河北省张家口市张垣联盟2024-2025学年高二数学上学期阶段检测试题含解析

PAGE河北省张家口市张垣联盟2024-2025学年高二数学上学期阶段检测试题（含解析）留意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.2.考试时间为120分钟，满分150分.3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.4.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，动点P满意，当分别为4和12时，点P的轨迹分别为（）A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】【分析】依据以及，结合双曲线的定义对点的轨迹进行推断即可.【详解】由题意，得当时，，可知点P的轨迹为双曲线左支；当时，，可知点P的轨迹为以为端点的一条射线.故选：C2.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】即,故抛物线焦点在轴上,,焦点纵坐标为.故焦点坐标故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点坐标,须要将抛物线化成标准形式再推断,属于基础题.3.双曲线的左焦点到双曲线的渐近线的距离为（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先求出左焦点坐标和双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离可得答案.【详解】，其中，所以，，左焦点为，渐近线的方程为，所以左焦点到直线的距离为.故选：A4.已知椭圆，圆过椭圆的上顶点，则椭圆离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于圆过椭圆的上顶点，则，故离心率可求.【详解】圆过椭圆的上顶点，则，所以，，故选：B5.已知双曲线的一条渐近线方程，且过点，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由渐近线为可得，再将点坐标代入可得，联立求解可得答案.【详解】双曲线的渐近线方程为由双曲线的一条渐近线方程所以，又双曲线过点，则两式联立解得：故选：A6.已知椭圆的上、下焦点分别为、，为上的随意一点，则的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据求出的取值范围，可求得的取值范围，进而结合集合的包含关系可得出结论.【详解】在椭圆中，，，，可得，因此，的一个充分不必要条件是.故选：D.7.设P是椭圆上一点，分别是圆：和上的一动点，则的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点距离之和为定值，再依据圆外一点到圆上点距离的最小值为点到圆心距离减去半径即可求解.【详解】椭圆的两个焦点坐标为且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等且等于1，则由椭圆的定义可得故椭圆上动点与焦点连线与圆相交于,时，最小，所以.故选：B8.已知抛物线的焦点为为该抛物线上一点，若以M为圆心的圆与C的准线相切于点，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点M作轴于B，利用抛物线定义得到，在Rt△MBF中，利用边长关系求出p,得到抛物线的方程【详解】过点M作轴于B.由题可知.因为，所以，在Rt△MBF中，∵，∴即，解得抛物线方程为.故选B.【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，依据题意画出图形，借助于图形找寻几何关系可以简化运算．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知双曲线，则（）A.C的焦距为 B.C的虚轴长是实轴长的倍C.双曲线与C的渐近线相同 D.直线上存在一点在C上【答案】BC【解析】【分析】多项选择题须要对选项一一验证．对于A：干脆求焦距；对于B：求出实轴长和虚轴长；对于C：求出两个渐近线比较；对于D：推断直线与双曲线位置关系即可.【详解】因为，所以，则，所以A错误，B正确；与C的渐近线均为，C正确；C的渐近线的斜率小于2，所以直线与C相离，所以D错误.故选：BC.10.下列叙述正确的是（）A.点在圆外B.圆在处的切线方程为C.圆上有且仅有3个点到直线的距离等于D.曲线与曲线相切【答案】ABC【解析】【分析】A.求得点P与圆心的距离与圆的半径比较推断；B.先求得圆心与点连线的斜率，再写出在处的切线方程推断；C.求得圆心到直线的距离推断；D.干脆利用两圆的位置关系推断.【详解】A.点P与圆心的距离为，所以点P在圆外，故正确；B.圆心与点连线的斜率为，所以在处的切线方程为，即，故正确；C.圆心到直线的距离为，故圆上有三个点到直线的距离等于，故正确；D.的圆心为半径为的圆心为半径为，所以两圆相交，故错误.故选：ABC11.以下四个命题表述正确的是（）A.直线恒过定点B.已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为C.，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件D.直线的距离为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，求出直线所过定点即可推断，对于B，漏掉了过原点的直线，对于C，两条直线垂直求出的值有2个，对于D，求出两条平行线的距离可推断.【详解】对于A，，即，直线恒过与的交点，解得，恒过定点，A正确；对于B，直线过点，在轴上截距相等，当截距不为0时为，截距为0时为，故B错误；对于C，由题意，“直线与直线垂直”则，解得或，所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，C正确；对于D，直线的距离为，故D正确；故选：ACD12.已知抛物线的焦点为F，过点F倾斜角为的直线与抛物线C交于两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于D，则以下结论正确的是（）A. B.F为的中点 C. D.【答案】AB【解析】【分析】过点作抛物线C的准线m的垂线，结合抛物线定义，易得为正三角形，然后再依据条件逐项求解推断.【详解】如图，分别过点作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点，抛物线的准线m与x轴交于点P，则，因为直线的倾斜角为，轴，由抛物线定义可知，，则为正三角形，所以，则，所以，故A正确；，所以点F为的中点，故B正确；因为，所以，所以，，故C错误，，故D错误故选：AB第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则____________.【答案】【解析】【分析】依据全称命题的命题为特称命题，可得答案.【详解】命题为全称命题.由全称命题的命题为特称命题，所以.故答案为：14.若实数，满意不等式组，则的最大值为____________.【答案】5【解析】【分析】由题意首先画出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数几何意义可知目标函数在点C处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故答案为5．【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15.设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于两点，则__________.【答案】32【解析】【分析】先求出AB的方程，再用“设而不求法”和弦长公式求弦长.【详解】∵F为抛物线的焦点，所以F（4，0）由过F且倾斜角为的直线交C于两点，可设直线设，，则：消去y得：∴∴即弦长故答案：32【点睛】"设而不求"是一种在解析几何中常见解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.16.已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________.【答案】【解析】【分析】先求出椭圆的长半轴长以及半焦距长，再由双曲线和椭圆的定义求出的长度，利用余弦定理即可求解.【详解】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为，依据椭圆及双曲线的定义：，所以，，由余弦定理可得，，整理得，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，正确解题的关键是要娴熟驾驭椭圆及双曲线的定义，留意在三角形中建立等量关系式.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①，且的右支上随意一点到左焦点的距离的最小值为，②的焦距为，③上一点到两焦点距离之差的肯定值为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.问题：已知双曲线，___________，求的方程.注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案详见解析【解析】【分析】若选①，则可通过双曲线方程得出、，然后依据的右支上随意一点到左焦点的距离的最小值为求出，即可得出结果；若选②：可分为、两种状况进行探讨，通过双曲线方程以及焦距为求出的值，即可得出结果；若选③：可分为、两种状况进行探讨，通过双曲线方程以及上一点到两焦点距离之差的肯定值为求出的值，即可得出结果.【详解】选①：因为，所以，，，则，，因为的右支上随意一点到左焦点的距离的最小值为，所以，解得，的方程为.选②：若，则，，，，因为的焦距为，所以，，的方程为；若，则，，，，因为的焦距为，所以，，的方程为，综上所述，的方程为或.选③：若，则，，因为上一点到两焦点距离之差的肯定值为，所以，，的方程为；若，则，，因为上一点到两焦点距离之差的肯定值为，所以，，的方程为，综上所述，的方程为或.18.已知集合且.（1）若“命题”是真命题，求m的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化简集合，再依据P为真，由，且求解..（2）依据是的充分不必要条件，由B是A的真子集，且求解.【详解】解得，则，（1），；由p为真，则，或或，.（2）因为是的充分不必要条件，所以B是A的真子集，且所以，解得19.已知圆，动圆N与圆M外切，且与直线相切.（1）求动圆圆心N的轨迹C的方程；（2）过（1）中的轨迹C上的点作两条直线分别与轨迹C相交于两点，摸索究：当直线的斜率存在且倾角互补时，直线的斜率是否为定值？若是，求出这个值，若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）为定值，1.【解析】【分析】（1）由题意分析点N的轨迹C为抛物线，写出轨迹方程；（2）用“点差法”表示出，用“设而不求法”分别表示出，求出.【详解】（1）设动圆N的半径为，因动圆N与相切，所以点N到直线的距离.因动圆N与圆M相外切因为，因为表示点N到直线的距离，所以N到直线的距离等于N到的距离，由抛物线的定义可知，N的轨迹C为抛物线，C的方程为；（2）由题知，两式相减得，所以，设直线的斜率为k，则直线的斜率为，所以，，则由得，所以同理，，故直线的斜率为定值1.【点睛】（1）求二次曲线的标准方程通常用待定系数法、代入法、定义法等；（2）“中点弦”问题通常用“点差法”处理；（3）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.20.如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面分别为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）记的中点为，连接，通过证明，且推出四边形为平行四边形，则，由线线平行推出线面平行；（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，代入即可求得二面角的余弦值从而求余弦值.【详解】（1）证明：记的中点为G，连接.因为分别为的中点，则，且.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，则.又平面平面，所以平面（2）以C为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则令，则设平面的法向量为，则令，则，即二面角的余弦值为【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，须要留意以下问题：(1)求解本题要留意两点：一是两平面的法向量的夹角不肯定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要仔细细心，精确计算．(2)设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时肯定要留意结合实际图形推断所求角是锐角还是钝角．21.如图所示，圆C的圆心在直线上且与x轴正半轴相切，与y轴正半轴相交于两点（点M在点N的下方），且.（1）求圆C的方程；（2）过点M随意作一条直线与椭圆相交于两点，连接，摸索究与的关系，并给出证明.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）依据圆心在直线上，设圆心C的坐标为，再由圆C与x轴正半轴相切，得到圆C的半径，然后由求解.（2）先令求得M的坐标，由轴时易得，当与x轴不垂直，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理，论证即可.【详解】（1）设圆心C的坐标为，因为圆C与x轴正半轴相切