2024秋新教材高中数学课时跟踪检测二向量的加法运算新人教A版必修第二册

PAGEPAGE2向量的加法运算层级(一)“四基”落实练1．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，则四边形ABCD是 ()A．梯形 B．矩形C．正方形 D．平行四边形解析：选D由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．故选D.2．(多选)对于随意一个四边形ABCD，下列式子能化简为eq\o(BC,\s\up7(→))的是 ()A．eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)) B．eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)) D．eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))解析：选ABD在A中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))；在B中，eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))；在C中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))；在D中，eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→)).3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DO,\s\up7(→))＝ ()A．eq\o(CD,\s\up7(→)) B．eq\o(DC,\s\up7(→)) C．eq\o(DA,\s\up7(→)) D．eq\o(DO,\s\up7(→))解析：选Beq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DO,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).4．若向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行eq\r(3)km”，则向量a＋b表示 ()A．向东北方向航行2kmB．向北偏东30°方向航行2kmC．向北偏东60°方向航行2kmD．向东北方向航行(1＋eq\r(3))km解析：选B如图，易知tanα＝eq\f(1,\r(3))，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2km，故选B.5．(多选)下列命题是假命题的是 ()A．假如非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同B．△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0C．若eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|肯定相等解析：选ACDA是假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；B是真命题；C是假命题，当A，B，C三点共线时也可以有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0；D是假命题，只有当a与b同向时，两式子相等，其他状况均为|a＋b|<|a|＋|b|.6．如图，在平行四边形ABCD中，eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝________，eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝________，eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝________.解析：利用三角形法则和平行四边形法则求解．答案：eq\o(AC,\s\up7(→))eq\o(AC,\s\up7(→))eq\o(BC,\s\up7(→))(或eq\o(AD,\s\up7(→)))7．在矩形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝4，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2，则向量eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))的长度为________．解析：因为eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))的长度为eq\o(AC,\s\up7(→))的模的2倍．又|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以向量eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))的长度为4eq\r(5).答案：4eq\r(5)8．已知向量a，b，c（1）如图①，求作向量a＋b；（2）如图②,求作向量a＋b＋c；解：(1)在平面内随意取一点O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up7(→))＝a＋b.(2)在平面内随意取一点O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，则eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b＋c.层级(二)实力提升练 1．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满意eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(PC,\s\up7(→))，则下列结论中正确的是 ()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选Deq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(PC,\s\up7(→))，依据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．故选D.2．(多选)若a＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))＋(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→)))，b是任一非零向量，则在下列结论中正确的是 ()A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|解析：选AC∵a＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0eq\a\vs4\al(＋)b＝b，即B错，C对；D中|0eq\a\vs4\al(＋)b|＝|b|＝|0|eq\a\vs4\al(＋)|b|，即D错．3．若向量a，b满意|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________．解析：由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4.答案：44.如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12N．求F1和F2的合力大小．解：如图，依据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝eq\o(OC,\s\up7(→)).在△OCA中，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝24，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝12，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°，∴|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝12eq\r(3).∴F1与F2的合力大小为12eq\r(3)N，方向为与F2成90°角竖直向上．5.如图，已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：(1)eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))；(2)eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→)).解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量eq\o(AF,\s\up7(→))即为所求．(2)在AB上取点G，使AG＝eq\f(1,3)AB，则向量eq\o(BG,\s\up7(→))即为所求．层级(三)素养培优练在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝1，eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝0，cos∠DAB＝eq\f(1,2).求|eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|与|eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|的值．解：∵eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(CO,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→)).∴四边形ABCD是平行四边形．又|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝1，∴四边形ABCD为菱形．又cos∠DAB＝eq\f(1,2)，0°