2024年九年级数学下册28锐角三角函数小专题七构造基本图形解直角三角形的应用题检测题含解析新版新人教版

小专题(七)构造基本图形解直角三角形的应用题类型1构造单始终角三角形1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，∠B为36°，斜边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝AB·sinA＝2.1×sin54°≈1.701(m)，∴CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．类型2母子三角形2．(重庆中考)如图，小王在长江边某眺望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(A)A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米3．(长沙中考)为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，接着航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．(1)求∠APB的度数；(2)已知在灯塔P的四周25海里内有暗礁，问海监船接着向正东方向航行是否平安？解：(1)在△APB中，∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°－30°－120°＝30°.(2)过点P作PH⊥AB于点H.在Rt△APH中，∠PAH＝30°，AH＝eq\r(3)PH.在Rt△BPH中，∠PBH＝60°，BH＝eq\f(\r(3),3)PH.∴AB＝AH－BH＝eq\f(2\r(3),3)PH＝50.∴PH＝25eq\r(3)＞25.∴海监船接着向正东方向航行仍旧平安．类型3背靠背三角形4．(天津中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长．(结果取整数，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，eq\r(2)取1.414)解：过点P作PC⊥AB，垂足为C.由题意可知，∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120.在Rt△APC中，sinA＝eq\f(PC,PA)，cosA＝eq\f(AC,PA)，∴PC＝PA·sinA＝120×sin64°.AC＝PA·cosA＝120×cos64°.在Rt△BPC中，sinB＝eq\f(PC,BP)，tanB＝eq\f(PC,BC)，∴BP＝eq\f(PC,sinB)＝eq\f(120×sin64°,sin45°)≈eq\f(120×0.90,\f(\r(2),2))≈153.BC＝eq\f(PC,tanB)＝eq\f(PC,tan45°)＝PC＝120×sin64°.∴BA＝BC＋AC＝120×sin64°＋120×cos64°≈120×0.90＋120×0.44≈161.答：BP的长约为153海里，BA的长约为161海里．5．(宜宾中考)如图，某市对位于笔直马路AC上两个小区A，B的供水路途进行优化改造．供水站M在笔直马路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间距离为300(eq\r(3)＋1)米．求供水站M分别到小区A，B的距离．(结果可保留根号)解：作ME⊥AB，垂足为E.设ME＝x米．在Rt△AME中，∠MAE＝90°－60°＝30°，∴AM＝2ME＝2x,AE＝eq\f(ME,tan30°)＝eq\r(3)x.在Rt△BME中，∠MBE＝90°－45°＝45°，∴ME＝EB＝x，MB＝eq\r(2)x.∵AE＋BE＝AB＝300(eq\r(3)＋1)，即eq\r(3)x＋x＝300(eq\r(3)＋1)，解得x＝300.∴AM＝2ME＝2x＝600，MB＝eq\r(2)x＝300eq\r(2).答：供水站M到小区A，B的距离分别是600米、300eq\r(2)米．6．(德州中考)如图所示，某马路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离马路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒．已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B，C之间的距离；(保留根号)(2)假如此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：eq\r(3)≈1.7，eq\r(2)≈1，4)解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝10m.∵在Rt△ACD中，∠C＝45°，∴CD＝AD＝10m.在Rt△ABD中，tanB＝eq\f(AD,BD)，∵∠B＝30°，∴eq\f(\r(3),3)＝eq\f(10,BD).∴BD＝10eq\r(3)m.∴BC＝BD＋DC＝(10eq\r(3)＋10)m.答：B，C之间的距离是(10eq\r(3)＋10)m.(2)这辆汽车超速，理由如下：由(1)知BC＝(10eq\r(3)＋10)m≈27m.∴汽车速度为eq\f(27,0.9)＝30(m/s)＝108km/h.∵108＞80，∴这辆汽车超速．类型4与梯形有关的解直角三角形7．如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，斜面坡度i＝1∶eq\r(3)是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F.在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，∴AF＝AB·sinB＝6×sin60°＝3eq\r(3)，BF＝AB·cosB＝6×cos60°＝3.∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，∴四边形AFED是矩形．∴DE＝AF＝3eq\r(3)，FE＝AD＝4.在Rt△CDE中，i＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(1,\r(3))，∴EC＝e