))=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.解:(1)设极点为O.在△OAB中,A(3,eq\f(π,4),B(eq\r(2),eq\f(π,2)),由余弦定理,得AB=eq\r(32+\r(2)2-2×3×\r(2)×cos\f(π,2)-\f(π,4))=eq\r(5).(2)因为直线l的方程为ρsin(θ+eq\f(π,4))=3,则直线l过点(3eq\r(2),eq\f(π,2)),倾斜角为eq\f(3π,4).又B(eq\r(2),eq\f(π,2)),所以点B到直线l的距离为(3eq\r(2)-eq\r(2))×sin(eq\f(3π,4)-eq\f(π,2))=2.2.(2024·全国卷Ⅲ)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(eq\r(2),eq\f(π,4)),C(eq\r(2),eq\f(3π,4)),D(2,π),弧eq\o\ac(AB,\s\up15(︵)),eq\o\ac(BC,\s\up15(︵)),eq\o\ac(CD,\s\up15(︵))所在圆的圆心分别是(1,0),(1,eq\f(π,2)),(1,π),曲线M1是弧eq\o\ac(AB,\s\up15(︵)),曲线M2是弧eq\o\ac(BC,\s\up15(︵)),曲线M3是弧eq\o\ac(CD,\s\up15(︵)).(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=eq\r(3),求P的极坐标.解:(1)由题设可得,弧eq\o\ac(AB,\s\up15(︵)),eq\o\ac(BC,\s\up15(︵)),eq\o\ac(CD,\s\up15(︵))所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ(0≤θ≤eq\f(π,4)),M2的极坐标方程为ρ=2sinθ(eq\f(π,4)≤θ≤eq\f(3π,4)),M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ(eq\f(3π,4)≤θ≤π).(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知:若0≤θ≤eq\f(π,4),则2cosθ=eq\r(3),解得θ=eq\f(π,6);若eq\f(π,4)≤θ≤eq\f(3π,4),则2sinθ=eq\r(3),解得θ=eq\f(π,3)或θ=eq\f(2π,3);若eq\f(3π,4)≤θ≤π,则-2cosθ=eq\r(3),解得θ=eq\f(5π,6).综上,P的极坐标为(eq\r(3),eq\f(π,6))或(eq\r(3),eq\f(π,3))或(eq\r(3),eq\f(2π,3))或(eq\r(3),eq\f(5π,6)).3.(2024·贵州省适应性考试)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=tcosα,,y=tsinα))(t为参数,t≥0).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2,C3的极坐标方程分别为ρ2-2ρcosθ-eq\f(4,5)=0,ρ(cosθ+sinθ)=eq\f(7,5).(1)推断C2,C3的位置关系,并说明理由;(2)若tanα=eq\f(3,4)(0≤α<π),C1分别与C2,C3交于M,N两点,求|MN|.解:(1)由C2:ρ2-2ρcosθ-eq\f(4,5)=0,可得x2+y2-2x-eq\f(4,5)=0,即C2是圆心为(1,0),半径为eq\f(3\r(5),5)的圆.由C3:ρ(cosθ+sinθ)=eq\f(7,5)可得x+y-eq\f(7,5)=0,即C3是一条直线,圆C2的圆心(1,0)到直线C3的距离d=eq\f(|1+0-\f(7,5)|,\r(2))=eq\f(\r(2),5)<eq\f(3\r(5),5),即d<r,所以圆C2与直线C3相交.(2)由tanα=eq\f(3,4)(0≤α≤π),得sinα=eq\f(3,5),cosα=eq\f(4,5),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ=αρ≥0,,ρ2-2ρcosθ-\f(4,5)=0))得ρ2-eq\f(8,5)ρ-eq\f(4,5)=0,解得ρ1=2,ρ2=-eq\f(2,5)(舍去),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ=αρ≥0,,ρcosθ+sinθ=\f(7,5)))得ρ(eq\f(3,5)+eq\f(4,5))=eq\f(7,5),解得ρ3=1,由|MN|=|ρ1-ρ3|=1.4.(2024·福州市模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\r(3)+tcosα,,y=y0+tsinα))(t为参数,α为l的倾斜角),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为ρ=4sinθ,直线θ=β,θ=β+eq\f(π,3),θ=β-eq\f(π,3)(ρ∈R)与曲线E分别交于不同于极点O的三点A,B,C.(1)若eq\f(π,3)<β<eq\f(2π,3),求证:|OB|+|OC|=|OA|;(2)当β=eq\f(5π,6)时,直线l过B,C两点,求y0与α的值.解:(1)依题意,|OA|=|4sinβ|,|OB|=|4sin(β+eq\f(π,3))|,|OC|=|4sin(β-eq\f(π,3))|,∵eq\f(π,3)<β<eq\f(2π,3),∴|OB|+|OC|=4sin(β+eq\f(π,3))+4sin(β-eq\f(π,3))=4sinβ=|OA|.(2)当β=eq\f(5π,6)时,直线θ=β+eq\f(π,3)与曲线E的交点B的极坐标为(2,eq\f(π,6)),直线θ=β-eq\f(π,3)与曲线E的交点C的极坐标为(4,eq\f(π,2)),从而,B,C两点的直角坐标分别为B(eq\r(3),1),C(0,4),∴直线l的方程为y=-eq\r(3)x+4,∴y0=1,α=eq\f(2π,3).5.(2024·合肥市一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=cosα,,y=sinα))(α为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)求C1,C2交点的直角坐标;(2)设点A的极坐标为(4,eq\f(π,3)),点B是曲线C2上的点,求△AOB面积的最大值.解:(1)C1:x2+y2=1,C2:ρ=2cosθ,则ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x.联立,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2=1,,x2+y2=2x,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1=\f(1,2),,y1=\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2=\f(1,2),,y2=-\f(\r(3),2),))∴所求交点的坐标为(eq\f(1,2),eq\f(\r(3),2)),(eq\f(1,2),-eq\f(\r(3),2)).(2)设B(ρ,θ),则ρ=2cosθ,∴△AOB的面积S=eq\f(1,2)·|OA|·|OB|·sin∠AOB=eq\f(1,2)·|4ρsin(eq\f(π,3)-θ)|=|4cosθsin(eq\f(π,3)-θ)|=|2cos(2θ+eq\f(π,6))+eq\r(3)|,∴当θ=eq\f(11π,12)时,Smax=2+eq\r(3).6.(2024·石家庄市检测)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=rcosα+2,,y=rsinα))(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l的极坐标方程为θ=eq\f(π,3).(1)求曲线C的极坐标方程;(2)当0<r<2时,若曲线C与射线l交于A,B两点,求eq\f(1,|OA|)+eq\f(1,|OB|)的取值范围.解:(1)由题意知曲线C的一般方程为(x-2)2+y2=r2,令x=ρcosθ,y=ρsinθ,化简得ρ2-4ρcosθ+4-r2=0.(2)解法1:把θ=eq\f(π,3)代入曲线C的极坐标方程中,得ρ2-2ρ+4-r2=0.令Δ=4-4(4-r2)>0,结合0<r<2,得3<r2<4.方程的解ρ1,ρ2分别为点A,B的极径,ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=4-r2>0,∴eq\f(1,|OA|)+eq\f(1,|OB|)=eq\f(1,ρ1)+eq\f(1,ρ2)=eq\f(ρ1+ρ2,ρ1p2)=eq\f(2,4-r2).∵3<r2<4,∴0<4-r2<1,∴eq\f(1,|OA|)+eq\f(1,|OB|)∈(2,+∞).解法2:射线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(1,2)t,,y=\f(\r(3),2)t))(t为参数,t≥0),将其代入曲线C的方程(x-2)2+y2=r2中得,t2-2t+4-r2=0,令Δ=4-4

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